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1、4.1.2 圆的一般方程圆的标准方程的形式是怎样的？圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？其中圆心的坐标和半径各是什么？复习回顾复习回顾: :展开得展开得任何一个圆的方程都是二任何一个圆的方程都是二元二次方程元二次方程. .反之是否成立？反之是否成立？将圆的标准方程将圆的标准方程配方得配方得不一定是圆不一定是圆以（以（1 1，-2-2）为圆心，以）为圆心，以2 2为半径为半径的圆的圆. .配方得配方得不是圆不是圆探究：探究： 方程方程在什么条件下表示圆？在什么条件下表示圆？配方可得：配方可得：把方程把方程（1 1）当）当时，时，方程方程表示以表示以为圆心，为圆心，为半径的圆
2、为半径的圆. .（2 2）当）当时，时，只有一解只有一解方程方程它表示一个点它表示一个点（3 3）当）当时，时，没有实数解，它不表示任何图形没有实数解，它不表示任何图形. .方程方程圆的一般方程圆的一般方程任何一个圆的方程都可以写成任何一个圆的方程都可以写成反过来，当反过来，当 时，方程才表示一个圆，时，方程才表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程我们把它叫做圆的一般方程. .的形式的形式标准方程：标准方程：图形特征一目了然，图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；明确地指出了圆心和半径；一般方程：一般方程：突出了代数方程的形式结构突出了代数方程的形式结构，（1 1）x x2 2和和y y2
3、2系数相同，都不等于系数相同，都不等于0 0；（2 2）没有）没有xyxy这样的二次项这样的二次项. .思考思考1 1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？例例1 1：下列方程各表示什么图形：下列方程各表示什么图形? ?（1 1）原点）原点(0,0).(0,0).答案：答案：判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程, ,若能若能, ,写出圆心与半径写出圆心与半径. .（1 1）是）是圆心（圆心（3 3，-1-1）半径）半径（2 2）是）是圆心（圆心（1 1，-2-2）半径）半径3 3（3 3）不是）不是（4 4）不是）不是（5 5）不
4、是）不是答案答案例例2 2：求过三点：求过三点并求出这个圆的半径长和圆心坐标并求出这个圆的半径长和圆心坐标的圆的方程，的圆的方程，解：解：设圆的方程为设圆的方程为把点把点 的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组解这个方程组得解这个方程组得故所求圆的方程为故所求圆的方程为因此所求圆的圆心为因此所求圆的圆心为半径长为半径长为用用“待定系数法待定系数法”求圆的方程的大致步骤：求圆的方程的大致步骤：（2 2）根据条件列出关于）根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组；的方程组；（1 1）根据题意，选择一般方程或标准方程；）根据题意，选择一般方程或标准方程；（3 3）解出）解出
5、a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F，代入一般方程或标准方程，代入一般方程或标准方程例例3 3、已知线段、已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A分析：分析：yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A如图，点如图，点A A的运动引起点的运动引起点M M的运动，而点的运动，而点A A在圆上运动在圆上运动点点A A的坐标满足方程的坐标满足方程建立点建立
6、点M M的坐标与点的坐标与点A A的的坐标之间的关系，就可坐标之间的关系，就可以建立点以建立点M M的坐标满足的坐标满足的条件，求出点的条件，求出点M M的的轨迹方程轨迹方程. .解：解：设点设点M M的坐标是的坐标是设点设点A A的坐标是的坐标是由于点由于点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3), 且点且点M M是线段是线段ABAB的中点，所以的中点，所以于是有于是有所以点所以点A A的坐标满足方程的坐标满足方程因为点因为点A A在圆在圆 上运动上运动，即即把（把（1 1）代入（）代入（2 2）得）得整理得整理得所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以 为圆心，半径长为为圆心，半径长为1
7、 1的圆。的圆。 (2012 (2012广州模拟广州模拟) )动点动点A A在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上移动时，它与上移动时，它与定点定点B(3,0)B(3,0)连线的中点的轨迹方程是连线的中点的轨迹方程是( )( )(A)(x+3)(A)(x+3)2 2+y+y2 2=4 (B)(x-3)=4 (B)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1(C)(2x-3)(C)(2x-3)2 2+4y+4y2 2=1 (D)(x+ )=1 (D)(x+ )2 2+y+y2 2= =【解析解析】选选C.C.设中点设中点M(x,y)M(x,y)，则动点，则动点A(2x-3A(2x-3，2y),2
8、y),AA在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上，上，(2x-3)(2x-3)2 2+(2y)+(2y)2 2=1=1，即即(2x-3)(2x-3)2 2+4y+4y2 2=1.=1.1.1.方程方程x x2 2+y+y2 2+ax+2ay+2a+ax+2ay+2a2 2+a-1=0+a-1=0表示圆，则表示圆，则a a的取值范围的取值范围是是( )( )( (A)aA)a-2-2或或 (B)- (B)- a a0 0(C)-2(C)-2a a0 (D)-20 (D)-2a a 【解析解析】选选D.D.方程表示圆，则方程表示圆，则a a2 2+(2a)+(2a)2 2-4(2a-4(2a2 2+a-1)+a-1)0,0,-2-2a .a04F0时，才表示圆心为时，才表示圆心为 , ,半径为半径为 的圆的圆. .2.2.利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的准方程，否则用圆的一般方程一般方程. .
