数学期望ExDx

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1、第四章数字特征 引言 一、数学期望问题：随机变量的均值应如何定义？例如，甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表： X甲 8 9 10击中次数击中次数 3 1 6 P 0.3 0.1 0.6 Y乙 8 9 10击中次数击中次数 2 5 3 P 0.2 0.5 0.3评价这两射手的水平？解：现求在这十次射击中，平均击中的环数： 结果：甲平均击中的环数9.3, 乙平均击中的环数9.1,甲水平较高。 根据概率的统计定义作分析：击中次数Ni与N的比值，是这N次试验中射中环数的频率，按概率的统计定义，当N很大时, Ni/N接近于射中环数的概率。 1.离散型随机变量的数学期望 (1)定

2、义 设离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk ，k=1,2,若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即注释 (1)X的期望E(X)是一个数，它形式上是X的可能值 的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它 体现了X取值的真正平均，为此我们又称它为X的 均值。因为它完全由X的分布所决定，所以又称 为分布的平均值。(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6

3、，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？ 解: 设X表示一件产品的利润（单位元），X是随机变量，且X的分布律为 X 10 0 -15 P 0.6 0.3 0.1 依题意，所要求的是X的数学期望 E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(元)(2)几种典型的离散型随机变量的数学期望 i. X服从参数为p的(0,1)分布：E(X)=0(1-p)+1p=p； ii. 若XB(n,p),则E(X)=np；证明：X的分布律为 X 0 1P 1-p piii.若XP()，则E(X)=。 证明：X的分布律为 2

4、 2连续型随机变量的数学期望 (1)定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)， 若积分 绝对收敛，则称此积分的值为随 机变量X的数学期望，记为E(X)。即例1若X N(,2)，求E(X)。解：X的概率密度为：特别地，若XN(0,1)，则E(X)=0。 (1) 几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若XU(a,b),则E(X)=(a+b)/2.证：X的概率密度为ii. 若XN(,2)，则E(X)=。iii.若X服从指数分布 ，则E(X)=1/。3.随机变量的函数的数学期望定理定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)， (1) X是离散型随机变量，它的分布律为PX=xk=pk

5、 ，k=1，2，若 绝对收敛，则有(2) X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，若 绝对收敛，则有注释注释 A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容易。因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这也是计算期望的一个技巧。C.上述定

6、理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X，Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有 这里设上式右边的积分绝对收敛，又若(X，Y)为离散型随机变量。其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij , i,j=1,2,. 则有这里设上式右边的级数绝对收敛。例例设随机变量设随机变量在在上服从均匀分布上服从均匀分布, ,及及解解 根据随机变量函数数学期望的计算公式根据随机变量函数数学期望的计算公式, ,有有求求例例设随机变量设随机变量在在上服从均匀分布上服从均匀分布, ,及及解解 根据随机变量函数数

7、学期望的计算公式根据随机变量函数数学期望的计算公式, ,有有求求例例设随机变量设随机变量在在上服从均匀分布上服从均匀分布, ,及及解解 根据随机变量函数数学期望的计算公式根据随机变量函数数学期望的计算公式, ,有有求求完完例1: 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1，2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为(0)若将这5个电子装置串联工作组成整机，求整机 寿命N的数学期望； 解: Xk(k=1，2，3，4，5)的分布函数为 (1) 由第三章知N=min(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数为 因而N的概率密度为 于是N的数学期望为 注 对任意的随机变量，其数学期望不一

8、定存在。 例如 (1)随机变量X的取值为易验证 满足分布律的两个条件，但 发散。所以E(X)不存在。 (2)随机变量X的概率密度为 (柯西分布)。所以E(X)不存在。三、数学期望的性质 数学期望具有以下几条重要性质(设以下所遇到的随机变量的期望是存在的)：(1) C为常数,则有E(C)=C；(2) 设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)；(3) 设X，Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:(4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积

9、的情况(5) 若X0,则E(X)0. 由此性质可推得下面性质: 若XY,则E(X)E(Y)；|E(X)|E(|X|).证：只对连续型随机变量证明(3)和(4)。 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，其边缘概率密度为fX(x)，fY(y)。因为(3)得证。又若X和Y相互独立，此时f(x,y)=fX(x)fY(y),故有例例一民航送客车载有一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出位旅客自机场开出, ,旅客有旅客有 10 个车站可以下车个车站可以下车. . 如到达一个车站没如到达一个车站没有旅客下车就不停车有旅客下车就不停车, , 以以表示停车的次数表示停车的次数, , 求求(设每位旅

10、客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的, ,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立). .解解 引入随机变量引入随机变量在第在第在第在第站没有人下车站没有人下车站有人下车站有人下车, ,易知易知例例14解解 引入随机变量引入随机变量在第在第在第在第站没有人下车站没有人下车站有人下车站有人下车, ,易知易知现在来求现在来求按题意按题意, , 任一旅客不在第任一旅客不在第站站下车的概率为下车的概率为因此因此 20 位旅客都不在第位旅客都不在第站下车的概率为站下车的概率为在第在第站有人下车的站有人下车的概率为概率为即即例例14解解即即例例14解解即即由此由此进而进

11、而(次次). .注注: : 本题是将本题是将分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和, ,然后利然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望的和来求数学期望的, , 这种处理方法具有一定的普遍这种处理方法具有一定的普遍意义意义.完完第二节 方差 例:甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表： X甲 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y乙 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4问哪一个选手技术较好？ 解：E(X)=9.0；E(Y)=9.0. 但直观上，他们射击的水平有差异，甲较稳定，相对与E(X)的

12、偏离较小，所以甲的技术较好。 需要刻划随机变量在其中心位置附近分散程度的大小这一特征，其中最重要的是方差。二、方差的定义 1定义 设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即:D(X)=EX-E(X)2。 注释：(1)方差是随机变量X与其 “中心”E(X)的偏差平方的平均。它表达了X的取值与其期望值E(X)的偏离程度。若X取值较集中，则D(X)较小，反之，若取值较分散，则D(X)较大。 (2) 应用上，常用量 ，称为标准差或均方差，记为(X)= 。 (3) 对任意的随机变量D(X)不一定存在，例如 (Cauchy分布)，因为E(X)

13、不存在,所以D(X)不存在。 2.方差的计算公式 (2) D(X)=E(X2)-E(X)2 证明：D(X)=EX-E(X)2 =E(X2-2XE(X)+E(X)2)=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)2。 X甲 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y乙 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4例1甲、乙两射手的例中， 例2随机变量X的概率密度为 求E(X)，D(X)。 3方差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在: (1) 设C是常数，则D(C)=0；(2) 设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而D(aX+b)=a2D(X)；(3) 设

14、X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(XY)=D(X)+D(Y)； 证:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E(X-E(X)+(Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X)Y-E(Y) 由于X，Y相互独立，XE(X)与YE(Y)也相互独立，由数学期望的性质， 2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。 (4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即: PX=C=1.显然，这里C=E(X)。 (二)二项分布 设Xb(n,p)

15、,，其分布律为 证：令Xi服从参数为P的(0-1)分布，i=1，2，n， 且X1，X2，Xn相互独立,则X1+X2+Xn b(n,p)， 于是 E(X)=E(X1+X2+Xn)=np, D(X)= D(X1+X2+Xn) =D(X1)+D(X2)+D(Xn)=np(1-p)=npq. 将X表示成n个随机变量之和，可将方差的计算简化。 这是计算方差的一个技巧。 则E(X)=np,D(X)=npq。(二)泊松分布 设若 X(),其分布律为 则E(X)=, D(X)=。 所以方差为 D(X)=E(X2)-E(X)2=. 泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布。 (三)均匀分布 设X在区间(a，b)上服从均匀分布，则E(X)=(a+b)/2， (四)正态分布 若XN(,2)，则E(X)=，而方差为D(X)=2.证：X的概率密度为： 正态随机变量的分布完全可由这的数学期望和方差确定。 特别地，XN(,2)，Y=(X-)/，根据正态分布的性质知Y服从正态分布而E(Y)=0， D(Y)=1，故YN(0，1)。这样导出Y的分布N(0，1)与第二章中的方法要简便得多。