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1、(4b) 第五章 容斥原理（二）金杯数学金杯数学（4b4b） 天津科学技术出版社(4b) 第五章 容斥原理（二）听说我们即听说我们即将学习图片将学习图片中老师讲的中老师讲的那个题目。那个题目。会不会很难啊，会不会很难啊，看起来挺复杂的！看起来挺复杂的！(4b) 第五章 容斥原理（二）一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！一点都不难，我们现在就近距离的学习解答这个题目！-请问，小明爷爷奶奶家有多少人？请问，小明爷爷奶奶家有多少人？小明家小明家5 5个人个人（爸爸、妈妈、（爸爸、妈妈、小明、爷爷、小明、爷爷、奶奶）奶奶）小明叔叔家小明叔叔家5 5个人个人（叔叔、婶婶、（叔叔、婶婶、妹妹爷
2、爷、妹妹爷爷、奶奶）奶奶）小明伯伯家小明伯伯家5 5个人个人（伯伯、伯母、（伯伯、伯母、姐姐、爷爷、姐姐、爷爷、奶奶）奶奶）这还不简单，这还不简单，3 35=155=15（个）（个）同学们你们觉同学们你们觉得小尼回答正得小尼回答正确吗？确吗？(4b) 第五章 容斥原理（二）现在不知道，现在不知道，等我们学了今天的课程，等我们学了今天的课程，就知道是怎么一回事了！就知道是怎么一回事了！(4b) 第五章 容斥原理（二）【知识领航知识领航】 容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于容斥原理的运用很广泛，它不仅适用于两个事物之间的包含与排除关系，而且也运两个事物之间的包含与排除关系，而且也运用于三个事物之间
3、。有时要试着从问题的另用于三个事物之间。有时要试着从问题的另一面去思考，如一面去思考，如“3 3人跳绳比赛获奖，人跳绳比赛获奖，1 1人跳人跳绳、踢毽子两项都获奖绳、踢毽子两项都获奖”就要想到就要想到“只有跳只有跳绳比赛获奖的有绳比赛获奖的有2 2人人”。(4b) 第五章 容斥原理（二）【方法点拨方法点拨 】容斥原理的第二种类型是：容斥原理的第二种类型是：如果被统计的事物有甲、乙、丙三类，那么，如果被统计的事物有甲、乙、丙三类，那么，甲类或乙类或丙类物体的个数甲类或乙类或丙类物体的个数= =甲类物体的个数甲类物体的个数+ +乙乙类物体的个数类物体的个数+ +丙类物体的个数既是甲类又是乙丙类物体
4、的个数既是甲类又是乙类的物体个数既是甲类又是丙类的物体个数既类的物体个数既是甲类又是丙类的物体个数既是乙类又是丙类的物体个数既是甲类又是乙类而是乙类又是丙类的物体个数既是甲类又是乙类而且是丙类的物体个数的且是丙类的物体个数的2 2倍。倍。(4b) 第五章 容斥原理（二）【技巧感悟技巧感悟 】分析：分析：答对第一题的有答对第一题的有5252人，答对第二题的有人，答对第二题的有4949人，根据题意，人，根据题意，答对第一题和第二题的总人数是答对第一题和第二题的总人数是52+49=10152+49=101人，但其中两题都答对的人，但其中两题都答对的4343人被算了两次，用人被算了两次，用101101
5、43=5843=58人就得到至少有一题答对的人数。所以人就得到至少有一题答对的人数。所以两题都答得不对的有两题都答得不对的有626258=458=4人。人。解：解：52+4952+4943=5843=58（人）（人）626258=458=4（人）（人）答：答：至少答对一题的有至少答对一题的有5858人，两题都没答对的有人，两题都没答对的有4 4人。人。 第一题第一题(52-43)(52-43)人人 第二题第二题(49-43)(49-43)人人？例例1 1： 四年级某班四年级某班6262个同学在课堂小测验个同学在课堂小测验中，答对第一题的有中，答对第一题的有5252人，答对第人，答对第二题的有二
6、题的有4949人，两题都答对的有人，两题都答对的有4343人。至少答对一题的有多少人？两人。至少答对一题的有多少人？两题都没答对的有几人？题都没答对的有几人？(4b) 第五章 容斥原理（二）【热身演练热身演练 】某班有某班有4040个学生，其中个学生，其中1515人参加数学兴趣小组，人参加数学兴趣小组，1818人参加航模兴趣小组，有人参加航模兴趣小组，有1010人两个小组都参人两个小组都参加，那么有几个人两个小组都不参加？加，那么有几个人两个小组都不参加？( (1)1)共共4040人人数学数学1515人人航模航模1818人人1010？(4b) 第五章 容斥原理（二）例例2 2、 育才小学举办学
7、生美术作品展览。其中有育才小学举办学生美术作品展览。其中有2222幅不是四年幅不是四年级的，有级的，有2626幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共幅不是五年级的。四、五年级的参展作品共有有1212幅，其他年级参展的作品共有多少幅？幅，其他年级参展的作品共有多少幅？分析：分析：由题意可知，由题意可知，2222幅作品是一、二、三、五、六年级的总幅作品是一、二、三、五、六年级的总数；数；2626幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。幅作品是一、二、三、四、六年级的总数。22+26=4822+26=48幅，这幅，这是一个四、五年级和两个一、二、三、六年级参展的作品总数，从是一个四、五年级和两个一、二
8、、三、六年级参展的作品总数，从中去掉四、五年级共参展的中去掉四、五年级共参展的1212幅即可得到两个一、二、三、六年级幅即可得到两个一、二、三、六年级参展的作品总数，再除以参展的作品总数，再除以2 2，就求出了其他年级参展的作品。，就求出了其他年级参展的作品。解：解：【技巧感悟技巧感悟 】（22+2622+261212）2=18(2=18(幅幅) )答：答：其他年级参展的作品共有其他年级参展的作品共有1818幅。幅。(4b) 第五章 容斥原理（二）【热身演练热身演练 】希望小学画展上展出了许多幅画，其中有希望小学画展上展出了许多幅画，其中有1616幅幅不是六年级的，有不是六年级的，有1515幅
9、画不是五年级的。五、幅画不是五年级的。五、六年级共有六年级共有2525幅画，那么其他年级的画共有多幅画，那么其他年级的画共有多少幅？少幅？(2)(2)(4b) 第五章 容斥原理（二）例例3 3、 某班有某班有5252人，其中会下棋的有人，其中会下棋的有4848人，会画画的有人，会画画的有3737人，会跳人，会跳舞的有舞的有3939人，这个班三项都会的至少有多少人？人，这个班三项都会的至少有多少人？【技巧感悟技巧感悟 】分析：分析：会下棋的有会下棋的有4848人，所以不会下棋的有人，所以不会下棋的有525248=448=4人；同样，人；同样，不会画画的有不会画画的有525237=1537=15人
10、；不会跳舞的有人；不会跳舞的有525239=1339=13人。三项中有人。三项中有一个项目不会的最多有一个项目不会的最多有4+15+13=324+15+13=32人，因此，三项都会的至少有人，因此，三项都会的至少有525232=2032=20人。人。解：解：（52524848）+ +（52523737）+ +（52523939）=32=32（人）（人）答：答：这个班三项都会的至少有这个班三项都会的至少有2020人。人。5232=205232=20（人）（人）(4b) 第五章 容斥原理（二）【热身演练热身演练 】四（四（1 1）班有）班有5454人参加秋游活动，其中人参加秋游活动，其中3535人
11、喜欢人喜欢玩玩“捉特务捉特务”，4545人喜欢玩人喜欢玩“老鹰捉小鸡老鹰捉小鸡”，4040人喜欢踢足球，人喜欢踢足球，5050人喜欢跳牛皮筋。这个班人喜欢跳牛皮筋。这个班至少有多少学生对这四项活动都喜欢？至少有多少学生对这四项活动都喜欢？(3)(3)(4b) 第五章 容斥原理（二）例例4 4、四（四（3 3）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中）班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中3030人人喜欢作文，喜欢作文，3232人喜欢数学，人喜欢数学，2121人喜欢自然；既喜欢作文又喜欢数学的有人喜欢自然；既喜欢作文又喜欢数学的有1515人，既喜欢数学又喜欢自然的有人，
12、既喜欢数学又喜欢自然的有1212人，既喜欢作文又喜欢自然的有人，既喜欢作文又喜欢自然的有1414人；三门都喜欢的有人；三门都喜欢的有8 8人。求全班的总人数。人。求全班的总人数。分析与解分析与解 ：如下图：如下图： 【技巧感悟技巧感悟 】（1 1）将喜欢作文、数学、自然的人数加起来：将喜欢作文、数学、自然的人数加起来：30+32+21=8330+32+21=83（人）（人）答：答：全班的总人数是全班的总人数是5050人。人。7 76 64 48 8数学数学1313作文作文9 9自然自然3 3（2 2）对两门学科感兴趣的已在上面重复统计了一次，应排除：对两门学科感兴趣的已在上面重复统计了一次，应
13、排除：8383（15+12+1415+12+14）=42=42（人）（人）（3 3）对三门都感兴趣的，在（对三门都感兴趣的，在（1 1）中加了三次，在（）中加了三次，在（2 2）的括号中加了三次，）的括号中加了三次，但在（但在（2 2）式中又被减去了三次，也就是同时对三门感兴趣的都被排除在外，还）式中又被减去了三次，也就是同时对三门感兴趣的都被排除在外，还必须补回来：必须补回来：42+8=5042+8=50（人）（人）综合算式：综合算式：（30+32+2130+32+21）（）（15+12+1415+12+14）+8=50+8=50（人）（人）(4b) 第五章 容斥原理（二）【热身演练热身演练
14、 】某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数某校有数学、语文、外语三个兴趣小组，参加数学小组的有学小组的有3535人，参加语文小组的有人，参加语文小组的有3838人，参加人，参加外语小组的有外语小组的有2828人，同时参加数学、语文两个小人，同时参加数学、语文两个小组的有组的有8 8人，同时参加数学、外语两个小组的有人，同时参加数学、外语两个小组的有1212人，同时参加语文、外语两个小组的有人，同时参加语文、外语两个小组的有1010人，人，三个小组都参加的有三个小组都参加的有4 4人。这个学校参加课外兴人。这个学校参加课外兴趣小组的共有多少人？趣小组的共有多少人？(4)(4)(4b) 第五章
15、 容斥原理（二） 例例5 5、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试后，有后，有4 4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：有一项达到了优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：分析：分析：全班学生由两部分人组成，一部分是三个项目都没有达全班学生由两部分人组成，一部分是三个项目都没有达到优秀的到优秀的4 4人，另一部分是至少有一项达到优秀的人，所以关键是求人，另一部分是至少有一项达到优秀的人，所以关键是求出至少
16、有一个项目达到优秀的学生数。出至少有一个项目达到优秀的学生数。【技巧感悟技巧感悟 】求这个班的学生人数。求这个班的学生人数。项目项目短跑短跑游泳游泳篮球篮球短跑短跑游泳游泳短跑短跑篮球篮球游泳游泳篮球篮球短跑短跑游泳游泳篮球篮球人数人数171718181515 6 6 5 5 6 6 2 2(4b) 第五章 容斥原理（二）【技巧感悟技巧感悟 】解法一：解法一：如下图所示，把每个项目如下图所示，把每个项目达到优秀的人数用圆圈表示。达到优秀的人数用圆圈表示。先填短跑、游泳、篮球三个项目都先填短跑、游泳、篮球三个项目都优秀的人数（优秀的人数（2 2人），人），4 4人人4 4人人短跑短跑8 8人人篮
17、球篮球6 6人人游泳游泳8 8人人3 3人人 2 2人人最后考虑单项优秀的学生数，由于篮球有最后考虑单项优秀的学生数，由于篮球有1515人优秀，从图中可知，人优秀，从图中可知，篮球优秀的已有篮球优秀的已有3+2+4=93+2+4=9（人），则在篮球的圈中，单项优秀的人数为（人），则在篮球的圈中，单项优秀的人数为15159=69=6（人）；同样道理，游泳单项优秀的人数为（人）；同样道理，游泳单项优秀的人数为1818（2+4+42+4+4）=8=8（人）（人）；短跑单项优秀的人数为；短跑单项优秀的人数为1717（4+2+34+2+3）=8=8（人）。这样一来，短跑、游（人）。这样一来，短跑、游泳、
18、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数就是泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数就是2 23 34 44 46 68 88=358=35（人），全班人数是：（人），全班人数是：35+4=3935+4=39（人）。（人）。再填篮球、短跑都优秀的人数（再填篮球、短跑都优秀的人数（5 5人），但是，前面三项都优秀的人），但是，前面三项都优秀的人数已包含两项优秀的人数，所以在短跑与篮球的交界处只要填人数已包含两项优秀的人数，所以在短跑与篮球的交界处只要填5 52=32=3（人）；同样道理，在短跑与游泳的交界处只要填（人）；同样道理，在短跑与游泳的交界处只要填6 62=42=4（人）；（人）；在游泳与篮球的
19、交界处只要填在游泳与篮球的交界处只要填6 62=42=4（人）；（人）；(4b) 第五章 容斥原理（二）【技巧感悟技巧感悟 】解法二：解法二：与例的解法相同。先把三个单项的人数相加，在与例的解法相同。先把三个单项的人数相加，在减去两项都优秀的人数之和，然后再加上三项都优秀的人数，这减去两项都优秀的人数之和，然后再加上三项都优秀的人数，这样就求出了短跑、游泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数，样就求出了短跑、游泳、篮球三项中至少有一项优秀的学生人数，最后再加上三项都没有达到优秀的人数就得到了全班人数。最后再加上三项都没有达到优秀的人数就得到了全班人数。（17+18+1517+18+15）（）（6+5+66+5+6）+2=35+2=35（人）（人）答：答：这个班的学生人数是这个班的学生人数是3939人。人。 35+4=3935+4=39（人）（人）(4b) 第五章 容斥原理（二） 小朋友们，今天学习怎样，小朋友们，今天学习怎样，小朋友们，今天学习怎样，小朋友们，今天学习怎样，知识点掌握了没有知识点掌握了没有知识点掌握了没有知识点掌握了没有? ?
