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1、层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称，简称AHP） 一、层次分析法概述一、层次分析法概述二、二、AHP的基本原理的基本原理三、三、AHP的求解步骤的求解步骤四、应用实例四、应用实例1一、层次分析法概述一、层次分析法概述美国运筹学家美国运筹学家Saaty教授于二十世纪教授于二十世纪70年代提出的一种实用的多方案或多目年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。标的决策方法。主要特征是：合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规主要特征是：合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。律把决策过程层次化、数量
2、化。1982年被引入国内后迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、年被引入国内后迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。2二、层次分析法的基本原理二、层次分析法的基本原理层次分析法的基本思想：层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。算
3、出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。3 层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。低到高递进。 层次分析法的基本方法：是建立层次结构模型。层次分析法的基本方法：是建立层次结构模型。 建立层次模型的步骤如下：建立层次模型的步骤如下： （1 1）明确明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相，搞清楚涉及的因素以及因素相 互之互之间的关系。的关系。 (2) (2) 将决策将决策问题层次化，划分次化，划分为总目目标层、分、分 目目标层和方案和方案层。4三、求解步骤三、求解步骤（1）建立层次结构模型；）建
4、立层次结构模型；（2）对各层元素两两比较，构造判断矩阵；）对各层元素两两比较，构造判断矩阵；（3）求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵的一致性进行检验；）求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵的一致性进行检验； （4）一一致致性性检检验验通通过过后后，确确定定各各层层排排序序加加权权值值，若若检检验验不不能能通通过过，需需要要重重新调整判断矩阵；新调整判断矩阵； （5）得出层次总排序。）得出层次总排序。5层次单排序求解过程6(一一) 判断矩阵判断矩阵 概念：设概念：设Wi表示反映第表示反映第i个方案对于某个最低层目标的优越性或某层第个方案对于某个最低层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一目标
5、的重要性的权重，以每两个方案（或子目标）的个目标对于上层某一目标的重要性的权重，以每两个方案（或子目标）的相对重要性为元素的矩阵相对重要性为元素的矩阵A称为判断矩阵。称为判断矩阵。7 判断矩阵是层次分析法的核心。判断矩阵是层次分析法的核心。8判断矩阵中各元素的确定判断矩阵中各元素的确定标度标度对任意两因素的相对重要性进行判断，并予以量化。对任意两因素的相对重要性进行判断，并予以量化。19标度方法列表如下：标度方法列表如下：标度标度定义定义(比较因素比较因素i与与j)1因素因素i与与j一样重要一样重要3因素因素i比比j稍微重要稍微重要5因素因素i与与j较强重要较强重要7因素因素i与与j强烈重要强
6、烈重要9因素因素i与与j绝对重要绝对重要2，4，6，8介于以上相邻两种情况之间介于以上相邻两种情况之间倒数倒数两目标反过来比较两目标反过来比较9设设 ，则判断矩阵，则判断矩阵 的元素的元素 具有具有三条性质：三条性质： 满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断矩阵。满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断矩阵。 n阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为其余特征根为其余特征根为 0。10(二二) 权重的确定方法权重的确定方法设判断矩阵为：设判断矩阵为： 为为 的特征根，的特征根， 为特征根所对应的特征向量。为特征根所对应的特征向量。11特征向量近似解法特征向
7、量近似解法（1）将判断矩阵每一列归一化：）将判断矩阵每一列归一化：（2）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：1，和积法：，和积法：12（3）将向量）将向量 归一化：归一化： （4）计算判断矩阵最大特征根）计算判断矩阵最大特征根所求得所求得 即为所求特征向量。即为所求特征向量。其中其中 表示向量表示向量 的第的第 个元素。个元素。13（1）计算判断矩阵）计算判断矩阵A每行元素乘积的每行元素乘积的n次方根：次方根：（2）将向量）将向量 归一化：归一化：2，方根法：，方根法：所求得所求得 即为所求特征向量。即为所求特征向量。14（3）计算判断矩阵最大特征根）计算判断
8、矩阵最大特征根其中其中 表示向量表示向量 的第的第 个元素。个元素。15(三三) 一致性检验一致性检验构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。进行一致性检验。通过计算一致性指标和检验系数进行检验。通过计算一致性指标和检验系数进行检验。16CI，度量判断
9、矩阵偏离一致性的指标，度量判断矩阵偏离一致性的指标CI愈大，判断矩阵的一致性愈差；愈大，判断矩阵的一致性愈差；Max-n愈大，愈大，CI愈大，矩阵的一致性愈差；愈大，矩阵的一致性愈差；CI=0，判断矩阵具有完全一致性。，判断矩阵具有完全一致性。17RI，平均随机一致性指标，是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的，平均随机一致性指标，是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值。一致性指标的平均值。 39阶矩阵的阶矩阵的RI取值见下表：取值见下表：阶数阶数3456789RI0.580.901.121.241.321.411.4518CR，检验系数，检验系数CR愈小，判断矩阵的一致性愈
10、好；愈小，判断矩阵的一致性愈好；一般地，当一般地，当CR 0.1时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。否则需要调时，可认为判断矩阵具有满意的一致性。否则需要调整判断矩阵，直至满意的一致性。整判断矩阵，直至满意的一致性。19(四四) 层次总排序层次总排序利利用用同同一一层层次次中中所所有有层层次次单单排排序序的的结结果果，就就可可以以计计算算针针对对上上一一层层次次而而言言的的本本层层次次所所有有元元素素的的重重要要性性权权重重值值，这这就就称称为为层层次次总总排排序序。层层次次总总排排序序需需要要从从上上到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次单排序就是其总排序。到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次
11、单排序就是其总排序。若若上上一一层层次次所所有有元元素素A1，A2，Am的的层层次次总总排排序序已已经经完完成成，得得到到的的权权重重值值分分别别为为a1，a2，am与与aj对对应应的的本本层层次次元元素素B1，B2，Bn的的层层次次单单排排序结果为：序结果为：20(四四)层次总层次总排序排序2122层次总排序表层次总排序表 23总一致性检验总一致性检验 在在(1)式式中中，CI为为层层次次总总排排序序的的一一致致性性指指标标，CIj为为与与aj对对应应的的B层层次次中中判判断断矩矩阵阵的的一一致致性性指指标标；在在(2)式式中中，RI为为层层次次总总排排序序的的随随机机一一致致性性指指标标，
12、RIj为为与与aj对对应应的的B层层次次中判断矩阵的随机一致性指标；在中判断矩阵的随机一致性指标；在(3)式中，式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。为层次总排序的随机一致性比例。同同样样，当当CR0.10时时，则则认认为为层层次次总总排排序序的的计计算算结结果果具具有有令令人人满满意意的的一一致致性性；否否则则，就就需需要要对对本本层层次次的的各各判判断断矩矩阵阵进进行行调调整整，从从而而使使层层次次总总排排序序具具有有令令人人满满意意的的一一致性。致性。(1)(2)(3)24四、实例四、实例例例 在城市公共交通系统中，针对在城市公共交通系统中，针对“如何降低事故发生率如何降低事故发生率”
13、，可采取如下措，可采取如下措施：施：P1：实行经济责任制；：实行经济责任制；P2：加强职工培训：加强职工培训(智力投资智力投资)；P3：加强交通管制：加强交通管制(对行车安全有较大影响对行车安全有较大影响)；P4：发展快速电车；：发展快速电车；P5：修建人行天桥；：修建人行天桥；P6：疏通瓶颈卡口；：疏通瓶颈卡口；P7：合理限制自行车。：合理限制自行车。如何确定上述措施对于目标的重要性次序如何确定上述措施对于目标的重要性次序(即权重即权重)，从而为最终决策提供依，从而为最终决策提供依据？据？25措施措施P1P2P3P4P5P6P7P111/31/451/71/51/7P2311/271/41/
14、31/7P342171/31/21/5P41/51/71/711/81/61/9P57438121/3P653261/211/5P77759351求解：求解：1，构造判断矩阵，构造判断矩阵262，求最大特征值及特征向量，求最大特征值及特征向量(1)将判断矩阵每列归一化将判断矩阵每列归一化272，求最大特征值及特征向量，求最大特征值及特征向量(2) 归一化后的矩阵按行加总归一化后的矩阵按行加总(3)将列向量归一化即得特征向量将列向量归一化即得特征向量WW=(0.044,0.075,0.103,0.021,0.212,0.137,0.409)T,(4)计算最大特征值计算最大特征值Max=7.691
15、CW=(0.316,0.563,0.797,0.150,1.707,1.102,3.267)T,283，一致性检验，一致性检验29q附录：求最大特征值及特征向量附录：求最大特征值及特征向量定理：设有因素定理：设有因素C1，C2，Cn和目标和目标D，记，记 则得判断矩阵则得判断矩阵C=(cij)nn,解矩阵解矩阵C的特征方程的特征方程|C-E|=0，E为单位阵，求特征值为单位阵，求特征值i(i=1,2,n)，记最大特征值为，记最大特征值为max,对应的对应的max的标准的标准化特征向量为化特征向量为Y=(y1,y2,yn)T，则，则yi(i=1,2,n)为因素为因素Ci对目标对目标D的权重。的权
16、重。30证明：设指标证明：设指标C1，C2，Cn对目标对目标D的影响分别为正数的影响分别为正数x1,x2,xn,记为列向量记为列向量X=(x1,x2,xn)T,通过专家评估得到比较矩阵通过专家评估得到比较矩阵C的判断矩阵为：的判断矩阵为：31设设C的特征值为的特征值为，对应的特征向量为，对应的特征向量为Y，解特征方程，解特征方程|C-E|=0 ，即，即32333435 求对应于特征值求对应于特征值Max的特征向量的特征向量Y，解矩阵方程，解矩阵方程(C-nE)Y=0 ，即，即36373839则，特征向量则，特征向量4041SPSS（Statistical Program for Social
17、Sciences）.SPSS简介SPSS是Statistical Program for Social Sciences 的简称，即社会科学统计程序，由美国SPSS公司1970年代推出，迄今已有近30年的历史。是国际著名三大社会科学统计软件包之一（SAS、SPSS、Statis）。42SPSS的运行步骤如下:录入数据定义数据整理数据统计数据察看结果43SPSS的主要窗口和菜单1、SPSS的的3个主要窗口个主要窗口（1） 数据编辑器窗口（数据编辑器窗口（SPSS Data Editor）：用来编辑和显示数据；在此）：用来编辑和显示数据；在此窗口中的文件名称为窗口中的文件名称为*. sav。（2）
18、 程序语句编辑器窗口（程序语句编辑器窗口（ SPSS Syntax Editor）：用来编写各种程序；）：用来编写各种程序；在此窗口中的文件名称为在此窗口中的文件名称为*. sps。（3） 结果观看窗口（结果观看窗口（ SPSS Viewer）：显示统计运算结果；在此窗口中的）：显示统计运算结果；在此窗口中的文件名称为文件名称为*. spo。4445462、SPSS 数据编辑器的主要菜单数据编辑器的主要菜单File 菜单：文件管理菜单：文件管理 New；Open；Save；Save as；Exit。Edit 菜单：编辑菜单：编辑 Undo；Cut；Copy；Paste；Clear； Find；
19、View菜单：视图菜单：视图 Fonts；Grid lines；Value labels。47Data菜单：数据整理菜单：数据整理Transform菜单：数据转换菜单：数据转换Analyze菜单：统计菜单：统计回归分析、因子分析、相关分析等等。回归分析、因子分析、相关分析等等。Graphs菜单：统计图菜单：统计图Utilities菜单：工具附件菜单：工具附件Windows菜单：窗口菜单：窗口Help菜单：帮助菜单：帮助48线性回归SPSS线性回归的统计命令线性回归的统计命令AnalyzeRegressionLinear49505152主成分分析AnalyzeData ReductionFactor535455SPSS-Factor Analysis5657585960
