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1、7 克拉默法则克拉默法则1一、克拉默法则一、克拉默法则如果如果线性方程性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即2定理定理4其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 D 中第中第 j 列的元素用方程列的元素用方程组右端的右端的常数常数项代替后所得到的代替后所得到的 n 阶行列式，即行列式，即那么那么线性方程性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成3关于关于克拉默克拉默法则的等价命题法则的等价命题定理定理4 如果如果线性方程性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，则该线性方程性方程组一定有解一定有解, ,而且解是唯
2、一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果如果线性方程性方程组无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系它的系数行列式必数行列式必为零零. .设4线性方程性方程组常数常数项全全为零的零的线性方程性方程组称称为齐次次线性方程性方程组，否，否则称称为非非齐次次线性方程性方程组. .5例子：例子：6齐次次线性方程性方程组总是有解的，因是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个解，称解，称为零解零解. . 因此，因此，齐次次线性方程性方程组一定有零解，但一定有零解，但不一定有非零解不一定有非零解. . 我我们关心的关心的问题是，是，齐次次线性方程性方程组除零解以外是否存
3、除零解以外是否存在着非零解在着非零解. . 齐次次线性方程性方程组的相关定理的相关定理定理定理5 如果如果齐次次线性方程性方程组的系数行列式的系数行列式 ，则齐次次线性方程性方程组只有零解，没有非零解只有零解，没有非零解. .定理定理5 如果如果齐次次线性方程性方程组有非零解有非零解, ,则它的系数行列式必它的系数行列式必为零零. . 备注注1.1.这两个两个结论说明系数行列式等于零是明系数行列式等于零是齐次次线性方程性方程组有非有非零解的必要条件零解的必要条件. . 2.2.后面后面还将将证明明这个条件也是充分的个条件也是充分的. . 即：即： 齐次次线性方程性方程组有非零解有非零解 系数行
4、列式等于零系数行列式等于零7练习题：问 取何取何值时，齐次方程次方程组有非零解？有非零解？解解如果如果齐次方程次方程组有非零解，有非零解，则必有必有 . .所以所以 时齐次方程次方程组有非零解有非零解. .8一一 行列式定义行列式定义将将n2个数排成个数排成n行行n列的数表，列的数表，91. n 阶行列式共有行列式共有 n! 项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成 （正（正负号除外），其中号除外），其中 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .4.4.当当 是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正
5、号； 当当 是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号. . 第二章第二章 行列式行列式 复复习第二章第二章称称为n阶行列式行列式, 其中其中t为列列标排列的逆序数。排列的逆序数。即即1011行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法二二 行列式的性质行列式的性质行列式行列式 称称为行列式行列式 的的转置行列式置行列式. . 若若记 ，则 .记性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等, ,即即 .12性性质2用一个数乘行列式的某一行（列）等于用一个数乘行列式的某一行（列）等于用用这个数乘以行列式个数乘以行列式.性性质3 若行列式的某一行的元素都是两数之和，若行列式的某一行的元素
6、都是两数之和，则性性质4如果行列式中有两行相同（如果行列式中有两行相同（对应元素都相等），元素都相等），那么行列式那么行列式为0.备注：第注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作作 . .13性性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号。行列式中两行的位置，行列式反号。性性质5 如果行列式中有两行成比例，那么行列式如果行列式中有两行成比例，那么行列式为0.备注：以数注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，行（列）上，记作作备注：交注：交换第第 行（列）和第行（列）和第 行（列），行（列），记作作14
7、定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的 代数余子式乘代数余子式乘积之和，即之和，即推推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素元素 的代数余子式乘的代数余子式乘积之和等于零，即之和等于零，即综上所述，有上所述，有同理可得同理可得15三三 行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开四四 克拉默法则克拉默法则如果如果线性方程性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即16其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常右端的常数数项代替
8、后所得到的代替后所得到的 阶行列式，即行列式，即那么那么线性方程性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成17线性方程性方程组常数常数项全全为零的零的线性方程性方程组称称为齐次次线性方程性方程组，否，否则称称为非非齐次次线性方程性方程组. .18定理定理5 如果如果齐次次线性方程性方程组的系数行列式的系数行列式 ，则齐次次线性方程性方程组只有零解，没有非零解只有零解，没有非零解. .计算行列式常用方法：算行列式常用方法：191 定定义3降降阶：将行列式按一行（列）展开，降低：将行列式按一行（列）展开，降低 行列式的行列式的阶数。数。2利用性利用性质2,6,7 把行列式化把行列式化为上（下）三角形行列上（下）三角形行列式，从而算得行列式的式，从而算得行列式的值4 性性质2,6,7 和降和降阶一起使用一起使用简化化计算。算。(1) (1) 对角行列式角行列式 (2)(2)反反对角行列式角行列式 20特殊行列式特殊行列式(3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式(4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式21(5) 箭形行列式箭形行列式(6)（7 7） 范德蒙德范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式22
