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1、第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 第二章 一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数的概念隐函数的概念方程方程 可等价变形为：可等价变形为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地：由二元方程一般地：由二元方程所确定所确定的函数的函数称为隐函数，但隐函数化为显函数繁、难，例如：称为隐函数，但隐函数化为显函数繁、难，例如： 函数函数隐函数隐函数显函数显函数2. 隐函数求导法隐函数求导法: 方程两边对方程两边对 x 求导，但必须注意：求导，但必须注意：应把应把 y 作为中间变量
2、处理！作为中间变量处理！例如：例如：例例1. 求由方程求由方程在在 x = 0 处的导数处的导数解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导得得因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故确定的隐函数确定的隐函数求求解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得例例2. 设方程设方程确定隐函数确定隐函数所以所以例例3. 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即例例4. 设设解：解：，求，求，求，求例例5. 设设由由方程方程确定确定 , 解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得再求导再求导, 得得当当时
3、时,由由 得得 代入代入得得 求求3.3.对数求导法对数求导法（1）幂指函数）幂指函数 的导数的导数形如形如称为幂指函数，例如：称为幂指函数，例如：幂指函数求导方法幂指函数求导方法1：（换底法）：（换底法）幂指函数求导方法幂指函数求导方法2：（两边取对数）：（两边取对数）例例6. 求求的导数的导数 . 解解:法一法一两边对两边对 x 求导求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边取对数两边取对数 , 化为隐函数化为隐函数例例6. 求求的导数的导数 . 解解 法二法二:机动 目录 上页 下页 返回 结束 换底法换底法例例7. ，求，求解解 记记取对数取对数:对对x求导求导:（2）多个函数）多个
4、函数“乘、除、乘方、开方乘、除、乘方、开方”引起的复杂引起的复杂显函数的导数显函数的导数例例8 ，求，求解解:二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数例例: 确定了函数确定了函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，由一般地，由确定了函数确定了函数 ，但由参数方程消参数繁、难，要直接求导。但由参数方程消参数繁、难，要直接求导。参数方程参数方程定理定理设设 均可导，则由参数方程均可导，则由参数方程确定的函数确定的函数 y =f ( x )可导，且可导，且注：在相应条件下注：在相应条件下参数方程参数方程的反函数为的反函数为则由（则由（1）确定了函数）确定了函数（1）设设（
5、2）函数（函数（2）两边对）两边对x求导，得求导，得由函数与其反函数由函数与其反函数导数之间的关系有导数之间的关系有的推导：的推导：例例1. 设设 , 求求处的切线方程处的切线方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解： 切切切点为：切点为：切线为：切线为：例例2. 设设 , 求求解解： 例例3. 设设 , 求求解解： , 求求解解： 例例4. 设设两式都对两式都对 t 求导求导, 得得内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公从低到高每次都用参数方程求导公式式习题，习题，P811；2（2）（）（4）；）；3（2）4（1）（）（2）（）（3）；）；6；7（2）（）（4）；）；9补充练习补充练习1. 设由方程设由方程确定函数确定函数求求2。求求3. 设设，求，求例例7. 7. ，求，求解解:法二法二
