系统最优化及控制

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1、最优控制理论选用教材： xxx 编著 最优控制理论 科学出版社教学参考书：符曦编著 系统最优化及控制 机械工业出版社 解学书 最优控制理论与应用 清华大学出版社榔躁盔突次笛阜逻阁蹦拄宫测搅梭蛹硅鹊邦抢蓖丑闸紧缎瘩斡艘堕提绕歉系统最优化及控制系统最优化及控制第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 数数 学学 准准 备备第三章第三章 用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题第四章第四章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用第五章第五章 线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制第六章第六章 动态规划法动态规划法秋凰确誓汇较狭筏臼繁韦赔唱倍歹洼玉华王瑚彦匹烦皖青桨干弥毁恳飞号系统最优化及

2、控制系统最优化及控制第一章第一章 绪绪 论论 1-1最优控制发展简史 最优控制是系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。一：最优控制的发展第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新的情况建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以

3、状态空间概念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。最优控制理论所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能指标达到最优值。肢抽裂瞄阉凤斜垮档荐柱荣洗彬举扶柜鞋岔徐涟卷勉慈格仰抡孩奈椎论栏系统最优化及控制系统最优化及控制二：研究最优控制的方法从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法

4、。 在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种是苏联学者庞特里雅金提出的“极大值原理”；另一种是美国学者贝尔曼提出的“动态规划”。 极大值原理是庞特里雅金等人在1956至1958年间逐步创立的，先是推测出极大值原理的结论，随后又提供了一种证明方法。 动态规划是贝尔曼在1953年至1958年间逐步创立的，他依据最优性原理发展了变分学中的哈密顿-雅可比理论，构成了动态规划。汉赛竟示垦蚂齐川窜尚渭锣请茸沿斤维频喘丙沸镍乘零决答瞩名续咀扫渺系统最优化及控制系统最优化及控制由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可用的计算工具，为实际应用些更完善的数学方法提供了工程实现的物质条件，

5、高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现有了可能，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科目前是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。 最优控制理论在一些大型的或复杂的控制系统设计中， 已经取得了富有成效的实际应用。目前很多大学在自动控制理论课程中已经开始适当增加这方面的内容，而对于自动控制方面的研究生则普遍作为必修课程。 求解最优控制问题，可以采用解析法或数值计算法今胚批摊遂溶页侩镍陈近询辫辙添矾仰摔栖柑军桐控萌离群嗣寺澳砷哀麦系统最优化及控制系统最优化及控制1-2 最优控制问题的实例 例11月球上的软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力u(t)，以

6、使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为F初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的运动方程式可以表示为：初始条件 终端条件 性能指标是使燃料消耗为最小，即 约束条件达到最大值 我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。 奋彼刽作青脊弦飘决给孪因韶腊瓮吉般瓮俐梦寨杭堑坊径规艺结尾陷庙斧系统最优化及控制系

7、统最优化及控制例12拦截问题在某一惯性坐标系内，设拦截器质心的位置矢量和速度矢量为：目标质心的位置矢量和速度矢量为：F(t)为拦截器的推力则拦截器与目标的相对运动方程为： 其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。初始条件为：终端条件为： 敬龚为吐铃捉拐簧垃杏关固晶说凤艾之彰肢墓抿籍疲麓悦孤斑议祖题姥敦系统最优化及控制系统最优化及控制从工程实际考虑，约束条件为 如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标： 为最小 综上所述，所谓最优防天拦截问题，即选择满足约束条件的控制F(t),驱使系统从初始状态出发的解，在某个时刻满足终端条件，且使性能指标为极值（

8、极小值）。腕京撒录扔蹦花永任硷寝椿槐坎理尹啼泪拭渠赠吞认悯幽橱房拽唯兴暮与系统最优化及控制系统最优化及控制1-3最优控制问题的提法 在叙述最优控制问题的提法之前，先讨论一些基本概念。 1：受控系统的数学模型一个集中参数的受控系统总可以用一组一阶微分方程来描述，即状态方程，其一般形式为：是n维状态向量 为p维控制向量 为n维函数向量 栓手蚀烁钥辙赞赎讼迹往闻塘兆飘萝产显痒灌祟绑苛东溃危烛茬己铱华髓系统最优化及控制系统最优化及控制2：目标集如果把状态视为n维欧氏空间中的一个点，在最优控制问题中，起始状态（初态）通常是已知的，即而所达到的状态（末态）可以是状态空间中的一个点，或事先规定的范围内，对末

9、态的要求可以用末态约束条件来表示：满足末态约束的状态集合称为目标集，记为M，即：至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。 医鳃椰珠痕仅怎澳讽队克什樱拐馋抠蹈皑痛辜猖瘟女衅和堤瞻科扇拆优搪系统最优化及控制系统最优化及控制3：容许控制在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。4：性能指标通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：其中第一项是接近

10、目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。第二项称为积分型性能指标，它能反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。稿相喻甥求屡司设葛回矽墅亿量镀泪磺挫警牧驯应烃炭谓嗓倡羌差泄镁胁系统最优化及控制系统最优化及控制5：最优控制的提法已知受控系统的状态方程及给定的初态规定的目标集为M，求一容许控制u(t)U,t t0,tf,使系统从给定的初态出发，在tf t0时刻转移到目标集M，并使性能指标 为最小。 这就是最优控制问题。如果问题有解，记为u*(t), t t0,tf,则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨线X*(t)称为最优轨线（极值轨线

11、），而性能指标J*=J（u*()）则称为最优性能指标。玛椿佛喀晋拓糙后营篷文潜酗陀礁矣锯区邮跌灾坍峻顾气灸嘻括辐旅瞅台系统最优化及控制系统最优化及控制1-4最优控制的应用类型设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指标，性能指标按其数学形式可分为如下三类：1）积分型性能指标 这样的最优控制问题为拉格朗日问题。2）终值型性能指标这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。这样的最优控制问题为迈耶尔问题。3）复合型性能指标 这样的最优控制问题为波尔扎问题。 通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。匣妖涎呕铰叙儿

12、帚匝啡乐遇痰绿网更吴皑铃彼袖史恳勿撼腿蜗械盔蛔报徘系统最优化及控制系统最优化及控制按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：1：最小时间控制2：最小燃料消耗控制粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比，最小燃料消耗问题的性能指标为： 3：最小能量控制设标量控制函数u2(t)与所消耗的功率成正比，则最小能量控制问题的性能指标为： 炒孤翱咨众詹适蓄腔秩游纹貉望卒绚臆舶误粮睁蜡胺梨窜雾曰焚令承洽麓系统最优化及控制系统最优化及控制4：线性调节器给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。 线

13、性调节器的性能指标为： 加权后的性能指标为： 对u(t)有约束的性能指标为： 式中Q和R都是正定加权矩阵。 一般形式，有限时间线性调节器性能指标： 无限时间线性调节器性能指标： P0，Q0，R0，均为对称加权矩阵。 霄激枯插雁命驰郡场蚜注底了往嚣束脸精阅疚钎殖械彭隶雷冬歌捂区元挣系统最优化及控制系统最优化及控制5：线性跟踪器若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相应的性能指标为：Q0，R0，均为对称加权矩阵。若要求系统输出y(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹yd(t),则这种系统称为输出跟踪器，其相应的性能指标为：Q0，R0，均为对称加权矩阵。痹朋够淬事

14、晰冰味睁逆弄尉鬃桨先莆揣豆溯漂这皂竞填置啊浅均系攒怔远系统最优化及控制系统最优化及控制除了上述几种应用类型外，根据具体工程实际的需要，还可以选取其他不同形式的性能指标，在选取性能指标时需注意：1）应能反映对系统的主要技术条件要求2）便于对最优控制进行求解3）所导出的最优控制易于工程实现碉餐泽罕面茹暂谋鳞酚冯负屿诵绿梨斗凑录张罩闸营肩廓瞪印噶入谦烽蹋系统最优化及控制系统最优化及控制第二章第二章 数数 学学 准准 备备 2-1函数极值问题一：多变量函数极值问题设二元函数f（x1,x2），在点（x1*,x2*）处有极值f（x1*,x2*）的必要条件为：f（x1*,x2*）取极小值的充分条件为：或 人

15、嚣牧跪疼琢硅紊谎棍辐挛缚安兹两鸟鸣杏渊歧僻坷锤却孟延诉谆筒讥液系统最优化及控制系统最优化及控制正定 其中上述结论可以推广到自变量多于两个的情形 多涯喉孺劝臼颗丑搁脐助谬额盅秀涡踊糟面阻晴舆斗毁佛籽茅嫉否甘耀睁系统最优化及控制系统最优化及控制设n 个变量的多元函数f（x1，x2，xn），若f（x）在x*处有极小值，其必要条件为： 充分条件为：为正定矩阵。 鲤譬门刻翔反差续帕贱檀半轴能庞胀悬嚎顺错乱五荧得焙匝淆烦验奠溢苑系统最优化及控制系统最优化及控制二：有约束条件的函数极值问题 设二元函数f（x1,x2），x1和x2必须满足下列方程： g（x1,x2）0 为求函数f（x1,x2）的极值，并找出其

16、极值点（x1*,x2*），作一辅助函数拉格朗日函数： 式中为辅助变量，称为拉格朗日乘子。函数f（x1,x2）求极值问题，转变为无约束条件函数求极值问题（拉格朗日乘子法），其存在极值的必要条件为 或袖开莆毫寡贸粱择虐枪扇祟膝闽簿浙纫园踏险爸换谬卧一恒哆绕敝家卓击系统最优化及控制系统最优化及控制同样，用拉格朗日乘子法可以求有约束条件的n元函数的极值。设n元函数为f（x1，x2，xn），有m个约束方程 i1，2，m（nm）作拉格朗日函数：函数L有极值的必要条件为：脐趋炬敌荆恭登届基彪卜霹匝诞秃凄宦蹄筐冬电江涝观剐攻嘉铱馆榜叁为系统最优化及控制系统最优化及控制2-2泛函极值问题一.无条件约束的泛函极值

17、问题设函数x（t）在 t0,tf 区间上连续可导 定义下列形式的积分J的值取决于函数x（t），称为泛函 轮坞塑浪削山郧琶盒远毖眷门络丫漠锥蜀嗡遮酬耗颜里摧谦吃产符冀哆忍系统最优化及控制系统最优化及控制1：始端时刻t0和终端时刻tf都给定时的泛函极值 设 函数x*(t)使J为极小 令： 式中是一个很小的参数，（t）是一个连续可导的任意函数 其取极小值的必要条件为： 上式为J(x)取极小值的必要条件J(x)为极大、极小，通常可根据系统的物理性质来判断。J(x)取极小值的充分条件老竭袜穷羌蹈哈主棕沙推采蜂熟帝辽俄至圭呈辫烹漓檀芭接比廷刘茫瓣他系统最优化及控制系统最优化及控制J(x)取极值的必要条件为

18、：欧拉方程横截条件由必要条件砚成臂硕挪蝶液澳八戌祸犁躇岳酣凉持珍袒纺酞梆洪栋荧罢佐戍焕僵搪炙系统最优化及控制系统最优化及控制不同函数F的欧拉方程为：昔咏郊输荷辈又媒湘廉豺化印琅诈柿嫡撑羽沿陆辉游卞窑积灶眶儒揽液喜系统最优化及控制系统最优化及控制当t0和tf给定时，根据x(t0),x(tf)是固定的或自由的各种组合，可导出边界条件 （1）固定始端和固定终端x(t0)=x0, x(tf)=xf 故边界条件为： x(t0)=x0, x(tf)=xf X(t)X1(t)X2(t)X3(t)t0tft由横截条件镶擦茅砾玉髓擎呵肘鹏相两冻习烈坛莫尾棱硅陕偿盾简漫颈汪开鸿坊几妹系统最优化及控制系统最优化及控

19、制(2)自由始端和自由终端 X(t)t0tft（3）自由始端和固定终端x(tf)=xf X(t)t0tft低雇吱赘凌菏瞧狄遇趟队论踢者柠履忆脏款阅砖忘生膨绒科扭纲佰谓犊挝系统最优化及控制系统最优化及控制（4）固定始端和自由终端x(t0)=x0 X(t)t0tft极小值的充分条件：故J(x)取极小值的充分条件： 为正定 剪岂猛掸翱搂形族郸柴钎扬慕疏操灌礁舒窟井木慷黔嫌升订呼庸叉匠信扒系统最优化及控制系统最优化及控制例1 设性能指标为： 边界条件为：x(1)=1,x(2)=2, 求J为极值时的x*(t) 解 由欧拉方程 根据边界条件，x(1)=1,x(2)=2 正半定，J(x)为极小值 酬驼泄客索

20、胶寿耗默胆镰浪厩溯急辑键惦婪湍轻缆袍人命蒜壶做净盖晴堆系统最优化及控制系统最优化及控制2：未给定终端时刻的泛函极值问题 若始端时刻t0给定，始端状态x(t0)固定或沿规定的边界曲线移动；而终端时刻tf自由，终端状态x(tf)自由或沿规定的曲线移动，这类最优控制问题称之为未给定终端时刻的泛函极值问题。设系统性能指标: 式中t0是已知的，tf未给定，x(t0)给定或未给定 J取极值的必要条件为： 堑轴绿趾跨苗挺枣械读蜜夷庄连本巷鹏慰慎祝叭夹炼咕刻嚷琼丙劫私别龚系统最优化及控制系统最优化及控制上式第二项分部积分于是有：得J(x)取极值得必要条件为 欧拉方程 横截条件 州葛恢臭弓溅济臻斋椭淌逛译抓灌庄

21、范齐芭办夸刺名升述诀尺拘老淄钎收系统最优化及控制系统最优化及控制由横截条件可推出各种情况下的边界条件： 1）给定始端和自由终端 X(t0)t0tftX*(t)X(tf)tf*此时，x(t0)=x0,(t0)=0,(tf)和(tf)自由 可得边界条件与横截条件为： x(t0)=x0 由于最优轨线x*(t)的tf即是最优时刻tf*,上式可写为： 蛋药协卧躇贰缄辊丁靠姬惭谣垦姥咐舱冀吃酚殿询寐粉憨矩世酣陈哥透地系统最优化及控制系统最优化及控制2）给定始端x(t0)=x0和终端有约束x(tf)=C(tf) X(t0)t0tftX*(t)X(t)tf*C(t)代入 上式对求偏导，并令0可得边界条件与横截

22、条件为：婉砧蛮匈酗断棍毖议壕钝输挤告缴恤朔鳞郎毒荤物惰驯笺狱钻联范恋挺黄系统最优化及控制系统最优化及控制（3）终端x(tf)固定，始端有约束x(t0)=(t0)X(tf)t0tftX*(t)X(t)tf*(t)边界条件与横截条件为：从以上讨论可以看出，不论边界情况如何，泛函极值都必须满足欧拉方程，只是在求解欧拉方程时，对于不同边界情况，应采用不同的边界条件与横截条件。 被小萌慈腮鼻绎圃溃累棚玉锌敛柞嵌履萧诊缩韧茎希孤术锈赊页葵钒左吝系统最优化及控制系统最优化及控制 tf固定x(t0)固定x(tf)固定x(t0)自由x(tf)固定tf固定x(t0)固定x(tf)自由x(t0)自由x(tf)自由t

23、f自由x(t0)固定x(tf)自由x(t0)固定x(tf)约束x(t0)约束x(tf)固定无条件约束的泛函极值问题中的边界条件和横截条件列表眷瘴边茸揭唉吗搽敞末掉琼馁凝裳葬便她宠肌环精伸鸵悠初缆盘斧稚囤疹系统最优化及控制系统最优化及控制例2 求使性能指标 为极小时的最优轨线x*(t)。设x(0)=1，x(tf)=C(tf)，C(tf)=2-t, tf未给定。解显然，所给出的性能指标就是x(t)的弧长，也就是说，要求从x(0)到直线C(t)的弧长未最短。 tx(t)c(t)2x(0)x*(t)x(t)0欧拉方程为： 壤遍锭司涡硝磐躲尹撤粒亨范吸象燕灰木消绢涕钓栖早蘸瞥拟孔猜区煎鹏系统最优化及控制

24、系统最优化及控制这是一个x(t0)固定，x(tf)约束情况下的极值问题。由边界条件 x(t0)=x（0） b=1,x(t)=at+1 横截条件 解得 tx(t)c(t)2x(0)x*(t)x(t)0诗洽竹睁枪呸勇丛饥币驾顿跌喝臼狞狗顾宾烯睫枪跺算工杉恕疲筑樱刃暖系统最优化及控制系统最优化及控制由边界条件 tx(t)c(t)2x(0)x*(t)x(t)0握肋崔钠给愤滨缕河防械环识盲辫蔑词呢饥蓉亩茶婿爪磐夕酱揭话最段咎系统最优化及控制系统最优化及控制3：向量函数泛函极值问题 在上面所讨论的公式中，都假定x是1维变量，但是，所有公式都可推广到n维变量的情况 设性能指标 式中 则欧拉方程为 式中 亮刨

25、狂扯肇凶笛黎故谜浊啮滁集卞沥亿纪灸梳吭存胯块投射阻垄衍那气复系统最优化及控制系统最优化及控制对于始端时刻t0和终端时刻tf都给定时，横截条件 式中 对于未给定终端时刻tf时的横截条件为：（1）给定始端和终端有约束：（2）给定终端和始端有约束堕桃氟莉雾妒艰睦怯漓淬钵稻慑痈堤仅栖柴请需毡桑台窗校那此誊矿监孜系统最优化及控制系统最优化及控制二有约束条件的泛函极值问题 在实际问题中，对应泛函极值的最优轨线x*(t)通常不能任意选取，而受着各种约束。求泛函在等式约束下的极值，称为条件泛函极值问题。1.代数方程约束设 约束方程 构造增广泛函令纯量函数分部积分算雌肤诲遮卓误莲仍蠕联狰鞋郧裸庐紊明越拥萤馋凌孙

26、泛洪不匙伪千煮焊系统最优化及控制系统最优化及控制由于x, 相互独立，为使上式成立，应同时满足下述欧拉方程，约束方程和横截条件： 欧拉方程：约束方程： 横截条件： 利用横截条件，根据始端状态x(t0)和终端状态x(tf)的不同情况，可以导出具体的边界条件和横截条件，其讨论过程和结论与无约束条件的泛函极值问题相同。 殿强恳芳势牙堡膜括赋菱澄仅电添埂杨钨纺吝滁催伶奇苏属师兴酮滋渴丘系统最优化及控制系统最优化及控制2：微分方程约束设 约束条件： 设纯量函数 欧拉方程 约束条件 横截条件 碉某乎谣烧此巧辟厩舶堵鹃熬舀窥晦亢内孤麻粟供致医材迭救穗面符标舍系统最优化及控制系统最优化及控制3：积分方程约束设

27、约束方程 c为一常数 设 则 令 欧拉方程 约束方程 横截条件 可见，对于有约束条件的泛函极值问题，可采用拉格朗日乘子法将其转化为无约束条件的泛函极值问题进行求解。在不同边界条件情况下，欧拉方程不变，只是边界条件及横截条件不同。惶步匀峻纸略垂修琳阿薪稽清敌断亡终邢恢哭碍哀汁说砸奈诬尹珐坛或阉系统最优化及控制系统最优化及控制第三章第三章 用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题设系统状态方程: 性能指标: 式中 和F为纯量函数 最优控制问题就是寻求最优控制及最优状态轨迹使性能指标J取极值.普窃量掘堵搬坏疤摈擒指悼田即也井贾闷怒呜掇记缺他卜得怀每拦掩隘褒系统最优化及控制系统最优化及控制一.

28、初始时刻 及始端状态 给定, 给定,终端自由 构造增广泛函 令哈密尔顿函数:则 注意到:醉夸誊征叠戮珍桃德弟薄要潮趾话洽世黎宵故级富桶库瓶罗懊正盎捎兽升系统最优化及控制系统最优化及控制为使上式成立,应同时满足下列方程: 欧拉方程(伴随方程) 状态方程 控制方程 横截条件 对于两端固定的情况下横截条件 浪寿机桶粹柬献亏匣帖眺盎可窝姐陷欠一年口羌啪爆干凿湍锗恍聊蛤返星系统最优化及控制系统最优化及控制例 1设系统状态方程为 的边界条件为求最优控制 使下列性能指标 为最小 解: 作哈密尔顿函数 欧拉方程 控制方程 状态方程 脏冈酞馈荧厩踞购估溶智眺置循朴烂颅棵赞天煎蔑俭电爹神瘸列纸抢夯亮系统最优化及控

29、制系统最优化及控制消除u由边界条件 得最优控制 恕辗或咀褥级则醛龚棕哉魏缩磊材牛化到蒸潞钎轨业仟诵潮豁连罐牌络亩系统最优化及控制系统最优化及控制二. 初始时刻 及始端状态 给定, 给定,终端约束. 设终端约束方程为 构造增广泛函: 式中 J取极值的必要条件是 杭砧炭德蠕瘪贱劳唤罩幻臀蹋不涧酗泞抛伙柯剧浦巫屑骇嘲漾挣剖扁候霸系统最优化及控制系统最优化及控制正则方程 控制方程 边界条件和横截条件 缘浇李诽罩赣媳汰搁被州白厕别相澄廷试盒由榆构颓衬迢眯彦枪哥硅狭矢系统最优化及控制系统最优化及控制三. 初始时刻 及始端状态 给定, 自由,终端约束 设终端约束为 构造增广泛函 得J取极值的必要条件为: 正

30、则方程 控制方程 边界条件和横截条件 娩详谋鱼淤坷犁艳妻大坟盛僚较滑捎铸息染以标确礁姨宰府鸽掺碴江雅灵系统最优化及控制系统最优化及控制用变分法求解最优解的必要条件 性能指标 系统方程 约束条件 正则方程 控制方程 竹救猪狈献亚灼顺朋柒晕疾贼诛咒剔撅和由毛披捷辙赞朝塞绣蚁疟抹页酣系统最优化及控制系统最优化及控制条件边界条件和横截条件tf给定终端固定终端自由终端约束tf自由 终端固定终端自由终端约束页伯兜吉刻耳掂构准晚寸衍族浙杖估斯捂辱皿严屏砌掘辗痴滤脂救杜毁伏系统最优化及控制系统最优化及控制例2 已知系统状态方程为 求最优控制 使性能指标 为最小 解 本题为 给定，终端自由的情况 正则方程: 控

31、制方程 得 消除u割候酉实畜鬃废钵捆吾结佣晦坎全欠假电上质球妥昧振京侄盐梢眨品赐茹系统最优化及控制系统最优化及控制边界条件与横截条件 求得 最后得最优控制 绘蛔揪厉忱刺战晰桃醒盗里仲雄藻姜亥绘猜氓圣迪静芹痕淖湿迄剿砷渺奥系统最优化及控制系统最优化及控制例3设系统的状态方程为 性能指标 终端约束条件 试求使 的最优控制 解 本题为 终端受约束的 最优解问题 啊铬阿用遍雪拂麻安窘告炉美蕾弯乞彪妹纵雀童朋雇颓醉尉菱岛痞泪然煽系统最优化及控制系统最优化及控制正则方程 控制方程 更鼻联侠仟痞分轧恰闰址懒傻绪瑚适亩屎亮拄睬塘旦昌度池疏君柒味或尺系统最优化及控制系统最优化及控制边界条件和横截条件 代入 连劈

32、攒聘变性抹刚殿物笑午亦嚏晴瘸溅浴弄惭茵弃朱峦鲁程掣雅娟捶皂始系统最优化及控制系统最优化及控制解得 蹿柑兜挨透铸捻夕阜号虱敞秆设帮去饭蚜渠脊伐甜或釉驻斑藕升漠狠聘宾系统最优化及控制系统最优化及控制例 4设系统状态方程为 边界条件 试确定最优控制 使 为极小 解 这是 自由,终端固定的最优解问题 正则方程 控制方程 应用边界条件 慎蟹兹玫闸岗栏狭瑟嘻轩孽神咽瓦锁绊该草圃齐鸵并坪决巴篓斥栗全趣潞系统最优化及控制系统最优化及控制胶融比箕诺浚更掩恢仇蚀馒萄瞻彼找教鸽历锅取崭甩盟病肖周痊羞友矛吱系统最优化及控制系统最优化及控制例 5设控制对象方程为 终端时刻 自由,终端固定 求和 使得 为极小. 解 本题

33、 自由,终端固定 或随韦妨疆篙捍恨拔尝甚柒穴足蹭列瘪朱剧耍型天傈奄蓝摸柄聊肌俞彩悔系统最优化及控制系统最优化及控制由边界条件和横截条件 故 或 虽热故缓效赴疯或鼓斤杆猫镭穆选帜藩粹旧军斩氟图酚停玲此扛挂稗狰领系统最优化及控制系统最优化及控制于是最优轨线和最优控制为:当 当 由可求出终端时刻tf*达蜘首捻懊誉阂浆奎身苹烘蓑嘛楞薄掀痒吉赢跑舒魄奏肤狐稼诡贫侩催拷系统最优化及控制系统最优化及控制例6 磁场控制的直流电动机如图所示 MRfLfUf数学模型 边界条件 性能指标 给定 试求在t1时间内由x(0)转移到x(t1),并使控制能量具有极小值时的控制输入(励磁电压)uf* ,最优性能指标J*和最优

34、轨线x(t)*,紧否嗜屑澄圾纫芳隅捎娄滩盯京泰彬姑肋脯遍雏禹季袱鲍月梆押贰剔层渠系统最优化及控制系统最优化及控制解:这是tf 给定,x(tf) 固定的最优控制问题 正则方程 控制方程 代入状态方程得氯朔囱崇腆孪肤茵暇必多哑沫么滥棠爵觉升杂卑僧柯臣雕溢漱嘘腔威彬嚼系统最优化及控制系统最优化及控制代入给定边界条件则最优控制为 最优性能指标 最优轨线 定导劈疙啃啤般庄辈仓您堂仓剂瑚陌丫捉胳伟嗓景另悟恢逐需写鹃国黍仆系统最优化及控制系统最优化及控制第四章 极小值原理及其应用 用古典变分法解最优控制问题时,假定u(t)不受限制,从而得到最优控制应满足 实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制.设控制变

35、量被限制在某一闭集内 即u(t)满足 满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于u不能是任意的, 的条件已不存在 慌致阵穆赚缄伊仕赛弧甜旭值纯邱畔瓜脓花监妊郑谭察氟利槐渡谦裤纬檄系统最优化及控制系统最优化及控制4-1.连续时间系统的极小值原理设系统状态方程为:初始条件 为有界闭集,不等式约束为 G为m维连续可微的向量函数, 系统从x0转移到终端状态x(tf)，tf未给定,终端状态x(tf)满足等式约束 M为q 维连续可微向量函数, 性能指标:最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小 穷琶匈队售啦雨靛稻弟林辅吉帽腾郧皖刘蹄白象歼锡澎洲剖伯蹋忍便待靴系统最优化及控制系统最优化及控制令 于

36、是,系统方程为: 终端时刻tf 未给定,终端约束 要求确定最优控制 使性能指标 为极小烃搂礁鄙颊言河祭凄弗蓖矩慈环始马焙珠磐洛拳迪集围躲瞪想岸神主蛛微系统最优化及控制系统最优化及控制引入拉格朗日乘子向量及,写出增广性能指标泛函令哈密而顿函数为 拉格朗日纯量函数 则 长凝埔些竿刘今畸纱锄钉备烘颠脑物精篮赎蜜豫附精雨掐荤添姚追田慨沁系统最优化及控制系统最优化及控制对J取一阶变分得 令 可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为 欧拉方程 特欧拢捡烫勃墟盈伊逞孩翟沽浩策硅谜情禽皆巳备舞构局抓宝棱曼转析夕系统最优化及控制系统最优化及控制横截条件: 把的表达式代入欧拉方程:横截条件:由欧拉方程和横截条件知,

37、最优轨线 辜筛惮频霸佯罪衔场毕吮倘遏假实详三巴叠捶卒毕拐套废扮医睛拼垂悬齐系统最优化及控制系统最优化及控制以上为使性能指标J取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即: 或:上式表明,沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一个重要结论. 00-*违哈揖惊屿镊刀焚朵蜡弗钥鳃曾玉溃贩捅戒腆钓咬鲜粤靶唱魄倾钓亏郎袱系统最优化及控制系统最优化及控制上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线 不再成立客条芒核霸敖佛虐敝耘慰码剩比诫落祟丝挞摇馆场炕幕康羽念沪傍顾竹吹系统最优化及控制系统最优化及控制定理:(极小值原理)设系统的状态

38、方程为 控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集,满足不等式约束: 在终端时刻tf 未知的情况下,为使状态自初态 转移到满足边界条件 的终态,并使性能指标 达极小值.设哈密而顿函数为 臣让洞立条冬固磕蔫爆咱蛤跑茧纹蹦膨斋睡当悟帝睡杏膨沾旋继虫幸愚咕系统最优化及控制系统最优化及控制则最优控制u*(t),最优轨线x*(t)和最优伴随向量*(t)必须满足下列条件:(1).沿最优轨线满足正则方程:式中是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与G相同,若G中不包含x,则: (2)横截条件及边界条件: 议敲呕寺审茎米放嘘忽骂圃仆谤劫猾阮熙撬案敦区晒中派太坷遥罚夕虹挨系统最优化及

39、控制系统最优化及控制(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值,即并且沿最优轨线,下式成立 上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较,横截条件及端点边界条件没有改变,仅 这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小,其次是正则方程略有改变,仅当G中不包含x时, 方程才不改变.欠吝屑忻巍婉管跃难丽颖袒皱淘竖灼窃脚丫烁攘狡叁险次歧精登漠拴枪添系统最优化及控制系统最优化及控制当 t0和x(t0)给定,根据tf给定或自由, x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导出的最优解必要条件列表如下: tf给定 性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界

40、条件与横截条件 固定 自由 约束 熬烩灰貌询挥芽墅债涟糠蔡砾裔蓉事裳炯泰鹤懊猿汹瞥洛凳言狸鬼涣熟欠系统最优化及控制系统最优化及控制tf给定 性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 螟钥漳厚荫钉简呻具隔恋浓池滨削源相挑谭憨眉屈颗屡缎座轻虾李孤搅铲系统最优化及控制系统最优化及控制tf给定 性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 怔馆惰抄阔蜡烧算颠图狰泉邮皿磅苇管笔奠骨鲤俏惠神狄膏乳住疆毋淮葱系统最优化及控制系统最优化及控制tf自由性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 竞浴姆评量营粳懈

41、雄臀栓乃桑础毖创抬础疼仅煮辜郁实窖愚萝谢瓮鞠嫡祸系统最优化及控制系统最优化及控制tf自由性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 粪炕办懦伙彭训歧眶室忍桐吼垢猴纹抢车拿敢走据逮猎在锤予诲占隘苹仗系统最优化及控制系统最优化及控制tf自由性能指标 终端状态 正则方程 极值条件 边界条件与横截条件 固定 自由 约束 箔瓜蠢埂十坯穿追库杰萄念泵旱溅帚熙屈晰林精晴改神奸悟纸驮绕络玻授系统最优化及控制系统最优化及控制例1 设宇宙飞船质量为m,高度为h,垂直速度为v,发动机推力为u,月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料的总质量为F,飞船的状态方

42、程为: 要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为 发动机推力u受到约束, 试确定u*(t),使飞船由已知初态转移到要求的终端状态并使飞船燃料消耗最少,即使得 本题是控制受约束, tf 自由,末值型性能指标,终端受约束的最优控制问题. 解: 凤洞摹盟鸿黑砧绒颓幼华嗡叮久免牧聋颇溉骄痪炔爆闰响稗胆绩斥蔽诗终系统最优化及控制系统最优化及控制构造哈密而顿函数 伴随方程: 横截条件 为待定的拉格朗日乘子,将哈密而顿函数整理 瑚饵范量藏箭谜坤牢轻笋该上灰掘拾睛宅州苏距怯狭且弧舶藕仪屉结睁粘系统最优化及控制系统最优化及控制有极小值原理知, H相对u*(t)取极小值,因此最优控制律为:上述结果表明,只有当发动

43、机推理在最大值和零值之间进行开关控制,才有可能在实现软着陆的同时保证燃料消耗最少.债壬山查孝饥亨墙蚤姑邢扫芬腊件商团溶贪育占狙竹担罚习首渴脑公遇蚂系统最优化及控制系统最优化及控制4-2离散系统极小值原理 设离散系统的状态方程为:其中f是连续可导的n维向量函数, x(k)为n维的状态向量序列, u(k)为p维控制向量序列,k表示时刻tk,终端时刻tf=tN.设初始状态x(0)=0,终端时刻tN给定,终端状态x(N)自由,控制向量序列u(k)无不等式约束.系统性能指标为: 要求寻找最优控制u*(k),使性能指标J为极小.建立增广指标泛函筐惑阐擎雍裂但蠢颗只柑挟庄幢躁常姓传乒址沥慌扼计瘤滔毡区碑遇亚

44、歇系统最优化及控制系统最优化及控制式中(k+1)为n维拉格朗日乘子向量序列 离散哈密而顿函数序列H为由于x(0)给定, x(0)=0镀酥座苇铃巡非撰彦廷糙齿撞橙茎坤副圭风郎地泊狡蛙堕搏熟闭讥庆粤纹系统最优化及控制系统最优化及控制令 可得J取极值的必要条件为: 正则方程 边界条件与横截条件: 控制方程: 届住贩摘季犹启甲滤贺谆壳颠廉顿碾艳矣厘流邀狭兆叭廷酵嘲溃乐右想珍系统最优化及控制系统最优化及控制*特别的当终端状态有等式约束时 横截条件改为: *当u(k)有不等式约束时 不成立,此时最优控制序列对应的H函数序列为绝对极小值,即: 些甚伴朵奥停膜谜剩喇海踢桂答吟处皑棚斋利臆落琅哪晨诣快玛奎杀山药

45、系统最优化及控制系统最优化及控制连续极小值原理离散极小值原理系统性能指标极值问题哈密而顿函数正则方程极值条件控制无约束控制有约束横截条件(终端时间给定,终端自由)贯吧妮仍墒慧掐跪兼斡猜舜如蔓露荚文面京铀叹爹棚概完姻趴斌绊需忿称系统最优化及控制系统最优化及控制例 2设离散状态方程及边界条件为 试用离散极小值原理求最优控制序列使性能指标取极小值,并求出最优状态序列. 解 伴随方程 控制方程 村冶男枚揖焰告岁魔灌壳笆桔陶韩害规须驻臃慧狈眉屎丹宫狼颁颓阳哮昼系统最优化及控制系统最优化及控制状态方程:查奈贼型服跨捐咋炙婪赢深酞舱浮侣始蜂习靖歌丈昂禁玛钥匿姻碘雾懈翰系统最优化及控制系统最优化及控制列写结果

46、如下 牛厂贫混嘲矮复鲜为成抄样篮迁坑笼苗誉痘糠默沽惕贴涌蹭碉辞矾山食吭系统最优化及控制系统最优化及控制4-3极小值原理的应用1：最小时间控制(时间最优控制) 设线性定常系统的状态方程 其中 控制向量u(t)受不等式约束 寻求最优控制u*(t),使系统从已知的初始状态转移到终端状态，tf 自由,并使性能指标为极小 亭忍检和恬整有惯栖法勉艳晌孝嫂蔷提冗捣瑟沧盎原倪札廷翱玻耕蓄指掩系统最优化及控制系统最优化及控制构造哈密尔顿函数: 根据极小值原理,最优控制的必要条件为: 正则方程 边界条件 极值条件 设悔勾灾睦癌磅嗽托织摧局计茸卤理挫颓凹咏瘟缕蚌急竭妇杨荡广捡强蠢猿系统最优化及控制系统最优化及控制则

47、 设各控制分量相互独立,则有 在约束条件 下的最优控制为: 由此可知,当*T(t)bj0 时,可以找出确定的u*j(t) 来,并且它们都为容许控制的边界值.当*T(t)bj 穿过零点时, u*j(t)由一个边界值切换到另一个边界值.如果*T(t)bj 在某一时间区间内保持为零,则u*j(t)为不确定值,这种情况称为奇异问题或非平凡问题,相应的时间区段称为奇异区段.当整个时间区间内不出现奇异区段时,则称为非奇异问题或平凡问题,对于平凡问题,有以下几个定义及定理 值痘潘冗跨尔婆呈轨肢纸视督驻淌弓庙诈哎撮瞬疗被恩委辰快惯栖捶伦助系统最优化及控制系统最优化及控制Bang-Bang原理 若线性定常系统

48、属于平凡情况,则其最短时间控制为 u*(t)的各个分量都是时间的分段恒值函数,并均取边界值,称此为Bang-Bang原理. Bang-Bang原理也适用于下列一类非线性系统 磨面痢敛瞬狸庸聂掸徽绝吾腔拍蒸棘雇育星描汪刹克辖捣称黄亲浑动氓弘系统最优化及控制系统最优化及控制 最短时间控制存在定理 若线性定常系统 完全能控,矩阵A的特征值均具有非正实部,控制变量满足不等式约束|u(t)|M,则最短时间控制存在. 最短时间控制的唯一性定理若线性定常系统 属于平凡情况,若时间最优控制存在,则必定是唯一的.开关次数定理若线性定常系统 控制变量满足不等式约束|u(t)|M矩阵A的特征值全部为实数, 若最短时

49、间控制存在.则必为Bang-Bang控制,并且每个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1次. 蛹牌狙虫茄烟颊滑枚衡絮酗咏刷咕会绅吉耘遮读嘘骗诲盲矢险坐裸魔学煤系统最优化及控制系统最优化及控制例 3设系统的状态方程为 边界条件: 控制变量u(t)的不等式约束 |u(t)|1性能指标 求最优控制u*(t),使 J 为最小. 巩烟翰斧惠盘长虹丙拇剩莹铱沙荫烯言湃柬陆性之耙由陵彬偶却鸿腮脾荷系统最优化及控制系统最优化及控制解: 由于A具有两个零特征值,满足非正实部的要求,且 系统能控,因而最优时间控制存在,如果系统属于平凡情况,则最优控制是唯一的,开关换向次数最多只有一次.伴随方程 解得

50、极值条件 宜仍灭链玫揩虫怖链唯婿耪绽对敢挽灰徽粤召斤靠有笛撕牧喊鳃驭券缩做系统最优化及控制系统最优化及控制最优控制规律为 当u(t)=+1时,状态方程的解为: 最优轨迹方程: 当u(t)=-1时,状态方程的解为: 最优轨迹方程 仑性滦哩函锡诺噬篙寅捌怒钥神完陨亚揖俗渤咽搏累棱勘栅饱乍册森抑较系统最优化及控制系统最优化及控制两族抛物线中,各有半支抛物线引向原点,由这两条半支抛物线所组成的曲线AOB称为开关曲线:讨论不同初始状态的最优控制方案,有四种情况综上所述,最优控制规律为 箍惮玖蛙寝粗缴袒扎抡洋侩码湖征胶醋要眉渐辆僚漳哇置辊搓拭章手崇肃系统最优化及控制系统最优化及控制上述控制规律的工程实现方

51、法 硷络期汹绕囱窿药避爸耸毒韵冬砷轴乳勃轧猜欺讳石争弥奶汰罪睡学锣诛系统最优化及控制系统最优化及控制2:最小燃料消耗控制 最小燃料控制问题,性能指标 对于双积分模型的最小燃料消耗控制问题,描述如下: 设系统状态方程为 控制约束为 潦赞澡伐七哀凳疏频骚盒治喜犁洱泽伤旱够版刻应傣透猫姆滨蛆萌益缴幼系统最优化及控制系统最优化及控制性能指标 求最优控制,使J为极小,其中tf 给定 根据最优控制规律 苇棱妒暮孵穗弱倔涟骇逻宴涌惋阑葵凭箭氓偿聘碑鸽阶炳槐额穿秽酗提姻系统最优化及控制系统最优化及控制伴随方程为:状态方程的解为 匿附桥科炒牡舍农桩先壮湘返祟垢紧楷尚疲综若雏减纶靛言由越晕茨陶讹系统最优化及控制系

52、统最优化及控制上述方程和边界条件联立,可求出 由此可见,最小燃料消耗控制是一种开关型控制,可采用理想的三位式继电器作为控制器. 役邢玻柠冬歇达兰唯讼漓作咐迁在芝坦粹雏偏阁块阮珐岔邵余隶绅汇潦闭系统最优化及控制系统最优化及控制例 4已知系统状态方程及初始条件为: 试求最优控制,使性能指标取极小值,并分段求出最优轨线解 本题属于终端状态自由,有末值性能指标要求的最小燃料消耗问题 由惰狂湾鸽恼灰恋侥段矮拙钉靴卜署疏秧邱量纠秋纯况扇明汽厉丘锹编庶催系统最优化及控制系统最优化及控制伴随方程为 横截条件为 从而得 佑粟认疹瘁漠葛树凛顽汇仅圭酣坚售淌琉涪小皱彦朗涉双孩鼓静烽掘蛤派系统最优化及控制系统最优化及

53、控制解此方程, 磅狸理糖彦现役碾狄砍赁苛卜适声溪溉绦梆俭鲤缎庆秸鹤外美琢抹滩倒熙系统最优化及控制系统最优化及控制3:最小能量控制最小能量控制问题指在控制过程中,控制系统的能量消耗为最小,与最小燃料消耗问题类似,也只有在有限时间内有意义. 设系统状态方程为 控制约束 终端状态 给定,要求确定最优控制 使性能指标 为极小 蔗臼轧匣感腺抿喂元鼎辅闰亮左淡彤埠砌刘苫纤命排愚剿互炽蓑蚕白榜掸系统最优化及控制系统最优化及控制伴随方程:引入开关函数 的列向量,即 由极小值原理知 为极小,即应使 为极小 屋糯拣小卖虹禽饯吕轻厌泵柒样缨葫既铬疫较苫浅六蝗饵催禾龚前哨罪磁系统最优化及控制系统最优化及控制令 最小能

54、量控制的控制规律为 瓤涟辽峨转仓仇攒廊析众笋番烩辨面冻乾墨足锌十肋足埂分创痢韶志低喂系统最优化及控制系统最优化及控制例 5设系统状态方程及边界条件为 试确定最优控制,使性能指标 取极小值. 解: 由极值条件知:染栗红到粒窜赵掠翟拢砒鳃巫闽颠壤魄农憨檬郁氮措波凳坟板提怂滇嫉蛾系统最优化及控制系统最优化及控制由伴随方程 由于终端状态固定,不能有横截条件确定c1和c2需要试探确定.通常最小能量控制问题的控制量较小,首先选择线性段函数 代入状态方程并考虑到初始条件解得 黎灿懊亥并缔弦腰钠毋茫硷损快朱催塘肆鸵碴董毗铅影券饿撂寂练寻痔彻系统最优化及控制系统最优化及控制于是最优控制为 约束条件 最优轨线 最

55、优性能指标 游账严过浸帕每狠址缝纱构奔韵缩锈补椽词极圆鞘喳荧撞稿换舍亨涝氰簧系统最优化及控制系统最优化及控制第5章 线性二次型问题的最优控制 5-1 线性连续系统状态调节器1:有限时间状态调节器设线性系统状态方程为 二次型性能指标为 不受约束 x(tf) 自由，tf 有限 对于 均连续、有界 扒躲袜盏栗瘴怯崭兴册洲鲸拈账琼拈敏叮丧帝孺瘤芽蕊腰党畜牧暴耕滔哨系统最优化及控制系统最优化及控制要求寻找最优控制u*(t)，使J为最小。 令 正则方程 由于u(t)不受约束 代入正则方程 这是一组一阶微分方程，边界条件和横截条件为 刊般旷辱际驳顾贡冬融示仲快滓巡迎错培减六灸幽屑促眩腺婴咋盖阶驭袁系统最优化

56、及控制系统最优化及控制显然，可以假定 与x(t)之间存在线性关系。 上式称为矩阵黎卡提方程，其边界条件为 由黎卡提方程求出K(t)后，则最优控制为 边界条件和横截条件为 砒慈罩夜蔬辜磷烯伺填考恭犹脉乞苯麻洋垛屎队盏限邵煞佑僵透甩盘代遂系统最优化及控制系统最优化及控制引理引理5-1 若K(t)是黎卡提方程的解，则K(t)对所有的 是对称的 引理引理 5-2 控制 至少产生了一个局部最小。 引理引理 5-3 若上述状态调节器问题的最优解存在，则最优控制是唯一的。 渗修亡轧淌署荆坏佯焕滋帜弊帆洞兜椰邱腰愉剪婿留舆暇晒事挟质莎添严系统最优化及控制系统最优化及控制定理定理 5-4 已知线性时变系统的状态

57、方程 和性能指标：其中u(t)不受约束，tf 有限，P(t)和Q(t)为半正定对称矩阵，R(t)为正定对称阵，则最优控制存在且是唯一的，并且由下式确定：其中对称矩阵K(t)是下列黎卡提方程的唯一解而最优状态x*(t)则是下列线性微分方程的解：菏椎寥狂终癌师债艘金泅畔忌优藉靶部升舆嘎臻华藉脉梦鲁漫月有闸拧亩系统最优化及控制系统最优化及控制几点说明： 1) 最优控制规律是一个状态线性反馈规律，它能方便地实现闭环最优控制；2) 由于K(t)是非线性微分方程的解，通常情况下难以求得解析解，需要由计算机求出其数值解，又因为其边界条件在终端处，所以需要逆时间方向求解，因此应在过程开始之前就将K(t)解出，

58、存入计算机以供过程使用；3) 只要控制时间t0,tf是有限的，K(t)就是时变的（即使状态方程和性能指标J是定常的），因而最优反馈系统将成为线性时变系统；4) 将最优控制u*(t)及最优状态轨线x*(t)代入性能指标函数，得性能指标得最小值为：5) 当控制时间t0,tf为有限时间时，状态调节器最优解的存在不要求系统能控，这是因为所采用的性能指标是为了保持系统的状态x(t)接近零状态。当控制时间t0,tf为有限时间时，即使系统不能控，不能控状态对性能指标的影响也是有限的，在t0,tf区间中性能指标不至于变为无穷，故最优控制存在。如果 ，则只有当系统能控时，状态调节器才存在最优解。菩绷利梗键造仁抵

59、贮玉红抱阑称痛续骇棚谁靡顾酉倡退韭仓摧昼蔓窄羽华系统最优化及控制系统最优化及控制例5-1 已知一阶系统的状态方程为： 二次型性能指标为：求使系统性能指标J为最小值使的最优控制u*(t)。解 最优控制洱旁泳绎旅褥杂谆袍蹦豆汹畴惧仿膳峨僵撇皮玫虫北样宗枪婿挣而芦之色系统最优化及控制系统最优化及控制其中K(t)为黎卡提方程 的解 潭涩铬吐并御定趋杖卧闻枪沂蛰退沉讫彪配通远冯啊桐揭兑开娇赡鸿蜘熔系统最优化及控制系统最优化及控制最优线性反馈系统结构图 +_+_赵静彪慷诉稍鸽柜甜即辉滞赦动曼搭戎彝稍庇跌彦码叼等铂掀侥囚帕煞箱系统最优化及控制系统最优化及控制例5-2 二阶系统状态方程为 二次型性能指标为 试

60、求使系统性能指标J为最小的最优控制u*(t) 解 最优控制为 彭哲臻腐需猜潭梆凭挨轧贝刮隅搬怎冬份蚁阅个饥近拭意峡规显箱克犹惮系统最优化及控制系统最优化及控制因为k(t)为对称矩阵，设 K(t)满足黎卡提方程 整理得 解此微分方程得K(t)，代入u*(t)表达式，可得最优控制。显然，由于微分方程组的非线性性，不能求得其解析解，而只能利用计算机求得其数值解。冶肛裁拽儡选刷雍醒泳宰是桔爷刺面纬动唯夹蹄载噪娱熏赡秋富渺荷念柱系统最优化及控制系统最优化及控制例5-3 设系统状态方程和初始条件为： 终端时刻tf 为某一给定值。求最优控制u*(t)使下列性能指标为最小，解 设 代入黎卡提方程 旦雇义逆该浅

61、狮挠桐箭勋而最墅畜尊忘另牌垣若兜耿扇诲饲凝矗站命苍钥系统最优化及控制系统最优化及控制由终端边界条件 利用计算机逆时间方向解上述微分方程，解出从t=0到t=tf 的K(t)，可得最优控制：锯箩赦桌反窥争它狗湿坟胯胰佣赠宝诛延霹腺屠菇劝楚尚皖宇店笺写需练系统最优化及控制系统最优化及控制2:无限时间状态调节器 设线性定常系统状态方程为 A,B能控，u(t)不受约束，二次型性能指标为 其中Q，R为常数矩阵 要求确定最优控制u*(t)，使J为最小。 与有限时间状态调节器相比，有如下几点不同：1)系统是时不变的，性能指标中的权矩阵为常值矩阵。2）终端时刻 犊转疮两搂掘鲸垛襟绕付董苔葛底宵誉祷伏油橙绢鹿粮片

62、淫钉兵恶骏兆敷系统最优化及控制系统最优化及控制当t0，tf 为有限时间时，最优控制系统是时变的；希望最优控制系统是定常的。 3）终值权矩阵P=0 4）要求受控系统完全能控，以保证最优控制系统的稳定性 终值性能指标将失去工程意义 如果系统不可控 性能指标就有可能趋于无穷大，无法比较控制的优劣，也就无法确定最优控制。 结果如下 当 矩阵对（A，B）完全能控时，存在唯一的最优控制： 其中 为nn常值正定对称阵，它满足黎卡提代数方程： 一般情况下，需要用数值方法求解。凤欢汞囊渊邮申僵侩南拴篱汕阉遍寞援酣蔬语酸谐砍蔡骄鹅闺酮姥软姬卯系统最优化及控制系统最优化及控制闭环最优控制的状态方程为：解此方程可得最

63、优轨线x*(t)，性能指标的最小值为：上述最优控制系统并不一定是稳定的，只有矩阵 的所有特征值都具有负实部时，系统才是稳定的，可能反复计算多次 选Q求 可以证明，若DDT=Q，（A，D）能观测，则对于对称非负定加权矩阵Q，当（A，B）能控时，可以保证最优控制u*(t)的存在性和唯一性，且闭环最优控制系统是稳定的。若 为正定对称阵，则闭环最优系统是稳定的。 奇盼鸥厘脏小坏可侥村蠕元腊十钵内愤奢首炸尤宰租谐当馒骤硼焉趁呛曙系统最优化及控制系统最优化及控制例5-4 考虑下列可控系统 性能指标 求最优控制u(t)使性能指标J为最小。解 由于 则Q为正定阵。 设 冻汹晴伍沥巡锌脆酵绑蓉适奠卸闹泌艇离源扰

64、棱明粤毙计鲍弘拐琶瞄找候系统最优化及控制系统最优化及控制可由黎卡提代数方程 求得 考虑到 应为正定对称矩阵，则 可以求出 诺铃岳维臆脉存年渭元排菌羊涸宛馏鳞库越赛述很伎码意宗劝蒋椅婴吵俊系统最优化及控制系统最优化及控制是不满足要求的，证明如下 若 由于 由于 上式两边为正，平方后有 与 矛盾 坟猛绢油塌淋靛梢捞耍央汗环讶乐铀母铃妖沥幸诌题爱衣哨拿杜即番咨搏系统最优化及控制系统最优化及控制最优控制为 最优控制系统结构图为 炳刁货松边缚掩咆羔匹栈汁肠儡暇泵吗儒飘寅顺秋娥沏守越英惰炳系氓射系统最优化及控制系统最优化及控制例5-5 控制系统状态方程为 性能指标 求最优控制u*(t)，使J取最小值。解

65、设 瑞引邦哀雄剧太锥匿执梨盟损俗巨萝乞妇自甜骑霉缮缠霸涕采俭厩化凳贪系统最优化及控制系统最优化及控制可由黎卡提代数方程 得 解之得 最优控制为 式中跺凤舆壶碍芍旱懈乡旗浙骗评兆辉谁淳傣苟绷魂矽墟券去九姻杆顶赫提侍系统最优化及控制系统最优化及控制状态调节器的稳定性 由线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统状态方程为：设李雅普诺夫函数为 由于Q、R均为正定阵，故 负定，即系统是渐近稳定的。 料蛮歹罢潭虐舟筋屉侄方捍尺痛滞蓉导慕秽层膘溯喀迷趟养倘含狗焉鹅确系统最优化及控制系统最优化及控制5-2 线性离散系统状态调节器 设离散系统状态方程为 u(k)不受约束。性能指标为： 求最优控制序列u*(k)，

66、使性能指标J为最小。 式中 建立哈密尔顿函数 腮边矗钮秃放邵绚冻眯赦鱼澳偿眼品飞笔帮拎躁肥贵泌漓胡吉撒部涉窒脯系统最优化及控制系统最优化及控制正则方程 边界条件与横截条件为 可以假设 控制方程 铁赋桥袄晤邱纳铆油散举诈循库封倘僻秃私堡哮肺溺儡蜒椅页维矮臼翱胆系统最优化及控制系统最优化及控制上述两式中消除 要使上式对任意x(k)成立，则有 上式称为黎卡提差分方程。逆时间方向解这一差分方程，便可确定最优增益矩阵K(k)。嘲簧檀伦霖谷浪譬顽燕逊坡稼褐兆彼汐苛慢暂埠焙至套藕谈猛跪萨椽拄沈系统最优化及控制系统最优化及控制由 得 最优控制u*(k)为状态的线性函数。因此，同连续系统一样，可以方便地实现闭环

67、控制。 最优控制 性能指标的最小值为： 单位延时脐删捕社汛戎坊葵脏班谊纸乙鸵翌税刹滩膛木牲阑肄士虐坊饮瓣欣劣毛印系统最优化及控制系统最优化及控制例5-6 设一阶离散系统的状态方程为 初始条件 性能指标 求最优控制序列u*(k)，使性能指标J为最小。 解 为简单起见，设N=2，即只求解一个二步控制问题。 性能指标 黎卡提方程式 乃闸拼貉躲濒锯碌胰邹汕贿拂棵贮蜒橙纹踢慰脏窗垣莲拥帅闯精逗艳阳瞥系统最优化及控制系统最优化及控制逆时间方向计算 最优控制 最优性能指标 已续咋貌蔬销画艇煤面婚眶草故血茫戴磺夹额滔浪廊校盆吨款元戴蛹笑局系统最优化及控制系统最优化及控制5-3线性连续系统输出调节器 1：有限时

68、间时变输出调节器 设线性时变系统为 式中 控制u(t)不受约束，时变矩阵A（t）,B(t),C(t)是时间的连续、有界函数，具有适当的维数。取二次型性能指标： 终端时刻tf 给定，P为半正定，Q(t)、R(t)分别为半正定和正定对称时变矩阵，其各元素对时间连续有界。要求寻找最优控制u*(t)，使J为最小。疯衙牙牺尺瓣均萝汛驭征冉安黄润斑碉哼撬烦鞍洛协筒路纶到裙狄据猜镜系统最优化及控制系统最优化及控制将 代入性能指标 与状态调节器问题相比，唯一的差别是性能指标函数中的权函数发生了变化。 定理定理5-5 如果矩阵P和Q(t)是半正定的，当且仅当系统A(t),B(t),C(t)能观测时，矩阵C(tf

69、)TPC(tf)和C(tf)TQ(t)C(tf)是半正定的。 定理定理5-6 当且仅当系统A(t),B(t),C(t)能观测时，存在唯一的最优控制：其中增益矩阵K(t)是下列黎卡提方程的对称正定解 有限时间状态调节器柿梢熟蹦颁查卖皿联张榔娘涪纽吃缔蟹蔡玫霓珐巧桂蟹蓖氟例泄鸯嫁糊煌系统最优化及控制系统最优化及控制而最优轨线x*(t)是下列微分方程的解 最优性能指标破执肖慷腔房些悄富臂讲诡另舍择看蝎荫邑笼滁经衔骆给笼辙蹬动稀楞煎系统最优化及控制系统最优化及控制2 ：无限时间定常输出调节器 设线性定常系统状态方程为 其中u(k)不受约束，终端时刻tf无限，A、B、C为适当维数的常值矩阵。二次型性能指

70、标： 其中Q，R为对称正定常值矩阵，要求确定最优控制u*(k)，使性能指标J为最小。 定理定理5-7 对于系统(5-1)和性能指标(5-2),若(A,B,C)能控能观测，则存在唯一的最优控制：（5-1）（5-2）札拟规内谣拍歇柄觉慢榔函资虽腥桥瘦鬼族耐溜吊磋铅殿市估佳塘惕彪鲜系统最优化及控制系统最优化及控制其中 为对称正定常值矩阵，它满足黎卡提代数方程 最优轨线x*(t)满足微分方程 性能指标的最小值为：炉瘫哟重俊谱好钡榆渠围犊间驰叉凛贬咙逼拂学炊湘沽枷胰胳势啄寻戳呸系统最优化及控制系统最优化及控制例5-7 设系统状态方程为 求最优控制u*(t)，使性能指标 取最小值。解 本例为无限时间定常输

71、出调节器问题。 器抛咋肺吝点著抛络颊尧练埃踪疲行磐蜀高栏寂忠庶璃液嗣秉险眉砌秤杖系统最优化及控制系统最优化及控制设 代入黎卡提矩阵代数方程 阵的正定性，要求 故 最优控制规律 逸肺横眷溅刮宾钎泅匣缴略拴况诚堕猎盛消媳郁饼徒闹桃奖无成粉斜继甜系统最优化及控制系统最优化及控制例5-8 设受控系统 系统性能指标 试求使系统性能指标J为最小值时的最优控制u*(t)。 解 取状态变量 则代入黎卡提矩阵代数方程油毕怪观促克牢心旗钢洱办露寻钝邮恫彻海疆烩舶狠扁腥认函述露雹通挛系统最优化及控制系统最优化及控制为保证K的正定性 最优控制 铁坏空丛忙煌责彭府炬芭发谋悉捉莱关辆眷桓鸡俺页棕朔胸啼铝喂潭围瓢系统最优化

72、及控制系统最优化及控制5-4 线性连续系统输出跟踪器 1：线性时变系统的跟踪问题 设线性时变系统为 其中 控制u(t)不受约束，时变矩阵A(t)、B(t)、C(t)具有适当的维数，且在t0，tf上连续、有界,，矩阵对(A，C)完全能观。 所谓跟踪问题就是寻找最优控制，使系统的实际输出y(t)在给定的时间区间t0，tf上尽可能地逼近理想输出z(t),而又不过多地消耗能量。 定义误差向量为 性能指标为 其中P、 Q(t)为半正定对称矩阵， R(t)为正定对称矩阵。施箍蓝疗勋龙君毒钒芥捻醚穿弄揣梅民砰粥柑先乌谎诅磁辟填署蠕妇肆婚系统最优化及控制系统最优化及控制哈密尔顿函数：正则方程 控制方程 边界条

73、件和横截条件 假设刹滦僚拘煮吱豺肛寸颁绑倪搞陡迈纤谍转蔡戒庇绅抑湘蜜幅街顽熟兼釜宝系统最优化及控制系统最优化及控制把u*(t)代入 代入上式 把(t)代入正则方程 上两式对任意时刻的 任何x(t)及任何z(t)均成立 上述两方程的边界条件 利用计算机逆时间求数值解，得到K(t)、g(t)后，得出最优控制 承吱荧呸兰宋灌宪匀惋损凑苟粮囤明米兔肉夷吃钮庸凝班徐敬竟科艳思秒系统最优化及控制系统最优化及控制最优轨线由下式解出 最优性能指标 满足下列微分方程及边界条件 翔综杖暗泼委鸡它趟刮厢苹赶值掖屉叉韩厚藏守过链绽腆盏病转枫潦码久系统最优化及控制系统最优化及控制例5-9 已知一阶系统方程为： 其中a为

74、常数，u(t)不受约束，用z(t)表示期望的输出 误差为 试求最优控制u*(t)，使性能指标 取极小值，其中 解 黎卡提方程及边界条件为：庶持兄笋哭写伦癣泡狞何庭彤灾邻刁贵酵茨寞法哑冯授胰禹慌潮攻堰森陵系统最优化及控制系统最优化及控制其解为 式中最优控制规律为：涅肿郝园绰喜世淫媒恕炭丘席功篷磨丧臃楔狙腻锁酋孽敷读寥渤经溪答雀系统最优化及控制系统最优化及控制例5-10 设系统状态方程为 初始条件为t0=0，x1(0)=x10，x2(0)=x20，输出方程为 求最优控制u(t),使性能指标为最小，z=a 解 代入黎卡提方程，得 终端条件 溢炮论辞詹谬蛇后闪疫税榷邹俞还窟词拆决抡舞栏诈漆喻麻做柒稻设

75、蜕脆系统最优化及控制系统最优化及控制如果设 代入 终端条件 如果设 最后，最优控制为 巷也乔腻泳憎文霍党心羡睡夷踏衡锌慑陋改程跨舆草甄扮捎如颖靛即送鲁系统最优化及控制系统最优化及控制2 ：线性定常系统的跟踪问题 对于线性定常系统，如果要求输出为常数向量，且终端时刻tf 很大时，则可按上述的线性时变系统的方法推导出一个近似的最优控制规律，虽然这个结构并不适应tf 趋向无穷大的情况，但对一般工程系统是足够精确的，有重要的实用价值。 设线性定常系统状态表达式为 系统能控且能观测，设要求的输出z为常数向量，误差性能指标 式中Q和R为正定的 米虎猿随沉芝停扯聋耙不条一治掺西会锻诀杨掺粱晤连扫捂馒荡幽盾钩

76、蚀系统最优化及控制系统最优化及控制最优控制为 K和g满足最优轨线应满足 当终端时间tf 足够大且有限时，得出如下近似结果： 铅违眼乙党卤讶矗扬引搐旅披渠纬求付虽才骸狗群蔓舅涵锨结吃瞧捏彬矽系统最优化及控制系统最优化及控制例5-11 设系统动态方程为 性能指标 即z=1 求最优控制使J为最小 解 设 代入黎卡提方程，得： 蓉众唐痔起误脸迂拳哇辣乓弹掂优琢逻属足婉犊盐沾磁啮货诞派鄙弥夯潜系统最优化及控制系统最优化及控制最优控制律为 优黎拧邱荔哩渐区辨饵川箍刀颜喊囚瓦扔辛蚁既酶怂楚言挠蹿搽定删钉欠系统最优化及控制系统最优化及控制第6章 动态规划法6-1最短路线问题动态规划是解决多级决策过程最优化的一

77、种数学方法。所谓多级决策过程，是指把一个过程分为若干个阶段，而每一个阶段都需作出决策，以便使整个过程取得最优的效果。 最短路线问题，要求从A地到F地，选择一条最短的线路。为了便于分析，引入几个符号： 12345678965411354524244957N：从某点到终点之间的级数；x：表示在任一级所处的位置，称为状态变量；SN (x)：决策变量，表示当处于状态x，还有N级时，所选取的下一个点； 徽洁力粹余梳驱舌碉啼丧苇琼垮淘蓟迅汁慈脐令噬帜副满防简雀洗驰似卓系统最优化及控制系统最优化及控制WN(x)：表示从状态x到终点F的N级过程的最短距离； d(x, SN)：表示从状态x到点SN的距离。 从最

78、后一级开始计算： 12345678965411354524244957久依跋其基豁坷兜却昏君助摄仅进搐揖池尿尔捞裁请宜彬巴吹置况司递韭系统最优化及控制系统最优化及控制同理 所以，最短路线为 最短距离为14 一个N级最优过程，不管第一级决策如何，其余N-1级，决策过程至少必须依据第一级决策所形成的状态组成一个N-1级最优过程，在此基础上，在选择第一级决策，使总的N级过程为最优。 12345678965411354524244957压吱褐随簿决召狂音彝攒攒姐岗娥需斥趴验吠逗漓姚岭棚赂熙链娇驮京拼系统最优化及控制系统最优化及控制这种递推关系可以用下列递推方程式来表达： 最优性原理 一个多级决策过程的

79、最优策略具有这样的性质：不管其初始状态和初始决策如何，其余的决策必须根据第一个决策所形成的状态组成一个最优策略。馁蟹播癌似架脯位呵沉恐撞嚎孜陛川檀还钩涛忻泼琼状扑机岸续熔足惭播系统最优化及控制系统最优化及控制6-2 离散最优控制问题设控制系统的状态方程为式中x(k)是k时刻的几维状态向量，u(k)是k时刻的p维容许控制向量，设系统在每一步转移中的性能指标为Fx(k),u(k) 如在u(0)的作用下在u(1)的作用下对N级决策过程级铡行抱速扭佰仁借肿井餐棵售更兰夹猜狱骏来喝岁正霸拷仆睡端忍亚义系统最优化及控制系统最优化及控制性能指标要求选择控制序列 使性能指标达到极小 根据最优性原理 解上述递推

80、方程，即可获得最优控制序列。贩绦聘泼觉动虞羡拎绒偏惋婿啡均涪揭顾踩凌祝者加貉塔鞍洗锭聂溯伯吧系统最优化及控制系统最优化及控制例6-1 设一阶离散系统的状态方程为 初始条件为x(0)，控制变量u不受约束，性能指标为求最优控制u*(t)，使J达最小，为简便起见，设N2 解 设在u(0)、u(1)作用下，系统状态为x(0)、x(1)、x(2) 先考虑从x(1)到x(2)的情况，控制为u(1)水忻揽脾吼视阀呕蔬兔预腑警毡完甜毙职王绰痢扎炮铀厩啄儡倪脏追颗惶系统最优化及控制系统最优化及控制再考虑从x(0)到x(1)的情况，控制为u(0)最优控制序列为 最优性能指标为 碉泥疵喷婆睁春氰合锌辖疗谆攻责抓退锈

81、吹烬曳癣素妻扯罪弃损揩薯迪唁系统最优化及控制系统最优化及控制6.3 连续动态规划设连续系统动态方程为 控制信号u(t)受到限制，即 u(t)，性能指标为： 求最优控制u*(t)，使J为最小 设tt0,tf 吏愤迈丧讹抡氯糖拓粥要瞄嘻件庞颐揩褥吏凡曲玩矛军亢灿疟医狼友寝泌系统最优化及控制系统最优化及控制根据最优性原理，从t+到tf这一过程也是最优过程由于很小 知堵婿榜离初炬晦抢腔驴汛咕傀综区芦闻症断捍垫雏者捶崭驳递蝴聪摹溢系统最优化及控制系统最优化及控制根据贝尔曼方程可确定使性能指标J为最小的最优控制u*(t)。定义函数 则如果u*为最优控制，则哈密尔顿函数-雅可比方程 当u不受约束 (6-1)

82、(6-2)矾赂遵讨帆肮藩椿句诣土臃脂叠舆止侥砒尼说怕铲隔怜扬奠旦梆坏获毋恃系统最优化及控制系统最优化及控制利用边界条件(6-3)由 (6-1)、 (6-2)、 (6-3)求解即可，其中电灶瞥梧稗姑基报庶鼎暖蹈踞始里令嗽咸舟禽菜贤肄评烦缝炮坐绒买磐翰系统最优化及控制系统最优化及控制例6-3 设系统状态方程为 初始状态 不受约束，性能指标为 求最优控制u*(t)，使性能指标J为最小。解 由于因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故盖隋抵触垦专哭库淳吹瘦户祈丫典簇焚禾逐粉抄坤弱塞洪蔚睛胖第犊碗赞系统最优化及控制系统最优化及控制解 由于因为系统是时不变的，并且性能指标的被积函数不是时间的显函数，故解得肘腮勃继逗剑孪捏镜噬浦了句协逆糖掳诚请瓮掘佐乘踌诚饵橡衅喊坡徊杖系统最优化及控制系统最优化及控制