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1、 数学解题教学数学解题教学 没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。我们探究的地方。我们探究的地方。我们探究的地方。 美美美美G. G. 波利亚波利亚波利亚波利亚 解题既是一种实践活动，也是一种学习活动。解题既是一种实践活动，也是一种学习活动。解题既是一种实践活动，也是一种学习活动。解题既是一种实践活动，也是一种学习活动。分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径。分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径。分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径。分析典型
2、例题的解题过程是学会解题的有效途径。学会解题有四步骤基本程式：简单模仿、变式练习、学会解题有四步骤基本程式：简单模仿、变式练习、学会解题有四步骤基本程式：简单模仿、变式练习、学会解题有四步骤基本程式：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析。自发领悟、自觉分析。自发领悟、自觉分析。自发领悟、自觉分析。 罗增儒罗增儒罗增儒罗增儒1波利亚的数学教育思想概述波利亚的数学教育思想概述 波利亚波利亚波利亚波利亚(George Polya)(George Polya)数学教育思想的核心问题数学教育思想的核心问题数学教育思想的核心问题数学教育思想的核心问题: :数学教育的目的是什么？数学教育的目的是什么？数学
3、教育的目的是什么？数学教育的目的是什么？ 1. 1.波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素养般素养般素养般素养: :首先和主要的目标应当是教会青年思考首先和主要的目标应当是教会青年思考首先和主要的目标应当是教会青年思考首先和主要的目标应当是教会青年思考. . 2. 2.教什么样的思考教什么样的思考教什么样的思考教什么样的思考? ?数学是什么数学是什么数学是什么数学是什么? ?数学有什么特点数学有什么特点数学有什么特点数学有什么特点? ?对数学及其意义的认识的教学
4、观起着决定性的作用对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用对数学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用. .波利亚怎样解题表简介波利亚怎样解题表简介2 3. 3. 波利亚强调应该教有目的的思考波利亚强调应该教有目的的思考波利亚强调应该教有目的的思考波利亚强调应该教有目的的思考, ,教正规的演教正规的演教正规的演教正规的演绎推理，也教非正规的似真的合情推理绎推理，也教非正规的似真的合情推理绎推理，也教非正规的似真的合情推理绎推理，也教非正规的似真的合情推理. . （1 1）我们这里所说的思考不是空想）我们这里所说的思考不是空想）我们这里所说的思考不
5、是空想）我们这里所说的思考不是空想, ,而是有目的的思考或而是有目的的思考或而是有目的的思考或而是有目的的思考或有意义的思考或有成果的思考有意义的思考或有成果的思考有意义的思考或有成果的思考有意义的思考或有成果的思考; ; （2 2）数学思考不是完全正规的）数学思考不是完全正规的）数学思考不是完全正规的）数学思考不是完全正规的, ,它不仅涉及到公理定义和它不仅涉及到公理定义和它不仅涉及到公理定义和它不仅涉及到公理定义和严格证明严格证明严格证明严格证明, ,而且还包含许多别的方面而且还包含许多别的方面而且还包含许多别的方面而且还包含许多别的方面, ,从观察到的情况得出从观察到的情况得出从观察到的
6、情况得出从观察到的情况得出的结论的结论的结论的结论, ,归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理, ,类比推理类比推理类比推理类比推理. .在具体的情况里辨认数学概在具体的情况里辨认数学概在具体的情况里辨认数学概在具体的情况里辨认数学概念或从具体情况进行抽象念或从具体情况进行抽象念或从具体情况进行抽象念或从具体情况进行抽象. . 数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要的非正规的思想方法的非正规的思想方法的非正规的思想方法的非正规的思想方法. .3 问题解决问
7、题解决n n波利亚充分肯定解题的一般教育价值波利亚充分肯定解题的一般教育价值,把教会学把教会学生解题看做是教会学生思考生解题看做是教会学生思考,培养他们独立探索培养他们独立探索的一条有效途径的一条有效途径.4如何解题如何解题1. 1. 积累认识的资源积累认识的资源2. 2. 掌握转化的方法掌握转化的方法3. 3. 及时调控的能力及时调控的能力4. 4. 良好信念系统的支持良好信念系统的支持 5n n 综观主体解题的全部过程，解题的综观主体解题的全部过程，解题的要素，即解题中起重要作用的成分，大要素，即解题中起重要作用的成分，大致包括认识的资源、启发法、调控和信致包括认识的资源、启发法、调控和信
8、念系统四个方面这些要素组成一个有念系统四个方面这些要素组成一个有机整体，为解题研究提供了一个基本的机整体，为解题研究提供了一个基本的理论框架，而其本身也是理论研究深入理论框架，而其本身也是理论研究深入发展的产物发展的产物 如何解题如何解题6n 1积累认识的资源积累认识的资源n认识的资源，主要是指与解题有关的数认识的资源，主要是指与解题有关的数学基础知识和基本技能把认识的资源学基础知识和基本技能把认识的资源作为解题的要素，这是一个公认的常识作为解题的要素，这是一个公认的常识事实上，任何解题都是以一定的数学事实上，任何解题都是以一定的数学知识，包括运算技能、作图和画图技能、知识，包括运算技能、作图
9、和画图技能、算法和程序性知识等，作为必要条件的算法和程序性知识等，作为必要条件的7n关于知识的组织，波伊亚曾提出以下建议：关于知识的组织，波伊亚曾提出以下建议：n (1) 对于任何主题都有一些对于任何主题都有一些“关键知识关键知识(关键问题，关键定理关键问题，关键定理)，这些，这些“关键知识关键知识”应应存放在你记忆的存放在你记忆的“最前方最前方”n (2) 应当把已经解过的带有同样类型未知量应当把已经解过的带有同样类型未知量的那些问题和已经证明过的结论相同的那些定的那些问题和已经证明过的结论相同的那些定理理“贮存在一起贮存在一起”n (3) 应当把两个具体知识间切实可行的联系应当把两个具体知
10、识间切实可行的联系找出来对于彼此相关的问题，它们之间的联找出来对于彼此相关的问题，它们之间的联系可能是共同的解法模式，可能是共同的未知系可能是共同的解法模式，可能是共同的未知量，或有共同的已知数据，或存在着某种类似量，或有共同的已知数据，或存在着某种类似特点以及诸如此类的其他方面特点以及诸如此类的其他方面 8n波利亚在他的波利亚在他的“怎样解题表怎样解题表”中，为了中，为了激发学生找出已知条件与未知量之间的激发学生找出已知条件与未知量之间的关系，列了一类问题：你以前见过它吗关系，列了一类问题：你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？尽量
11、想出一道你所熟同的形式出现吗？尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目等等悉的具有相同或相似未知量的题目等等.9n 用现代认知科学的理论来分析，数学知识的用现代认知科学的理论来分析，数学知识的合理组织，实质上就是按照解题的需要，改造和合理组织，实质上就是按照解题的需要，改造和组建适合个体特征的数学知识结构也就是说，组建适合个体特征的数学知识结构也就是说，实践波伊亚的建议，关键是在平时的学习中，要实践波伊亚的建议，关键是在平时的学习中，要注意不断改善数学认知结构变量，在同化和顺应注意不断改善数学认知结构变量，在同化和顺应上多下功夫对于上多下功夫对于“关键知识关键知识”，要弄清它的来，要弄
12、清它的来龙去脉，熟悉它的思维模式，抓住它的纵横联系，龙去脉，熟悉它的思维模式，抓住它的纵横联系，在解题实践中有目的地整理自己的知识系统，不在解题实践中有目的地整理自己的知识系统，不断地添加积累新例子，编织可以随时提取的记忆断地添加积累新例子，编织可以随时提取的记忆网络网络10n n2. 掌握转化的方法掌握转化的方法n解题，实质上就是确立题中条件与问题解题，实质上就是确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系，实现或条件与结论逻辑上的必然联系，实现由未知向已知的转化由未知向已知的转化因此把一个数学因此把一个数学题转化为我们曾经解决过的与之相似的题转化为我们曾经解决过的与之相似的数学题就成为解
13、题的关键。如何转化？数学题就成为解题的关键。如何转化？ 11n3. 及时调控的能力及时调控的能力n所谓调控，是指对所进行的解题活动（包所谓调控，是指对所进行的解题活动（包括解题模式的识别，解题策略的选择，解括解题模式的识别，解题策略的选择，解题途径的探索，解题方案的构思，解题前题途径的探索，解题方案的构思，解题前景的评价等）的自我意识、自我评估和自景的评价等）的自我意识、自我评估和自我调整我调整.n自我意识是以自身为意识对象的意识自我意识是以自身为意识对象的意识. 只只有对解题活动的信息输入、加工、储存、有对解题活动的信息输入、加工、储存、输出有着清醒的自我意识，才能克服思维输出有着清醒的自我
14、意识，才能克服思维获得的盲目性，增强主动性和自觉性获得的盲目性，增强主动性和自觉性.12n n4. 良好信念系统的支持良好信念系统的支持n信念是激励主体坚定不移地按照自己的信念是激励主体坚定不移地按照自己的观点、原则和世界观去行动的的个性倾观点、原则和世界观去行动的的个性倾向向.具备信念的人，经常表现为坚信某具备信念的人，经常表现为坚信某种观点的正确性，并由此支配自己的行种观点的正确性，并由此支配自己的行动动. 解题中的信念系统，泛指解题的非解题中的信念系统，泛指解题的非智力因素，即解题者学习积极性方面的智力因素，即解题者学习积极性方面的因素，诸如观念、情感等方面的个性品因素，诸如观念、情感等
15、方面的个性品质质.n解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看待数学，怎样看待解数学题待数学，怎样看待解数学题.n解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心.13n n小结解题的要素：小结解题的要素：n n（1）积累认识的资源；）积累认识的资源；n n（2）掌握转化的方法；）掌握转化的方法；n n（3）培养调控的能力；）培养调控的能力；n n（4）信念系统的支持）信念系统的支持14 解题过程分为以下四个阶段解题过程分为以下四个阶段: 1. 弄弄清问题清问题 2. 拟订计划拟订计划 3. 实现计划实现
16、计划 4. 回顾回顾波波利利亚亚的的怎样怎样解题解题表表15 1 弄清问题弄清问题 （1）未知数是什么）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什已知数据是什么？条件是什么么?满足条件是否可能满足条件是否可能?要确定未知数要确定未知数,条件是否条件是否充分充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是或者是矛盾的矛盾的? （2）画张图）画张图,并引入适当的符号并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开）把条件的各部分分开,并把它们写下来并把它们写下来.波利亚的怎样解题表波利亚的怎样解题表162. 拟订计划拟订计划n考虑以前是否见过它考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问
17、题而形式稍有不是否见过相同的问题而形式稍有不同同? 你是否知道一个可能用得上的定理你是否知道一个可能用得上的定理?n考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.n能否利用它的结果或方法能否利用它的结果或方法?为了利用它为了利用它,是否引入某些辅助是否引入某些辅助元素元素?n能否用不同的方法重新叙述它能否用不同的方法重新叙述它?n回到定义去回到定义去.n如果你不能解决所提出的问题如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的可先解决一个与此有关的问题问题.n是否利用了所有的已知数据是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否是否利用了所有条件？
18、是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念考虑了包含在问题中的所有必要的概念?17n实现你的求解计划实现你的求解计划,检验每一步骤检验每一步骤.n你能否清楚地看出这一步骤是正确的你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的你能否证明这一步骤是正确的?3. 实现计划实现计划18能否检验这个论证能否检验这个论证能否检验这个论证能否检验这个论证? ?你能否用别的方法导出结果你能否用别的方法导出结果你能否用别的方法导出结果你能否用别的方法导出结果? ?能不能一下子看出它来能不能一下子看出它来能不能一下子看出它来能不能一下子看出它来? ?能不能把这结果或方法用于其他问题能不能把这结果或方法用
19、于其他问题能不能把这结果或方法用于其他问题能不能把这结果或方法用于其他问题? ? 4. 回顾回顾19怎样解题表怎样解题表的的解释解释n n第第第第1 1 你必须了解问题你必须了解问题你必须了解问题你必须了解问题( (弄清问题弄清问题弄清问题弄清问题) )n (1) 未知数是什么未知数是什么?n (2) 已知数据是什么已知数据是什么?n (3) 条件是什么条件是什么?n (4) 满足条件是否可能满足条件是否可能?n (5) 要确定未知数，条件是否充分要确定未知数，条件是否充分?n (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？或者它是否不充分？或者它是多余的？或者是矛盾的？或者是矛盾的？n (7)
20、(7) 画张图，引入适当的符号画张图，引入适当的符号画张图，引入适当的符号画张图，引入适当的符号n (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它们把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来写下来?20n n第第第第2 2 找出已知数与未知数之间的关系；如果找不找出已知数与未知数之间的关系；如果找不找出已知数与未知数之间的关系；如果找不找出已知数与未知数之间的关系；如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题：你出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题：你出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题：你出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题：你应该最终得出一个求解的计划应该最终得出一个求解的计划应该最终得出
21、一个求解的计划应该最终得出一个求解的计划拟定计划拟定计划拟定计划拟定计划n (1) 你以前见过它吗你以前见过它吗?你是否见过相同的你是否见过相同的问题而形式稍有不同问题而形式稍有不同?n (2) 你是否知道与此有关的问题你是否知道与此有关的问题?你是否你是否知道一个可能用得上的定理知道一个可能用得上的定理?n (3) 看着未知数，试想出一个具有相同未看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题知数或相似未知数的熟悉问题 21n n(4) (4) 这里有一个与你现在的问题有关，且早已这里有一个与你现在的问题有关，且早已这里有一个与你现在的问题有关，且早已这里有一个与你现在的问题有关
22、，且早已解决的问题，你能不能利用它解决的问题，你能不能利用它解决的问题，你能不能利用它解决的问题，你能不能利用它?(?(你能利用它你能利用它你能利用它你能利用它的结果吗的结果吗的结果吗的结果吗? ?你能利用它的方法吗你能利用它的方法吗你能利用它的方法吗你能利用它的方法吗?)?)为了能利用为了能利用为了能利用为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素它，你是否应该引入某些辅助元素它，你是否应该引入某些辅助元素它，你是否应该引入某些辅助元素? ?n n (5) (5) 你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题你能不能重新叙述这个问题? ?你能不能用你能不能用你能不能用
23、你能不能用不同的方法重新叙述它不同的方法重新叙述它不同的方法重新叙述它不同的方法重新叙述它? ?回到定义去回到定义去回到定义去回到定义去n n (6) (6) 如果你不能解决所提出的问题，可先解如果你不能解决所提出的问题，可先解如果你不能解决所提出的问题，可先解如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个决一个与此有关的问题你能不能想出一个决一个与此有关的问题你能不能想出一个决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题更容易着手的有关问题更容易着手的有关问题更容易着手的有关问题? ?一个更普遍的问题一个更普遍的问题一个更普遍的问题一个更普遍的问题? ?一个
24、更特殊的问题一个更特殊的问题一个更特殊的问题一个更特殊的问题? ?一个类比的问题一个类比的问题一个类比的问题一个类比的问题? ?22n(7) 你能否解决这个问题的一部分你能否解决这个问题的一部分?仅仅保仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度未知数能确定到什么程度?它会怎样变化它会怎样变化?n(8) 你能不能从已知数据导出某些有用的东你能不能从已知数据导出某些有用的东西西?你能不能想出适于确定未知数的其他数你能不能想出适于确定未知数的其他数据据?如果需要的话，你能不能改变未知数或如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改
25、变，以使新未知数和新数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知你是否利用了所有的已知数据数据?n(9) 你是否利用了整个条件你是否利用了整个条件?n(10) 你是否考虑了包含在问题中的所有必你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念要的概念?23n n第3 实行你的计划(实现计划)n n (1) 实现你的求解计划，检验每一步骤。n n (2) 你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?24n n第第4 验算所得到的解验算所得到的解(回顾回顾)n n (1) 你能否检验这个论证?n n (2) 你能否用别的方法导出这个结果?你能不
26、能一下子看出它来?n n (3) 你能不能把这个结果或方法用于其他的问题?25n 例 在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c且c=10，cosA/cosB=b/c=4/3，点P为ABC内切圆上的一个动点求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值26n n解题过程：n n第1弄清问题n n条件(已知)：n n (1) c=10；n n (2) cosA/cosB=b/a=4/3 ；n n (3)点P为ABC内切圆上的动点n n问题(未知)：n n求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值和最大值27n n第第2拟订计划拟订计划n n回忆原来有没有见过同类问题(没有)，但见过相关
27、的问题：n n(1)已知三角形的某些边角关系，判断三角形的形状、解三角形等(知三求三，已知的三个边角元素中至少有一个是边)，题目基本符合n n(2)如果三角形可以确定，那么此题就是求这个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶点的距离的平方和的最值问题28n n第第4 回顾回顾n n（1）在方法上，本题是使用）在方法上，本题是使用“解析法解析法”解解决三角问题的一个成功案例决三角问题的一个成功案例.n（2）在数学思想上，本题是数形结合数学）在数学思想上，本题是数形结合数学思想的一个成功应用思想的一个成功应用.n n（3）在基础知识的使用上，本题主要用到）在基础知识的使用上，本题主要用到了了“余弦定
28、理余弦定理”、“勾股定理勾股定理”、“参数参数方程方程”和和“三角函数的性质三角函数的性质”等等.29n n波利亚解题过程的四个阶段波利亚解题过程的四个阶段:n n1. 弄清问题弄清问题认识、并对问题进行表征的过程认识、并对问题进行表征的过程 ，是成功解决问题的一个必要前提是成功解决问题的一个必要前提 n n2. 拟订计划拟订计划是探索解题思路的发现过程，是探索解题思路的发现过程，是关是关键环节和核心内容。键环节和核心内容。n n3. 实现计划实现计划是思路打通之后具体实施信息资源是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心我们所需要的只是耐心” n n4. 回
29、顾回顾是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法法 .30n n值得注意的四个方面值得注意的四个方面n n(1)(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是
30、所有的题目都要像表中那样习惯并不是所有的题目都要像表中那样习惯并不是所有的题目都要像表中那样习惯并不是所有的题目都要像表中那样“ “面面俱到面面俱到面面俱到面面俱到” ”n n(2) (2) 解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新技能新，体会数学的应用价
31、值，形成创新技能新，体会数学的应用价值，形成创新技能新，体会数学的应用价值，形成创新技能n n(3) (3) 解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成科学观的形成科学观的形成科学观的形成n n(4)(4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“ “题海题海题海题海战术战术战术战术” ” 31数学问题解决的框架数学问题解决的框架问题识别与定义问题表征策略
32、选择与应用资源分配监控与评估32数学问题解决的过程数学问题解决的过程 数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤,即理解问题,明确任务;拟定求解计划;实现求解计划;检验和回顾.问题情境 转换寻求解决途径求得答案检验与评价33数学问题解决的策略1.分析给出的数据信息和条件;2.表征信息-从外部和大脑内部;3.建立假设和计划过程;4.应用公式算法定理,监控这类应用;5.决定和检验假设,反思. 34变更题目的常用方法题目 分解与组合穷举法,中途点n等价的题目 回到定义 等价变换 映射到别的领域 简化n特殊的题目 约化 极端情形 一般化n更一般的题目 强化 充分题 必要题 基本题n相关的题目 辅助题 类似题 部分题弱化35问题解决与数学思维的培养问题解决与数学思维的培养n现代数学教学理论认为,数学教学是数学思维的教学, 学习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程.n通过数学的学习活动,逐步认识到数学知识形成和发展的思维过程,使学生学会运用思维方法,善于对问题进行分析,综合归纳类比抽象概括.n问题解决的过程不是学生被动地吸收知识,而是主动建构知识的过程,是在深层次的参与中,真正地学会数学的思维.36
