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1、4.4.3最大最大(小小)模原理模原理定理定理4.23(最大模最大模 原理原理) 设设f(z)在区域在区域D内解析内解析,则则|f(z)|在在D内任何点都不能达到最大值内任何点都不能达到最大值,除非在除非在D内内f(z)恒等于常数恒等于常数.证证 :如果用如果用M表表|f(z)|在在D内的最小上界内的最小上界,则必则必0M+.(反证法反证法)假定在假定在D内有一点内有一点z0,函数函数f(z)的模在的模在z0达到它的最大值达到它的最大值, (1)应用平均值定理应用平均值定理(定理定理3.12)于以于以z0为中心为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域并且连同它的周界一起都全含于区域D内的内的一
2、个圆一个圆|z-z0|R,就得到就得到在在z0达到它的最大值达到它的最大值,即即|f(z0)|=M.(4.15)由于由于而而以下再用反证法说明这一点以下再用反证法说明这一点:如果对于某一个值如果对于某一个值 = 0有：有：（反证）（反证）那么根据那么根据|f(z)|的连续函数的保号性：的连续函数的保号性：在这个区间之外在这个区间之外,总是总是在这样的情况下在这样的情况下,由由(4.15)得得z0因此因此,我们已经证明了我们已经证明了:在以在以点点z0为中心的每一个充分小为中心的每一个充分小的圆上的圆上|f(z)|=M.自相矛盾自相矛盾z0z0z0z0z0|f(z)|=M.在在z0点的足够小的邻
3、域点的足够小的邻域K内内(K及其周界全含于及其周界全含于D内内)有有让让R趋近于零趋近于零 (2)由第二章习题由第二章习题(一一)6(3),必必f(z)在在K内为常数内为常数. 推论推论4.24 设设(1) f(z) 在有界区域在有界区域D内解析内解析,在在闭域闭域 上连续上连续;(2)则除则除f(z)为常数为常数, 否则否则 |f(z)|0，则则f(z)在圆在圆|z|a, 但但 f(0)af(z)在闭圆在闭圆|z| R上解析。上解析。故，故，第五章第五章 解析函数解析函数的罗朗的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点展式与孤立奇点5.1 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式5.2解析函数的孤立
4、奇点解析函数的孤立奇点5.3解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质5.4整函数与亚纯函数整函数与亚纯函数学习要求学习要求 理解双边幂级数的有关概念；理解双边幂级数的有关概念； 理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点 类别的方法；类别的方法； 理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇理解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇 点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法； 理解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。理解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。5.1 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式5.1.1 双边幂级数双边幂级数双边幂级数
5、双边幂级数定义：称级数定义：称级数（5.3）为复常数，称复常数，称为双双边幂级数（数（5.3）的系数）的系数 为双边幂级数，其中为双边幂级数，其中负幂项部分负幂项部分非负幂项部分非负幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛收敛半径半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公两收敛域有公共部分共部分H:R1a aRarHf(z)=f1(z)+ f2(z这时这时,级数级数(5.3)在在圆环圆环H:r|z-a|R 收敛于和收敛于和函数函数f(z)=f1(z)+ f2(z)a aRarHf(z)=
6、f1(z)+ f2(z) 定理定理5.1 设双边幂级数设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为的收敛圆环为 H:r|z-a|R(r0,R+)则则(1) (5.3)在在H内绝对收敛内绝对收敛且内闭一致收敛于且内闭一致收敛于: f(z)=f1(z)+f2(z).(2) f(z) 在在H内解析内解析.在在H内可逐项求导内可逐项求导p次次(p=1,2,). 由由定理定理4.10和和4.13常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :. 定理定理5.2 (罗朗定理罗朗定理) 在圆环在圆环H:r|z-a|R,(r0,R+)内解析的函数内解析的函数f(z)必可展成双边必可展成双边幂级数幂级数其其中中(5.5)(5.4)
7、5.1.2 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式aHa 证证 (如图如图5.1)对对 zH,总可以找到含于总可以找到含于H内的两个圆周内的两个圆周使得使得z含在圆环含在圆环z图图5.1内，因为内，因为f(z)在圆环在圆环上解析上解析,由柯西积分公式有由柯西积分公式有或写成(5.6)我们将上式中的两个积分表示为含有z-a的(正或负)幂次的级数.1对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得(5.7)(5.8)12类似地,对(5.6)的第二个积分我们有2于是上式上式可以展成一致收敛的级数沿1逐项求积分,两端同乘以(5.9)(5.10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头
8、来考察系数(5.8)及(5.10),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有于是系数可统一表成于是系数可统一表成(5.5). 因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以上的有界函数: 最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛利用重要积分公式，m=n,右端为2i,其余为零得：定义定义5.1 (5.4)称为称为f(z)在点在点a的的罗朗展式罗朗展式,(5.5)称为其系数称为其系数,而而(5.4)右边的级数则称为右边的级数则称为罗罗朗级数朗级数.5.1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的
9、关系泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.例1 判断在下列区域内能展成什么幂级数即：罗朗级数或泰勒级数例例1 1 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f (z) 在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解oxy112oxy由由且仍有且仍有2oxy由由此时此时仍有仍有注意注意:奇点奇点但却不是函数但却不是函数的的奇点奇点 .本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1. 函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项, 而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点, 但是但是可能是函数可能是函数的奇点的
10、奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是2. 给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾 .朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性 : 指函数在指函数在某一个给定的圆环域某一个给定的圆环域内的洛内的洛5.1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式定义定义5.2 如果如果f(z)在点在点a的
11、某一的某一去心邻域去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心即除去圆心a的某圆的某圆)内解析内解析,点点a是是f(z)的奇点的奇点(见定义见定义2.3),则称为则称为f(z)的的孤立奇点孤立奇点. 结论：结论：如果如果a为为f(z)的一个孤立奇点，则的一个孤立奇点，则f(z)在在a的某一的某一去心邻域去心邻域K-a;0|z-a|R(即除去圆心即除去圆心a的某圆的某圆)能展成洛朗级数能展成洛朗级数将函数展成洛朗级数将函数展成洛朗级数常用方法常用方法 : 1. 直接法直接法 2. 间接法间接法 1. 直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点: 计算往往很
12、麻烦计算往往很麻烦.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .优点优点 : 简捷简捷 , 快速快速 .2. 间接展开法间接展开法5.1.5 典型例题典型例题例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中故由柯西定理知故由柯西定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,解解 例例2 2例例3 3解解 例例4 4内的洛朗展开式内的洛朗展开式. 解解 五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法. 将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数; 思考题答案思考题答案是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系. . 洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域放映放映结束，按束，按EscEsc退出退出. .
