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1、3.2 单位序列和单位序列响应一、单位序列和单位阶跃序列一、单位序列和单位阶跃序列1.单位序列定义为：单位序列定义为：单位序列也称作单位样值单位序列也称作单位样值序列、单位脉冲序列或单序列、单位脉冲序列或单位冲激序列。位冲激序列。单位序列的移位：单位序列的移位：3.单位阶跃序列定义为：单位阶跃序列定义为：2. 的取样性质的取样性质 单位阶跃序列的移位：单位阶跃序列的移位：4.阶跃序列与冲激序列之间的关系阶跃序列与冲激序列之间的关系有了阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示。有了阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示。如：如：可表示为：可表示为： 当当LTI离散系统的激励为单位序列离散系统的激励
2、为单位序列 时，系统的时，系统的 零状态响应称为单位序列响应，用零状态响应称为单位序列响应，用 表示。表示。单位序列响应的形式与齐次解形式相同。单位序列响应的形式与齐次解形式相同。二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应1、单位序列响应、单位序列响应例例3.2-1 求图示离散系统的单位序列响应。求图示离散系统的单位序列响应。解（解（1）写差分方程，求初值。）写差分方程，求初值。满足满足代入初值得代入初值得2、求、求 当当 时时例例3.2-2 求图示离散系统的单位序列响应。求图示离散系统的单位序列响应。解（解（1）写差分方程）写差分方程（2）求单位序列响应）求单位序列响应设设 单独作
3、用产生的单位序列响应为单独作用产生的单位序列响应为则：则：满足满足由上题由上题2.阶跃响应阶跃响应 当当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列离散系统的激励为单位阶跃序列 时，时， 系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响 应，用应，用 表示。表示。 若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统的单位阶跃响应。的单位阶跃响应。同理同理另外，若已知系统的另外，若已知系统的 ，根据，根据LTI系统的线性性质系统的线性性质 和时不变性，系统的阶跃响应和时不变性，系统的阶跃响应单位序列单位序列响应与阶响应与阶跃响应
4、的跃响应的关系关系连续系统冲激响应连续系统冲激响应与阶跃响应的关系与阶跃响应的关系例例3.2-3 求例求例3.2-1中图中图3.2-3所示系统的单位阶跃响应。所示系统的单位阶跃响应。图图3.2-3解（解（1）经典法）经典法所示系统的差分方程为：所示系统的差分方程为：阶跃响应满足方程：阶跃响应满足方程：由方程利用迭代得：由方程利用迭代得：阶跃响应满足方程：阶跃响应满足方程：（2） 利用单位序列响应利用单位序列响应下表列出几种常用序列的求和公式。下表列出几种常用序列的求和公式。表表3-3 几种数列的求和公式几种数列的求和公式序号序号 公公 式式 说说 明明12 可为正或可为正或负整数，但负整数，但
5、34 可为正或负可为正或负 整数整数序号序号 公公 式式 说说 明明56 可为正或负可为正或负整数，但整数，但 7 3.3 卷积和任意离散序列任意离散序列 可以表示为：可以表示为：一、卷积和一、卷积和对于一个对于一个LTI离散系统离散系统,假设我们已经知道它的单位序假设我们已经知道它的单位序列响应为列响应为那么对任意序列那么对任意序列 作用于该线性时不变系统的零作用于该线性时不变系统的零状态响应能否借用单位序列响应状态响应能否借用单位序列响应 来求呢？来求呢？称为序列称为序列 和和 的卷积和。的卷积和。上式表明，上式表明，LTI离散系统对于任意激励离散系统对于任意激励 的零状的零状 态响应是激
6、励与单位序列响应态响应是激励与单位序列响应 的卷积和。的卷积和。一般而言，若有两个序列一般而言，若有两个序列 和和 ，和式，和式 称为称为 和和 的卷积和，简称卷积。表示为的卷积和，简称卷积。表示为( )() ()ikhifkyif-=-=例例3.3-1 如如解：解：显然，上式中显然，上式中作图法求卷积和的步骤：作图法求卷积和的步骤：（1）将序列）将序列 的自变量用的自变量用 代替，然后代替，然后 将序列将序列 以纵坐标为轴反转，成为以纵坐标为轴反转，成为 。（2）将序列）将序列 平移平移 个单位，成为个单位，成为 。当当 时，右移时，右移 个单位。个单位。当当 时，左移时，左移 个单位。个单
7、位。总之，原点处的序列值移到总之，原点处的序列值移到 点。点。二、卷积和的图示二、卷积和的图示（3）讨论）讨论k的区间，并求乘积之和。的区间，并求乘积之和。例例3.3-2 如有两序列如有两序列 试求二序列的卷积和试求二序列的卷积和解：画出序列解：画出序列讨论讨论k的区间，并求的区间，并求当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，依此可得依此可得*一个一个M点序列与一个点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长点序列卷积，其卷积的长度为度为M+N-1。 可见，求和符号内可见，求和符号内f1(i)的序号的序号i与与f2(k-i)的序号
8、的序号 (k-i)之和恰好等于之和恰好等于k 如果将各如果将各f1(k)(k=0,1,2,)的值排成一行，将的值排成一行，将各各f2(k)(k=0,1,2,)的值排成一列，如图的值排成一列，如图3.3-3所所示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积. 可以发现，沿斜线（虚线）上各项可以发现，沿斜线（虚线）上各项f1(i) f2(j) 的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式 相同。沿斜线上各数值之和就是卷积和。相同。沿斜线上各数值之和就是卷积和。图图3.3-3f1 (k )f2(k )f1 (0 )f1 (
9、1 )f1 (2 )f1 (3 )f2 (0)f2 (1)f2 (2)f2 (3)f1 (0) f2 (0)f1 (0) f2 (1)f1 (0) f2 (2)f1 (0) f2 (3)f1 (1) f2 (0)f1 (1) f2 (1)f1 (1) f2 (2)f1 (1) f2 (3)f1 (2) f2 (0)f1 (2) f2 (1)f1 (2) f2 (2)f1 (2) f2 (3)f1 (3) f2 (0)f1 (3) f2 (1)f1 (3) f2 (2)f1 (3) f2 (3)将例将例3.3-2的的f1(k)、 f2(k)的各值排列如图的各值排列如图3.3-4所示所示1f1 (0 )f1 (1 )f1 (3 )f1 (2 )f1 (k )f2 (k )f2 (0 )f2 (1 )f2 (2 )f2 (3 )f2 (4 )1111011113222223333000000000图图3.3-40，k5f1(k)* f2(k)=
