《流动的分类拉格朗日法和欧拉法质点导数迹线和流线、流》由会员分享，可在线阅读，更多相关《流动的分类拉格朗日法和欧拉法质点导数迹线和流线、流（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、流动的分类流动的分类* *拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法和欧拉法* *质点导数质点导数* * 迹线和流线迹线和流线* *、流管流管 有旋流动有旋流动、无旋流动无旋流动* *2 流体运动学基本概念1 2.1.1 2.1.1 流体运动的特点流体运动的特点 流体运动的复杂性流体运动的复杂性: :（1 1）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲线）流体由无穷多个质点构成，很难采用质点曲线 运动理论来研究；运动理论来研究；（2 2）流体运动过程中，除了平动和转动外，还必须）流体运动过程中，除了平动和转动外，还必须 考虑流体变形的因素。考虑流体变形的因素。2.12.1概述概述2 在数学上，流体的运动参数被表
2、示为空在数学上，流体的运动参数被表示为空间和时间的函数。间和时间的函数。 vx = vx (x, y, z, t) vy = vy (x, y, z, t) vz = vz (x, y, z, t) 场场：由于流体团所占据的空间每一点都是：由于流体团所占据的空间每一点都是研究对象，因此就将其看成一个研究对象，因此就将其看成一个“场场”。 流场流场：充满流体的空间被称为：充满流体的空间被称为“流场流场”。 相应地有相应地有“速度场速度场”、“加速度场加速度场”、“应力场应力场”、“密度场密度场”等。等。 3 2.1.2 流动的分类流动的分类 （1）按随时间变化特性按随时间变化特性:稳态流动稳态流
3、动稳态流动稳态流动和和非稳态流动非稳态流动非稳态流动非稳态流动 稳态流动稳态流动：流体运动参数与时间无关，也叫：流体运动参数与时间无关，也叫定定常流动、恒定流动常流动、恒定流动。 vx= vx(x,y,z) vy= vy(x,y,z) vz= vz(x,y,z) 非稳态流动非稳态流动：流体运动参数与时间有关，也叫：流体运动参数与时间有关，也叫非定常流动、非恒定流非定常流动、非恒定流。（例。（例1.2.3.） 说明一点说明一点：流体流动稳态或非稳态流动与所选：流体流动稳态或非稳态流动与所选定的参考系有关。定的参考系有关。4（2 2）按空间变化特性可分一、二、三维流动）按空间变化特性可分一、二、三
4、维流动 一维流动一维流动：通常流体速度只沿一个空间坐：通常流体速度只沿一个空间坐标变化的流动称为一维流动。标变化的流动称为一维流动。 二维流动二维流动：通常流体速度只沿二个空间坐：通常流体速度只沿二个空间坐标变化的流动称为二维流动。标变化的流动称为二维流动。录像录像1 1 录像录像2 2 三维流动三维流动：通常流体速度只沿三个空间坐：通常流体速度只沿三个空间坐标变化的流动称为三维流动。标变化的流动称为三维流动。 5ZyxVx=0Vy=0Vz= Vz(x,y)Vz(a)二维流动二维流动rzVr=0V=0Vz= Vz(r)(b)一维流动一维流动 思考题思考题：如果对于图（如果对于图（a）中有）中有
5、 Vx=0， Vy=0， Vz= Vz(x,y,z) 则应该属于几维流动？其流动有何特点？则应该属于几维流动？其流动有何特点？ 说明一点说明一点：流动的维数与流体速度的分量数不是一流动的维数与流体速度的分量数不是一回事。如图回事。如图（a） 、(b)所示所示。6（3）按流动状态可分为）按流动状态可分为层流层流和湍流（和湍流（1.2.3.） 1883年，著名的年，著名的雷诺雷诺实验揭示出粘性流动有两种实验揭示出粘性流动有两种性质不同的型态，层流和湍流。性质不同的型态，层流和湍流。 流态的判断：雷诺准数流态的判断：雷诺准数Re=ud /对于管内流动，对于管内流动，Re4000为湍流。为湍流。72.
6、2 2.2 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 2.2.12.2.1拉格朗日法拉格朗日法（又称质点法）（又称质点法） 通过研究流场中单个质点的运动规律，进通过研究流场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿而研究流体的整体运动规律。具体地说：是沿流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。流体质点运动的轨迹进行跟踪研究。 基本思想基本思想：将流体质点表示为空间坐标、将流体质点表示为空间坐标、时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点，时间的函数。在描述流体时，跟踪流体质点，指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物指出各流体质点在不同时刻的位置和有关的物理参数（比如速度，压强、
7、密度、温度）。理参数（比如速度，压强、密度、温度）。9 要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是：要跟踪流体，首先要区别流体质点，最简单的方法是：以某一初始时刻以某一初始时刻t t0 0质点的位置作为质点的标志。质点的位置作为质点的标志。 流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：流体质点在不同时刻的位置用直角坐标系可表示为：r0r(a,b,c,t0)(x,y,z,t)x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t) 式中：式中：a,b,c被称为拉格朗日变数。不同的一组（被称为拉格朗日变数。不同的一组（a,b,c） 表示不同的流体质点。表示不同的流体质点。r=
8、xi+yj+zk =r(a,b,c,t) 或用矢量表示为或用矢量表示为10 其加速度可表示为：其加速度可表示为： 式中式中式中式中： v x = vx(a,b,c,t) vy = vy(a,b,c,t) vz = vz(a,b,c,t) ax = ax(a,b,c,t) ay = ay(a,b,c,t) az = az(a,b,c,t) 对于任一流体质点，其速度可表示为：对于任一流体质点，其速度可表示为： 11 同样流体密度、压力和温度可表示为：同样流体密度、压力和温度可表示为：=（a,b,c,t） p= p （a,b,c,t） T= T（a,b,c,t） 对于流体任一物理参数对于流体任一物理
9、参数B均可类似地表示为均可类似地表示为 B=B(a,b,c,t). 对于任一流体质点的任一物理参数对于任一流体质点的任一物理参数B的变化率都可以的变化率都可以表示为：表示为： 12 用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简用拉格朗日法描述流体运动看起来比较简单，实际上函数单，实际上函数B（a,b,c,t)一般是不容易找到的，一般是不容易找到的，往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物往往不能用统一的函数形式描述所有质点的物理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下理参数的变化。所以这种方法只在少数情况下使用，在本书中主要使用欧拉法。使用，在本书中主要使用欧拉法。13 2.2.2 欧拉法（也叫场法）欧
10、拉法（也叫场法） 基本思想基本思想：在确定的空间点上来考察流体的流动，在确定的空间点上来考察流体的流动，将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的将流体的运动和物理参量直接表示为空间坐标和时间的函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。函数，而不是沿运动的轨迹去追踪流体质点。 例：在直角坐标系的任意点（例：在直角坐标系的任意点（x,y,z）来考察流体流）来考察流体流动，该点处流体的速度、密度和压力表示为：动，该点处流体的速度、密度和压力表示为： v=v(x,y,z,t)=vx(x,y,z,t)i+ vy(x,y,z,t)j+ vz(x,y,z,t)k = (x,y,z,t) p=p (x,
11、y,z,t) 14 按欧拉法，流动问题有关的任意物理量按欧拉法，流动问题有关的任意物理量（可以是矢量，也可以是标量）均可表示为：（可以是矢量，也可以是标量）均可表示为： = （x,y,z,t） 若流场中任何一物理量若流场中任何一物理量都不随时间变化，这都不随时间变化，这个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态流个流场就称之为稳态流场。相应的流动称为稳态流动或定常流动，或者说对于稳态流动有：动或定常流动，或者说对于稳态流动有：15 2.2.3 质点导数质点导数 定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。定义：流体质点的物理量对于时间的变化率。 拉格朗日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达拉格朗
12、日法中，由于直接给出了质点的物理量的表达式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。式，所以很容易求得物理量的质点导数表达式。 如速度的质点导数（即加速度）为：如速度的质点导数（即加速度）为：16 对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例对于欧拉法描述的流场，质点导数以速度为例分析：分析： 假设在直角坐标系中存在速度假设在直角坐标系中存在速度场场 v(x,y,z,t)。 设在时刻t和空间点p(x,y,z)处，流体质点的速度为： vp=v(x,y,z,t) zxyppvt 经过时间间隔经过时间间隔t后后，该流体该流体质点运动到质点运动到p(x+vxt,y+vyt,z+vzt)点，质点移动的距离为点
13、，质点移动的距离为vt。在在p点处流体质点的速度为点处流体质点的速度为：17 vp=v(x+vxt,y+vyt,z+vzt,t+t) 显然，经过时间间隔显然，经过时间间隔t t后，流体质点的速度增量为：后，流体质点的速度增量为：v= vp- - vp= v(x+vxt,y+vyt,z+vzt,t+t)-v(x,y,z,t) 对上式右边第一项作泰对上式右边第一项作泰勒展开并略去二阶以上高阶无穷勒展开并略去二阶以上高阶无穷小量得：小量得：又由矢量运算公式：其中矢量算子 叫哈密顿算子18 于是质点的速度增量可以表示为：于是质点的速度增量可以表示为： 则速度的质点导数则速度的质点导数加速度加速度 由上
14、式可见，在欧拉法中，流体速度的质点由上式可见，在欧拉法中，流体速度的质点导数或加速度包括两部分：导数或加速度包括两部分：19 一部分是随空间的变化率随空间的变化率 显示流场在空间中的不均匀性。 另一部分是随时间的变化率随时间的变化率v/t 表示流场的非稳态部分。 通常用符号通常用符号Dv/Dt来表示欧拉法中的质点导数，则加来表示欧拉法中的质点导数，则加速度可以写成：速度可以写成： 类似地，可用同样方法得到其他物理量的质点导数，如密度和压力的质点导数分别为：20 推而广之，欧拉法中任意物理量推而广之，欧拉法中任意物理量的质点导数可的质点导数可以写成：以写成：称为称为质点导数算子质点导数算子21
15、以以D/Dt表示的导数通常称为表示的导数通常称为随体导数随体导数。为使用方便，。为使用方便，给出柱坐标和球坐标系的质点导数算子的表达式：给出柱坐标和球坐标系的质点导数算子的表达式： 柱坐标：柱坐标：r径向坐标，径向坐标，周向坐标，周向坐标，z轴向坐标轴向坐标 球坐标：r径向坐标，周向坐标，轴向坐标22例例2-1. 已知流场的速度为已知流场的速度为 v=xti+ytj+ztk温度为温度为T=At2/(x2+y2+z2)。求：求：1）流体质点温度的变化率。）流体质点温度的变化率。 2）速度变化率即加速度。）速度变化率即加速度。23解：1）T=At2/(x2+y2+z2)24v=xti+ytj+zt
16、k25思考题1.1.流体流动与固体运动有何区别？流体流动与固体运动有何区别？2.2.流体流动如何分类？流体流动如何分类？3.3.拉格朗日法和欧拉法的基本思想有何不同？拉格朗日法和欧拉法的基本思想有何不同？4.4.两种方法质点导数的求法是否相同？为什么？两种方法质点导数的求法是否相同？为什么？5.5.流体的速度导数包括那两部分？流体的速度导数包括那两部分？6.6.试写出哈密顿算子、质点导数算子的表达式。试写出哈密顿算子、质点导数算子的表达式。262.2.42.2.4两种方法的关系两种方法的关系（拉格朗日和欧拉拉格朗日和欧拉） 描述流体运动的两种不同方法。描述流体运动的两种不同方法。拉格朗日法拉格
17、朗日法 (a,b,c,t)欧拉法欧拉法(x,y,z,t)在数学上可以互相推导在数学上可以互相推导两种变数之间的数学变换两种变数之间的数学变换27(1)拉格朗日表达式拉格朗日表达式欧拉表达欧拉表达式式可解得：则代入则代入= (a,b,c,t)后，就得到该物理参数的欧拉后，就得到该物理参数的欧拉法表达式法表达式 = (x,y,z,t)。 若已知拉格朗日法变数若已知拉格朗日法变数(a,b,c,t)表示的物表示的物理参数理参数= (a,b,c,t)。 由式由式28(2)欧拉法表达式欧拉法表达式拉格朗日表达拉格朗日表达式式 对上面微分方程进行求解，其结果为：对上面微分方程进行求解，其结果为： 其中其中c
18、1，c2，c3，是积分常数，由，是积分常数，由t=t0时的初始条时的初始条件件(a,b,c)决定。决定。 若已知用欧拉法变数若已知用欧拉法变数(x,y,z,t)表示的物理表示的物理量量= (x,y,z,t)，则首先由欧拉法的速度表达式，则首先由欧拉法的速度表达式求出欧拉变数求出欧拉变数29并代入欧拉方法表达式并代入欧拉方法表达式= (x,y,z,t)后就得到后就得到该物理量的拉格朗日法表达式该物理量的拉格朗日法表达式= (a,b,c,t)。则有则有30例例.给定拉格朗日流场给定拉格朗日流场其中其中k为常数。试判断流动是否稳态流动。为常数。试判断流动是否稳态流动。31解：解：1 1）由拉格朗日流
19、场得速度分量为）由拉格朗日流场得速度分量为32由已知条件得由已知条件得代入速度分量式得代入速度分量式得所以，该流动为稳态流动。所以，该流动为稳态流动。332.3.1迹迹线 定义：流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。迹线定义：流体质点的运动轨迹曲线称为迹线。迹线是某一流体质点在一段时间内所经过的路径。是某一流体质点在一段时间内所经过的路径。(看录像) 拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程，即：拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程，即：2.3迹线和流线从这个方程组中消去从这个方程组中消去参数参数t并给定并给定(a,b,c)的质点就可以得到以的质点就可以得到以x,y,z表示的流体质点表示的流体质点(a,b,
20、c)的轨迹。的轨迹。34 在欧拉方法中，将速度定义在欧拉方法中，将速度定义v=dr/dt中中的的dr理解为质点在时间间隔理解为质点在时间间隔dt内所移动的内所移动的距离。因此，轨迹的微分方程即距离。因此，轨迹的微分方程即解这个方程并消解这个方程并消去参数去参数t后可得到后可得到迹线方程。迹线方程。35例例2-2.2-2.已知用欧拉法表示的速度场已知用欧拉法表示的速度场 v =Axi-Ayj其中其中A为常数。为常数。求：流体质点的轨迹方程。求：流体质点的轨迹方程。36 解：解：方法一方法一 用速度场的迹线的微分方程为用速度场的迹线的微分方程为分离变量得：分离变量得：分别积分上式得：分别积分上式得
21、：其中，其中，c1，c2是积分常数。是积分常数。消去参数消去参数t得迹线方程得迹线方程:迹线为一双曲线迹线为一双曲线。 （b） (a)37 方法二 拉格朗日法 由(b)式得： 对于t=t0时位于x=x0=a,y=y0=b的流体质点，由上式可得拉格朗日变数为： 于是可得积分常数 （c）38其结果与欧拉法结果相同。 说明一点：拉格朗日法的结果也可写成 再代入(c)式的该质点的轨迹参数方程39 2.3.22.3.2流线流线 (1)(1)流线的定义与性质流线的定义与性质 定义定义：流线是任一时刻流场中存在的流线是任一时刻流场中存在的这样一条曲线，该曲线上任一点的切线方向与这样一条曲线，该曲线上任一点的
22、切线方向与流体在该点的速度方向一致。流体在该点的速度方向一致。（看录像看录像） 注意注意：流线与迹线是两个不同的概念。流线与迹线是两个不同的概念。流线是同一时刻不同质点构成的一条流体线流线是同一时刻不同质点构成的一条流体线；而而迹线是同一质点在不同时刻经过的空间点所迹线是同一质点在不同时刻经过的空间点所构成的轨迹线构成的轨迹线。 40 流线的性质流线的性质： 1 1）除了在速度为零（）除了在速度为零（质点运动方向不确定或质点运动方向不确定或任意任意）和无穷大的那些点）和无穷大的那些点（该点流体运动是不连续该点流体运动是不连续）以以外，外，经过空间一点只有一条流线，即流线不能相交经过空间一点只有
23、一条流线，即流线不能相交，因，因为在空间每一点只能有一个速度方向；为在空间每一点只能有一个速度方向； 2 2）流场中每一点都有流线通过，所有的流线形成）流场中每一点都有流线通过，所有的流线形成流线谱流线谱流线谱流线谱； 3 3）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，）稳态流动时流线的形状和位置不随时间变化，并与迹线重合。非稳态流动时流线的形状和位置是随时并与迹线重合。非稳态流动时流线的形状和位置是随时间变化的。间变化的。41（2 2）流线方程）流线方程流线上矢量增流线上矢量增量与质点速度量与质点速度流线流线zxryrvdr0设设r是流线上某点的位置矢量，是流线上某点的位置矢量，v是是流体在该
24、点的速度矢量。根据流线流体在该点的速度矢量。根据流线的定义，由于速度与流线相切，所的定义，由于速度与流线相切，所以流线微元段对应的矢径增量必然以流线微元段对应的矢径增量必然与该点的速度平行，由于两个平行与该点的速度平行，由于两个平行矢量的乘积为零，所以有矢量的乘积为零，所以有即42 上式即为流线方程的矢量表达式。在直角坐上式即为流线方程的矢量表达式。在直角坐标系中表示为标系中表示为：（解释）（解释） 说明说明：由于流线是对同一时刻而言的，所以由于流线是对同一时刻而言的，所以在上面方程积分时，变量在上面方程积分时，变量t t被当作常数处理。在非稳态被当作常数处理。在非稳态流动下，流体速度是空间坐
25、标和时间的函数，在积分结流动下，流体速度是空间坐标和时间的函数，在积分结果中则包含果中则包含t t，因此不同时刻有不同的流线。，因此不同时刻有不同的流线。43例例2-3.2-3. 已知直角坐标系中的速度场已知直角坐标系中的速度场 vx=x+t，vy=y+t试求：试求：迹线方程；迹线方程； 流线方程；流线方程； 以拉格朗日变数表示的流体速度。以拉格朗日变数表示的流体速度。44 解解 ： 将将vx=x+t，vy=y+t代入迹线微分方程得：代入迹线微分方程得： 解这个一阶常系数微分方程得：解这个一阶常系数微分方程得： 其中其中a，b为积分常数为积分常数。 将将vx=x+t，vy=y+t代入流线微分方
26、程得：代入流线微分方程得：45t 被看成常数，则积分上式得：被看成常数，则积分上式得：即：即： 由这个流线方程可见，流线是随时间变化的，由这个流线方程可见，流线是随时间变化的，不同时刻有不同的流线。不同时刻有不同的流线。 将迹线方程代入欧拉速度表达式或由迹线方将迹线方程代入欧拉速度表达式或由迹线方程求时间偏导数可得拉格朗日法表示的速度为：程求时间偏导数可得拉格朗日法表示的速度为：47小结：小结：1.拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同拉格朗日法和欧拉法是描述流体运动的两种不同方法，方法，对同一流场，两种方法都可以使用。对同一流场，两种方法都可以使用。因此两因此两种方法在数学上是可以互推的
27、。种方法在数学上是可以互推的。2.拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程为：拉格朗日法表达式就是迹线的参数方程为： 从这个方程组中消去参数从这个方程组中消去参数t并给定并给定(a,b,c)的质点就可的质点就可以得到以以得到以x,y,z表示的流体质点表示的流体质点(a,b,c)的轨迹。的轨迹。484.流线微分方程在直角坐标系中表示为：流线微分方程在直角坐标系中表示为：3.在欧拉方法中解下面方程并消去参数在欧拉方法中解下面方程并消去参数t后可得到迹后可得到迹线方程。线方程。492.3.3 流管流管 定义定义：在流场中，作一条不与流线重合的任意封：在流场中，作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线
28、的所有流线将构成一个管状曲闭曲线，则通过此曲线的所有流线将构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。面，这个管状曲面称为流管。几点说明几点说明： （1）根据流线不相交的性质，流管表面不可能有）根据流线不相交的性质，流管表面不可能有流体穿过；流体穿过； （2）稳态流动时，流管的形状和位置都不随时间）稳态流动时，流管的形状和位置都不随时间变化；变化； （3）非稳态流动时，流管的形状和位置一般都是）非稳态流动时，流管的形状和位置一般都是随时间而变化的。随时间而变化的。50n2v2流线流线流线流线v1n1dAdAA1A2如图所示，流管表面与两个流管如图所示，流管表面与两个流管截面截面A1，A2构成一个封
29、闭的曲面。构成一个封闭的曲面。在稳态流动条件下，该封闭曲面在稳态流动条件下，该封闭曲面中的流体质量不随时间变化，又中的流体质量不随时间变化，又由于流管表面没有流体流线通过，由于流管表面没有流体流线通过，则根据质量守恒原理，从则根据质量守恒原理，从A1进入进入流管流体的质量必然等于从流管流体的质量必然等于从A2流流出的流体出的流体质量。质量。若用若用qm表示流体的质量流量，则有如下的关系：表示流体的质量流量，则有如下的关系：51 特别地，对不可压缩流体有：特别地，对不可压缩流体有： 上式说明，实际流场中，流管截面不能收缩上式说明，实际流场中，流管截面不能收缩到零，否则，在此处的流速要达到无穷大，
30、显然到零，否则，在此处的流速要达到无穷大，显然是不可能的，也就是说，是不可能的，也就是说，流管不能在流场内部中流管不能在流场内部中断断。52 如果流体团相对于固定在它上面的坐标如果流体团相对于固定在它上面的坐标系而言做有旋转运动，则称为有旋流动，但系而言做有旋转运动，则称为有旋流动，但流体流体运动是否有旋，与流体团本身的运动轨迹无关运动是否有旋，与流体团本身的运动轨迹无关。 2.4.1有旋运动有旋运动 设有速度场设有速度场 令令则称则称为为涡量涡量或或涡度涡度。在直角坐在直角坐标系中标系中， 于是有于是有：2.4有旋流动和无旋流动53 涡量是表明流体旋转运动的物理量。若流体流动涡量是表明流体旋
31、转运动的物理量。若流体流动中中 则称该流动为有旋流动，也叫漩涡流动。则称该流动为有旋流动，也叫漩涡流动。（看录像看录像） 由涡量定义有：由涡量定义有： 连续性方程连续性方程。该式称为该式称为涡量的涡量的 2.4.2 无旋流动无旋流动的流动称为无旋流动。将在以后讨论。的流动称为无旋流动。将在以后讨论。542.4.32.4.3流体的不可压缩条件流体的不可压缩条件 对于不可压缩流体，其流体团在流动对于不可压缩流体，其流体团在流动过程中形状发生变化，但体积不变，因此过程中形状发生变化，但体积不变，因此有流体的不可压缩条件：有流体的不可压缩条件：称为流体的散度称为流体的散度55练习 已知速度场已知速度场求求t=0时通过点时通过点A(-1，1)的流线。的流线。xy = -156
