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1、 本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，本次课讲授：第二章第十一节，第十二节，第三章第一节，第三章第一节， 下次课讲第三章第二节，第三节，第四节；下次课讲第三章第二节，第三节，第四节； 下次上课时交作业下次上课时交作业P29P30 重点：二维变量函数的分布重点：二维变量函数的分布 难点：二维随机变量函数的分布。难点：二维随机变量函数的分布。第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望x + y = z的分布函数的分布函数： 考虑随机变量考虑随机变量 设设Z为为连续随机变量连续随机变量 X 与与 Y 的和的和, 求求
2、 一、一、X、Y是连续型随机变量时：和的分布是连续型随机变量时：和的分布1.连续变量和的分布函数：连续变量和的分布函数：第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望特殊地，如果特殊地，如果X 与与Y 独立独立，则，则或或 例例9-1-1（07数学一，数学一，11分）分）第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望2. 2. 平方和的分布平方和的分布 设二维连续随机变量设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为的概率密度为 f (x
3、, y), 寻求寻求 的分布。的分布。 考虑考虑 Z 的分布函数：的分布函数： 显然有显然有 从而有从而有 第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望设二维连续随机变量设二维连续随机变量 (X ,Y ) 的概率密度为的概率密度为 例例9-1-2解解考虑考虑 Z 的分布函数的分布函数显然有显然有 从而有从而有 第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望3. 3. 最大值与最小值的分布最大值与最小值的分布 设随机变量设随机变量X与与Y 独立独立，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 (1) 最
4、大值的分布最大值的分布 (最大小于号，小于都小于）最大小于号，小于都小于） (2) 最小值的分布最小值的分布 （最小大于号，大于都大于）（最小大于号，大于都大于） 第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望推广到有限多个独立随机变量的情形推广到有限多个独立随机变量的情形, 有有 特别地特别地, 若若 独立同分布独立同分布,设它们的分布函数为设它们的分布函数为 则则 第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望解解各部件的使用寿命各部件的使用寿命 的分布函数的分布函数 先求先求两个串联组的寿命两个串联组的寿命的分布函数的分布函数 某仪器由六个相互独立的部件某
5、仪器由六个相互独立的部件 组成组成, 联接方式如图所示。设各部件的使用寿命联接方式如图所示。设各部件的使用寿命服从相同的指数服从相同的指数 求仪器使用寿命的概率密度。求仪器使用寿命的概率密度。 分布分布 例例9-1-3第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望再求再求仪器使用寿命仪器使用寿命Z 的分布函数的分布函数 Z 的概率密度为的概率密度为 第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例题9-1-4（2008数学一，4分）第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例9-
6、1-5（2001数学三，数学三，8分）分）第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望二、离散型随机变量的数学期望（均值）二、离散型随机变量的数学期望（均值）1.定义定义：绝对收敛时。绝对收敛时。 称称 当级数当级数为随机变量为随机变量 的的数学期望数学期望，又称，又称均均 值值 设设 是一离散型随机变量，其分布列为是一离散型随机变量，其分布列为 ： 2.均值背景与说明均值背景与说明（1）期望源自平均值之意：例如，某班例如，某班20名学生，英语成名学生，
7、英语成绩按照绩按照5分计，该班学生成绩分布为分计，该班学生成绩分布为第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望解解3.例题讲解例题讲解例例9-2-1 设随机变量设随机变量 服从服从“01”分布分布，求数学期望，求数学期望 例例9-2-2 设随机变量设随机变量 ，求数学期望，求数学期望 解解第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望例例9-2-3 设随机变量设随机变量 ，求数学期望，求数学期望 解解例9-2-4:几何分布第九讲第九讲
8、二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望第九讲第九讲 二维变量函数的分布与期望二维变量函数的分布与期望三三. . 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 1.定义背景定义背景第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差2.2.定义：定义： 设设 为连续型随机变量为连续型随机变量, , 则则 的数学期望为的数学期望为: : 其概率密度为其概率密度为 注注注注 假定广义积分绝对收敛假定广义积分绝对收敛, 即即 存在存在. 第十讲第十讲 均值、矩与方差均值、矩与方差解解的密度函数为：的密度函数为： 例例9-3-1 设随机变量设随机变量 ,求数学期望求数学期望 3.3.例题讲解：例题讲
9、解： 例例9-3-2 设随机变量服从指数分布设随机变量服从指数分布求数学期望求数学期望 的密度函数为：的密度函数为： 解解第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差四、随机变量函数的数学期望四、随机变量函数的数学期望1.离散型一维变量函数的均值定义离散型一维变量函数的均值定义则定义随机变量函数则定义随机变量函数 的数学期望为：的数学期望为： 2.连续型一维变量函数的均值定义连续型一维变量函数的均值定义第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差注注：假定积分假定积分绝对收敛。绝对收敛。 的数学期望为：的数学期望为：则定义随机则定义随机变量函数变量函数 X 的分布密度为的分布密度为 ， 例例9-4
10、-1 设随机变量设随机变量 的概率分布为：的概率分布为： 求随机变量函求随机变量函 数数 的数学期望的数学期望. . - -2 - -1 01230.100.20 0.250.200.150.10第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差例例9-4-2 解解第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差例例9-4-3 第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差五五. . 二维随机变量条件下的单变量数学期望二维随机变量条件下的单变量数学期望第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩
11、与方差2.例题讲解：例题讲解：例例9-5-1设二维随机变量设二维随机变量 ( X, Y ) 服从区域服从区域D=(x , y)| 0x1,0yx 上的均匀分布上的均匀分布,求求:E(X), E(Y), E(XY).xyy = x第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差例例9-5-2一个系统由两个子系统并联而成一个系统由两个子系统并联而成,若只有一个子系统发生故障若只有一个子系统发生故障,系统还能正常工作系统还能正常工作,设两个子系统的工作寿命分别为设两个子系统的工作寿命分别为:X,Y,且相互独立且相互独立,并服从相同的指数分布并服从相同的指数分布:求求:系统工作寿命系统工作寿命 T 的数学期
12、望的数学期望.解解:因为因为X, Y 相互独立相互独立,所以所以第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差xyy = x第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差定理定理(1,2)(1,2)证明证明 若若 X 是一连续型随机变量，则有：是一连续型随机变量，则有：若若 X 是一离散型随机变量，是一离散型随机变量，六、关于数学期望的定理六、关于数学期望的定理1.定理与公式定理与公式第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差推论推论 证证 若若X与与Y为离散随机变量：为离散随机变量：定理定理3若若X与与Y 为连续型随机变量为连续型随机变量第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差推论推论 定理定理4定理定理5 设随机变量设随机变量X与与Y相互相互独立独立，则，则证证 若若X与与Y为离散随机变量：为离散随机变量：第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差若若X与与Y 为连续型随机变量为连续型随机变量= = E(X ) E( Y ) 定理定理6设随机变量设随机变量X1, X2,Xn相互相互独立独立，则，则2.例题讲解：例题讲解：第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差= = E(X ) E( Y ) 例例9-6-1第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差第九讲第九讲 均值、矩与方差均值、矩与方差
