《常微分方程：5-6二维自治微分方程组的周期解和极限环》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程：5-6二维自治微分方程组的周期解和极限环（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 目录 上页 下页 返回 结束5.6.1 概念及定理概念及定理5.6.2 例题例题5.6 二维自治微分方程组的周期二维自治微分方程组的周期解和极限环解和极限环 目录 上页 下页 返回 结束设设 是系统是系统的一个极限环的一个极限环, ,如果存在如果存在着着 的一个的一个 邻域，邻域，使从此邻域内出发的其他解均正向使从此邻域内出发的其他解均正向趋近于趋近于 ，则称，则称 为为稳定的极限环稳定的极限环。 目录 上页 下页 返回 结束如果其他解均负向于如果其他解均负向于 趋近于趋近于 ，则称则称 为为不稳定的极限环。不稳定的极限环。如果从如果从 的的 邻域出发的其他轨线在邻域出发的其他轨线在 的的一
2、侧正向趋近于一侧正向趋近于 ，另一侧负向趋近于，另一侧负向趋近于 ，则称此则称此 为为半稳定的极限环半稳定的极限环。 目录 上页 下页 返回 结束定理定理5.11 Poincare-Bendixson环域定理环域定理设区域设区域 是由两条简单闭曲线是由两条简单闭曲线 围成的围成的环形域并且满足下面条件环形域并且满足下面条件:(1) 及其边界及其边界 上不含奇点上不含奇点;(2)从从G的边界的边界 上各点出发的轨线都不能上各点出发的轨线都不能离开离开(或进入或进入) ; 目录 上页 下页 返回 结束(3) 均不是闭曲线均不是闭曲线. 周围在周围在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内内至少存在一个外
3、稳定闭轨和一个内稳定闭轨稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭轨轨)，如果是惟一的闭轨，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条周围一定是一条稳定的稳定的(不稳定的不稳定的)极限环极限环。 目录 上页 下页 返回 结束定理定理5.12 时的时的VanderPol方程方程 其等价方程组其等价方程组 至少有一个至少有一个极限环极限环。 目录 上页 下页 返回 结束定理定理5.13 设系统设系统的右端函数的右端函数 ， 在某个单连域在某个单连域 内内连续可微连续可微,并且并且 目录 上页 下页 返回 结束在在 内不变号内不变号,且在且在 的任何子域内不恒为零，的任何子
4、域内不恒为零，则方程组则方程组在在 内不存在任何闭轨线内不存在任何闭轨线。 目录 上页 下页 返回 结束定理定理5.14 对于方程组对于方程组若在某个单连域若在某个单连域 内存在一个连续可微函数内存在一个连续可微函数使得使得 目录 上页 下页 返回 结束不变号。且在不变号。且在 的任何子域中不恒为零，的任何子域中不恒为零，则方程组不存在全部位于则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。内的闭轨线。定理定理5.15 如果沿着系统如果沿着系统的极限环的极限环 有有 目录 上页 下页 返回 结束则则 是稳定是稳定(不稳定不稳定)的的.其中其中 是是 的的周期周期。定理定理5.16 给定微分方程给定微分方程
5、(5.6.18) 其等价方程组为：其等价方程组为： 目录 上页 下页 返回 结束其中其中如果如果(1) 在在 连续连续; (2) ; 目录 上页 下页 返回 结束(3) 在在 内分别单调不减，内分别单调不减，则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它必定为稳定的。必定为稳定的。 目录 上页 下页 返回 结束5.6.2 例题例题例例5.6.1 证明平面二次系统证明平面二次系统(5.6.17)当当 时无闭轨线。时无闭轨线。证明证明 由系统的第一个方程得到由系统的第一个方程得到 目录 上页 下页 返回 结束故轨线与直线故轨线与直线 相交时候只能从它的一侧向相交时
6、候只能从它的一侧向向另一侧向另一侧,因此系统若有闭轨线因此系统若有闭轨线.它只能位于直线它只能位于直线的一侧的一侧,在这一侧取在这一侧取Dulac函数函数 目录 上页 下页 返回 结束容易算出容易算出当当 时它是常号且当仅且当时它是常号且当仅且当 时为时为零，当零，当 不是系统的轨线。不是系统的轨线。所以由定理所以由定理5.14知道知道: 系统系统(5.6.17)当当 时不存在闭轨。时不存在闭轨。 目录 上页 下页 返回 结束例例5.6.2 用定理用定理5.15的结论判定非线性方程组的结论判定非线性方程组引入极坐标引入极坐标则产生的极限环则产生的极限环 及及 的稳定性。的稳定性。 目录 上页 下页 返回 结束解解 又又 可以算出可以算出对对 有有 目录 上页 下页 返回 结束故由定理故由定理5.15知知 是不稳定的。是不稳定的。对对 有有故由定理故由定理5.15知知 是稳定的是稳定的 。
