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1、高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）5.45.45.45.4节节节节 反常积分反常积分反常积分反常积分主主 要要 内内 容容1 无穷限的反常积分2 无界函数的反常积分常义积分常义积分积分限有限积分限有限被积函数有界被积函数有界推广推广反常积分反常积分 (广义积分广义积分)无穷限的反常积分无穷限的反常积分引例引例 曲线曲线和直线和直线及及 x 轴所围成的轴所围成的开口曲开口曲边梯形的面积边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 无穷限的反常积分无穷限的反常积分定义定义1 设设若若存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限的无穷限反常积分反常积分,
2、 记作记作这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛 ; 如果上述极限不如果上述极限不就称反常积分就称反常积分发散发散 .类似地类似地 , 若若则定义则定义存在存在,无穷限的反常积分无穷限的反常积分则定义则定义( c 为任意取定的常数为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在只要有一个极限不存在 , 就称就称发散发散 .无穷限的反常积分也称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. 并非不定型并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 它表明该反常积分发散它表明该反常积分发散 . .无穷限的反常积分无穷限的反常积分引入记号引入记号则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公
3、式的计算表达式 :无穷限的反常积分无穷限的反常积分例例1 计算反常积分计算反常积分解解 思考思考: 分析分析:原积分发散原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性质的性质, 否则会出现错误否则会出现错误 .无穷限的反常积分无穷限的反常积分例例2 计算反常积分计算反常积分解解 例例2 计算反常积分计算反常积分无穷限的反常积分无穷限的反常积分例例3 证明第一类证明第一类 p 积分积分证证 当当 p =1 时有时有 当当 p 1 时有时有 当当 p 1 时收敛时收敛; p1时发散时发散 .因此因此, 当当 p 1
4、时时, 反常积分收敛反常积分收敛 , 其值为其值为当当 p1 时时, 反常积分发散反常积分发散 . 主主 要要 内内 容容1 无穷限的反常积分2 无界函数的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分引例引例 曲线曲线所围所围与与 x 轴轴, y 轴和直线轴和直线成的成的开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积可记作可记作其含义可理解为其含义可理解为 无界函数的反常积分无界函数的反常积分定义定义2 设设而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在 ,这时称反常积分这时称反常积分收敛收敛; 如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称反常积分就称反常积分发散发散 .类似地类似地 , 若若而
5、在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,若极限若极限数数 f (x) 在在 a , b 上的反常积分上的反常积分, 记作记作则定义则定义则称此极限为函则称此极限为函 无界函数的反常积分无界函数的反常积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点而在点 c 的的无界函数的积分又称作无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称无界点常称邻域内无界邻域内无界 ,为为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如例如,间断点间断点,而不是反常积分而不是反常积分. 则本质上是常义积分则本质上是常义积分, 则定义则定义无界函数的反常积分无界函数的
6、反常积分注意注意: 若瑕点若瑕点计算表达式计算表达式 : 则也有类似牛则也有类似牛 莱公式的莱公式的若若 b 为瑕点为瑕点, 则则若若 a 为瑕点为瑕点, 则则若若 a , b 都为瑕点都为瑕点, 则则则则可相消吗可相消吗?无界函数的反常积分无界函数的反常积分下述解法是否正确下述解法是否正确: , 积分收敛积分收敛所以反常积分所以反常积分发散发散 .例例4 计算反常积分计算反常积分解解 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式原式例例5 讨论反常积分讨论反常积分的收敛性的收敛性 . 解解 无界函数的反常积分无界函数的反常积分例例6 证明反常积分证明反常积分证证 当当 q = 1 时时,当当
7、q 1 时收敛时收敛 ; q1 时发散时发散 .当当 q1 时，时，所以当所以当 q 1 时时, 该广义积分收敛该广义积分收敛 , 其值为其值为当当 q 1 时时, 该广义积分发散该广义积分发散 .无界函数的反常积分无界函数的反常积分显然积分下限为瑕点，且积分上限为显然积分下限为瑕点，且积分上限为 .例例7 计算反常积分计算反常积分解解则则且且从而从而所以所以无界函数的反常积分无界函数的反常积分例例8 解解 求求的无穷间断点的无穷间断点, 故故 I 为反为反常积分常积分. .本本 节节 小小 结结 1. 反常积分反常积分积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极
8、限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化 .例如例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.本本 节节 小小 结结 (3) 有时需考虑主值意义下的反常积分有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为其定义为常积分收敛常积分收敛 .注意注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反作业作业P260 1(4), (6), (9), (10); 2, 3作作 业业提示提示: P256 题题2求其最大值求其最大值 .
