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1、1弯弯 曲曲 变变 形形第第 12 12 章章目录2第第1212章章 弯曲变形弯曲变形引言引言挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计简单静不定梁简单静不定梁目录目录目录3引引 言言7-1目录4目录引引 言言5目录引引 言言6挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程1.1.基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角挠度挠度w w：截面形心
2、：截面形心在在y y方向的位移方向的位移向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正7-2目录72.2.挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程8由数学知识可知：由数学知识可知：略去高阶小量，得略去高阶小量，得所以所以目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程9 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：的二阶导数符号一致，所以挠
3、曲线的近似微分方程为： 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。挠度。目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程10挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程11 积分常数积分常数C C、D D 由梁由梁的位移边界条件和光滑连的位移边界条件和光滑连续条件确定。续条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程12挠曲轴近似微分方程挠曲轴近
4、似微分方程挠度转角关系为：挠度转角关系为：挠曲线挠曲线挠度挠度转角转角挠度挠度w w：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正7-2目录13忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程数学上：数学上：由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：14挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一
5、次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：7-3目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程15 积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。条件确定。位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形目录挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程16例例1 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的弯曲刚度梁的弯曲刚度EIEI已知。已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩
6、方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次A AB BF F目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法174 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度A AB BF F目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法18例例2 2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的梁的EIEI已知，已知，l=a+b，ab。解解1 1）由梁整体平衡分析得
7、：）由梁整体平衡分析得：2 2）弯矩方程）弯矩方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法193 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分AC AC 段：段：CB CB 段：段：目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法204 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法215 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程AC AC 段：段：CB CB 段：段：目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法226 6）确定
8、最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，令令 得，得，目录计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法23计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为w w，则有：，则有： 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，7-4目录24故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论：
9、 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。目录计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法25例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面的挠度的挠度w wC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解wC1wC2wC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角
10、截面的转角。解解目录计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法26wC1wC2wC33 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 目录计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法27例例4 4 已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度w wC C和转角和转角 C C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为布载荷延长至梁的全长，为了不改变
11、原来载荷作用的效了不改变原来载荷作用的效果，在果，在AB AB 段还需再加上集段还需再加上集度相同、方向相反的均布载度相同、方向相反的均布载荷。荷。 解解解解目录计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法283 3）将结果叠加）将结果叠加 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 目录计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法29简单静不定梁简单静不定梁1.1.基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角
12、度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.求解方法：求解方法：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变比较变形，列变形协调条件形协调条件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用利用静力平衡条件求其他约束反力。静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-6目录30解解例例5 5 求梁的支反力，梁的抗弯求梁的支反力，梁的抗弯刚度为刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除
13、多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统目录3 3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件简单静不定梁简单静不定梁314 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 所以所以4 4）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 目录简单静不定梁简单静不定梁32例例6 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B
14、 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：FBMMA AF FA AwB1 FBMMC CF FC CwB2物理关系物理关系解解简单静不定梁简单静不定梁33FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CwB1wB2代入得补充方程：代入得补充方程：确定确定A A 端约束力端约束力简单静不定梁简单静不定梁34FB FBMMA AF FA AMMC CF FC CwB1wB2确定确定B B 端约束力端约束力简单静不定梁简单静不定梁35MMA AF FA AMMC CF FC CA A、B B 端约束力已求出端约束力已求出最后作梁
15、的剪力图和弯矩图最后作梁的剪力图和弯矩图简单静不定梁简单静不定梁361.1.刚度条件刚度条件 建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：7-5目录梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计37 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。 B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： 解解目录例例7 7 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端
16、受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计38例例7 7 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承。轴承B B处的许可转处的许可转角角 =0.5 =0.5。根据刚度要求确。根据刚度要求确定轴的直径定轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度
17、条件确定轴的直径：目录梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计392.2.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1 1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状目录梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计402 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变支支座座形形式式目录梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计412 2）改善结构形式，减少弯矩数值）改善结构形式，减少弯矩数值改改变变载载荷荷类类型型目录梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计423 3）采用超静定结构）采用超静定结构目录梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计43作业（作业（1212月月1515日）日）12-112-1（b b） 12-212-2（b b）（）（d d）作业（作业（1212月月2020日）日）12-5 12-812-5 12-8作业（作业（1212月月2222日）日）12-15(b) 12-2012-15(b) 12-20
