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1、2.32.3.1 1双曲线及其标准方程1.理解并掌握双曲线的定义,了解双曲线的焦点、焦距.2.掌握双曲线的标准方程,能利用定义求标准方程及分析解决有关问题.进一步体会待定系数法求轨迹方程及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用.1.双曲线的定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.名师点拨1.适合|PF1|-|PF2|=2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹为双曲线的一支(距离F1较远的一支);适合|PF2|-|PF1|=2a(2a|F1F2|时,|PF1|-|PF
2、2|=2a不表示任何图形.【做一做1-1】已知F1(-8,3),F2(2,3)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线的一支和一条直线C.双曲线和一条射线D.双曲线的一支和一条射线解析:|F1F2|=10,当a=3时,2a=6,即2am,而题中|F1F2|=2,m与2的大小关系不确定,所以要确定点P的轨迹方程,首先要讨论m与2的大小关系.题型一题型二题型三题型四解:|F1F2|=2.当m=2时,轨迹是两条射线y=0(x1)与y=0(x-1);当m=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;当m2时,
3、轨迹不存在.反思利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件|F1F2|2a.若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨论.题型一题型二题型三题型四答案:B题型一题型二题型三题型四求双曲线的标准方程 题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思当双曲线的焦点位置不确定时,将双曲线方程设为mx2+ny2=1(mn0),运算比较简便,注意与椭圆方程的设法不同.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四求轨迹方程 【例3】如图,在ABC中,已知,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.题型一
4、题型二题型三题型四反思本题考查了三角函数、正弦定理以及双曲线的定义.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知圆M1:(x+4)2+y2=25,圆M2:x2+(y-3)2=1,一动圆P与这两个圆都外切,试求动圆圆心P的轨迹.解:设动圆的半径是R,两式相减得|PM1|-|PM2|=4|M1M2|=5,所以动圆圆心P的轨迹是以点M1(-4,0),M2(0,3)为焦点的双曲线中靠近焦点M2(0,3)的一支.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点对双曲线定义中的条件理解不透彻而致误1234561.双曲线上一点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为()A.7B.23C.7或23D.5或25解析:依据题意知(5,0),(-5,0)恰为双曲线的两个焦点,由双曲线的定义得点P到点(-5,0)的距离为15+8=23或15-8=7.答案:C123456解析:在双曲线中,c2=a2+b2=20+5=25,即2c=10.答案:A1234563.已知方程的图像是双曲线,那么k的取值范围是()A.k2C.k2D.1k2答案:C123456答案:11234565.若双曲线的焦点在x轴上,且经过(2,0),(4,3)两点,则双曲线的标准方程为.123456
