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1、1、幂函数与根式函数、幂函数与根式函数2、指数函数与对数函数、指数函数与对数函数3、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、由圆弧构成的两角形区域的共形映射3 3 某些初等函数所构成的共形映射某些初等函数所构成的共形映射 分式线性变换具有许多好的性质，但仅用分分式线性变换具有许多好的性质，但仅用分式线性变换构造共形映射是不够的，即使是将第一象式线性变换构造共形映射是不够的，即使是将第一象限映射成上半平面这样简单的情况，分式线性变换也限映射成上半平面这样简单的情况，分式线性变换也显得无能为力显得无能为力. . 本节将介绍一些初等函数所构成映本节将介绍一些初等函数所构成映射的特点，它们对研究较复杂区域上
2、的共形映射大有射的特点，它们对研究较复杂区域上的共形映射大有帮助帮助. .本本节节内内容容1 1、幂函数与根式函数、幂函数与根式函数特殊地特殊地:)上岸上岸0沿正实轴剪开的沿正实轴剪开的w平面平面下岸下岸共形映射共形映射映射特点映射特点:把以原点为顶点的角形域映射成以原把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍. .分析分析: 关键点是将垂直于关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧与轴的割痕的两侧与x轴轴之间的夹角展平之间的夹角展平. 00例例1 1解解0.0.0.0.如图，如图，0.0.0.0002、指数函数与对数函数、指数函
3、数与对数函数00?解解例例3 303、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、由圆弧构成的两角形区域的共形映射 借助于分式线性变换，以及幂函数或指数借助于分式线性变换，以及幂函数或指数函数的复合，可以将二圆弧或直线段所构成的两角函数的复合，可以将二圆弧或直线段所构成的两角形区域共形映射成一个标准区域，比如上半圆周形区域共形映射成一个标准区域，比如上半圆周. . 由于分式线性变换的保角性，它把已给两由于分式线性变换的保角性，它把已给两角形区域共形映射成同样形状的区域、或弓形区域、角形区域共形映射成同样形状的区域、或弓形区域、或角形区域或角形区域. . 只要已给圆周只要已给圆周( (或直线或直线) )上有一个点上有一个点变为变为 w = ，则此圆周，则此圆周( (或直线或直线) )就变成直线就变成直线. . 如如果它上面没有点变为果它上面没有点变为w = = ，则它就变为有限半径，则它就变为有限半径的圆周的圆周. . 所以，若二圆弧的一个公共点变为所以，若二圆弧的一个公共点变为 w = = ，则此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成，则此二圆弧所围成的两角形区域就共形映射成角形区域角形区域. .共形映射共形映射.? ?例例4 4oo解解实现此步的映射是分式线性函数实现此步的映射是分式线性函数:oo.oo.因此所求映射为因此所求映射为:ooo.? ?解解例例5 5.课课 程程 结结 束束
