《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 2.5.1 直线间的夹角 2.5.2 平面间的夹角课件 北师大版选修21》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算 2.5.1 直线间的夹角 2.5.2 平面间的夹角课件 北师大版选修21（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.52.5.1 1直线间的夹角2.5 5.2 2平面间的夹角1.掌握两直线的夹角的概念、范围,能够用向量法计算两直线的夹角.2.掌握平面间的夹角的概念,能够用向量法计算平面间的夹角.1.直线间的夹角(1)如图所示,当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中,范围在 内的角叫作两直线的夹角.(2)如图所示,当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作ABl2,我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.说明:用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时,若向量夹角为锐角(或直角),则等于异面直线所成的角;若向量夹角为钝角,则它的补角等于异面直线所成的角.(3)空
2、间直线由一点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.如图所示,已知直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2,当0时,直线l1与l2的夹角等于;当 时,直线l1与l2的夹角等于-.2.平面间的夹角(1)如图所示,平面1与2相交于直线l,R为直线l上任意一点,过点R在平面1上作直线l1l,在平面2上作直线l2l,则l1l2=R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角.(2)如图所示,平面1和2的法向量分别为n1和n2,=MRN为两个平面的夹角,它由确定.说明:用法向量求两个平面的夹角时,应结合图形来判断求出的是两个平面的夹角还是它的补角.【做一做2】已知三条射线P
3、A,PB,PC的两两夹角都是60,则平面ABP与平面BCP夹角的余弦值为()答案:A题型一题型二题型三【例1】如图所示,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1平面OAB,O1OB=60,AOB=90,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.分析:先建立空间直角坐标系,求出点A1,B,A,O1的坐标,进而求得 的坐标,再利用向量的夹角公式计算即可.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,D为CC1的中点,求平面AA1D与平面BA1D的夹角的余弦值
4、.分析:求平面AA1D与平面BA1D的夹角,可以先建立空间直角坐标系,求出平面AA1D和平面BA1D的法向量,再利用向量的夹角公式计算.题型一题型二题型三解:如图所示,取BC的中点O,连接AO.ABC是等边三角形,AOBC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,以直线OB,OO1,OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思反思求两平面夹角的大小时,既可以作出平面角,利用解三角形的知识求解,也可以用向量知识求解.在用向量法求解时,应注意两个问题:一是建系后两个平面的法向
5、量求解要正确;二是求出了两法向量的夹角后,应判断求出的是两平面夹角的大小,还是它的补角的大小.题型一题型二题型三【变式训练2】在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD与平面SBA的夹角的正切值.分析:可建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过法向量的夹角进行求解.题型一题型二题型三解:如图所示,以A为坐标原点,直线AD,AB,AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,题型一题型二题型三题型一题型二题型三易错点忽略向量的夹角与所求角的关系导致出现错误【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD1
6、-C的大小.错解:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则由题意可知D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).题型一题型二题型三题型一题型二题型三【变式训练3】在一个二面角的两个面内各有一个与二面角的棱垂直的向量n1=(0,-1,3)和n2=(2,2,4),则这个二面角的余弦值为.1 2 3 4 51 2 3 4 52.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则A1E与BD所成角的余弦值为()1 2 3 4 5解析:如图所示,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
7、A1(1,0,2),E(0,2,1),B(1,2,0),D(0,0,0),答案:B1 2 3 4 53.自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,则它们所成的角与这个二面角的平面角()A.互补 B.互余C.相等D.无法确定答案:A1 2 3 4 54.如图所示,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE夹角的大小是()A.30B.45C.90D.601 2 3 4 51 2 3 4 55.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB=BF=1,求直线EC1与FD1所成角的余弦值.1 2 3 4 5
