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1、第四节第四节 有理函数有理函数的积分的积分有理函数的积分有理函数的积分小结小结 思考题思考题 作业作业可化为有理函数的可化为有理函数的 积分举例积分举例rational function第四章第四章 不定积分不定积分1基本积分法基本积分法: : 换元积分法换元积分法;分部积分法分部积分法初等函数初等函数求导求导初等函数初等函数积分积分例如例如,下列函数积分都不是初等函数下列函数积分都不是初等函数直接积分法直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分有重要应用的积分, ,都属于都属于“积不出积不出”的范围的范围. .2有理函数的定义有理
2、函数的定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.有理函数的积分有理函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式真分式真分式; ;假分式假分式. .3例例多项式的积分容易计算多项式的积分容易计算.真分式的积分真分式的积分.只讨论只讨论:多项式多项式真分式真分式有理函数的积分有理函数的积分有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + + 真分式真分式分解分解若干部分分式之和若干部分分式之和4 对一般有理对一般有理真分式的积分真分式的积分,代数学中下述定代数学中下述定理起着关键性的作用理起着关键性的作用.定理定理有理函数的积分
3、有理函数的积分5部分分式部分分式( (最简分式最简分式).).有理函数的积分有理函数的积分6 用此定理有理函数的积分就易计算了用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数有理函数的积分是初等函数.注注系数的确定系数的确定,一般有三种方法一般有三种方法:(1) 等式两边同次幂系数相等等式两边同次幂系数相等;(2) 赋值赋值;(3) 求导与赋值结合使用求导与赋值结合使用.有理函数的积分有理函数的积分7例例 求求解解 由多项式除法由多项式除法,有有 说明说明:当被积函数是当被积函数是假分式假分式时时,应把它分为应把它分为一个多项式和一个真分式
4、一个多项式和一个真分式,分别积分分别积分.假分式假分式有理函数的积分有理函数的积分8例例 求求解解 比较系数比较系数 因式分解因式分解有理函数的积分有理函数的积分9有理函数的积分有理函数的积分10代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例 求求解解(1)(1) 赋值赋值有理函数的积分有理函数的积分11于是于是有理函数的积分有理函数的积分12例例 求求 解解 比较系数比较系数 二次二次质因式质因式有理函数的积分有理函数的积分13有理函数的积分有理函数的积分14注注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中其中A,B, a, p
5、, q都为常数都为常数, 分别讨论上述几种类型的不定积分分别讨论上述几种类型的不定积分.并设并设四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分之和之和.n为大于为大于1的正整数的正整数.有理函数的积分有理函数的积分15有理函数的积分有理函数的积分16有理函数的积分有理函数的积分17有理函数的积分有理函数的积分18有理函数的积分有理函数的积分19用递推公式用递推公式有理函数的积分有理函数的积分20应重点提高计算的应重点提高计算的(1) 部分分式法部分分式法;此法一般运算较繁此法一般运算较繁.(2) 拆项法拆项法;(分项积分法分项积分法)(3) 换元法换元法;(4) 配方法配方法.有理函数积分是三角
6、函数有理式积分、有理函数积分是三角函数有理式积分、无理函数积分的基础无理函数积分的基础,熟练程度和技巧熟练程度和技巧, 一般有以下方法一般有以下方法:有理函数的积分有理函数的积分21例例 求求 分析分析解解 原式原式= 分项分项 凑微分凑微分从理论上看从理论上看,可用部分分式法可用部分分式法,但计算复杂但计算复杂,故不宜轻易使用故不宜轻易使用, 应尽量考虑其它方法应尽量考虑其它方法. 约去公因子约去公因子有理函数的积分有理函数的积分 配方配方22 例例 求求 解解原式原式=这是有理函数的积分这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦如按部分分式法很麻烦.使分母为单项使分母为单项,作变换作变换分析
7、分析分母是分母是100 次多项式次多项式,如作一个适当的变换如作一个适当的变换,而分子为多项而分子为多项,除一下除一下,化为和差化为和差的积分的积分.有理函数的积分有理函数的积分23或或 分项分项有理函数的积分有理函数的积分24技巧技巧有理函数的积分有理函数的积分 例例 求求 解解原式原式=25例例 求求 解解是二次质是二次质因式因式,原式原式=递推公式递推公式法一法一不能再分解不能再分解.有理函数的积分有理函数的积分26 求求 解解原式原式=回代回代递推公式递推公式法二法二有理函数的积分有理函数的积分27 求求解解 令令指数代换指数代换有理函数的积分有理函数的积分28有理函数的积分有理函数的
8、积分29 求求 求求 求求 有理函数的积分有理函数的积分30三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过由三角函数和常数经过有限次四则运算有限次四则运算构成的函数称之构成的函数称之. 一般记为一般记为如如有理函数的积分有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例二、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分对于三角函数有理式的积分,曾用换元法曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数原函数 回答是肯定的回答是肯定的.31 由三角学知识由
9、三角学知识可通过变换可通过变换事实上事实上,由由半角变换半角变换(或称万能代换）或称万能代换）则则表示表示.化为有理函数的积分化为有理函数的积分.有理函数的积分有理函数的积分32u的有理函数的有理函数有理函数的积分有理函数的积分33例例 求求解解由由万能代换万能代换有理函数的积分有理函数的积分34回代回代有理函数的积分有理函数的积分35例例 求求解解 法一法一回代回代有理函数的积分有理函数的积分36 法二法二 修改修改万能代换公式万能代换公式令令有理函数的积分有理函数的积分说明说明及及的有理式的积分时的有理式的积分时, ,更方便更方便. .用代换用代换通常求含通常求含37 法三法三 不用万能代
10、换公式不用万能代换公式 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能代换不一便知万能代换不一定是最佳方法定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段,不得已才用万能代换不得已才用万能代换.结论结论有理函数的积分有理函数的积分38当三角函数有理式当三角函数有理式即即例例 求求解解 具有某具有某种种对称性对称性时时,用下述变换较简单用下述变换较简单.有理函数的积分有理函数的积分39 求求解解 有理函数的积分有理函数的积分40即即例例 求求解解 有理函数的积分有理函数的积分41即即例例 求求解解 (属上述类型属上述类型)有理函数的积分有理函数的积分42或或分子分母
11、同乘以分子分母同乘以分项分项有理函数的积分有理函数的积分43(1) 尽量使分母简单尽量使分母简单.基本思路基本思路基本思路基本思路或分子分母同乘以某个或分子分母同乘以某个因子因子, 把分母化为把分母化为的单项式的单项式,或将分母整个看成一项或将分母整个看成一项.(2) 尽量使尽量使的幂降低的幂降低.用倍角公式或积化和差公式以达目的用倍角公式或积化和差公式以达目的.为此常利为此常利有理函数的积分有理函数的积分44解解 法一法一法二法二分子分母同乘以分子分母同乘以有理函数的积分有理函数的积分45例例 求求解解妙用妙用有理函数的积分有理函数的积分46分项分项有理函数的积分有理函数的积分47有理函数的
12、积分有理函数的积分 1994年考研数学一年考研数学一, 5分分解解 分子分母同乘以分子分母同乘以分项分项48类型类型解决方法解决方法 作代换去掉根号作代换去掉根号.通常先将通常先将配方配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算直接利用积分公式计算.有理函数的积分有理函数的积分2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分49回代回代例例 解解 令令原式原式=有理函数的积分有理函数的积分50例例 求求解解先将无理函数的分子或分母有理化先将无理函数的分子或分母有理化.分析分析原式原式有理函数的积分有理函数的积分51例例 解解令令则则原式原式=
13、回代回代有理函数的积分有理函数的积分52有理函数的积分有理函数的积分 1993年考研数学一年考研数学一, 5分分解解 令令 分部积分分部积分 回代回代53有理函数的积分有理函数的积分解解 法一法一 三角代换三角代换 法二法二 倒代换倒代换 542. 简单无理式的积分简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）注意：必须化成真分式）1. 三角有理式的积分三角有理式的积分.（万能代换公式）（万能代换公式）（注意：万能公式并不是最佳代换）（注意：万能公式并不是最佳代换）有理函数的积分有理函数的积分三、小结三、小结可化为有理式的积分可化为有理式的积分.55思考题思考题确定系数确定系数A、B使下式成立使下式成立解解 所论等式等价于所论等式等价于即即 通分通分有理函数的积分有理函数的积分56亦即亦即从而有从而有解得解得无解无解.有理函数的积分有理函数的积分57作业作业习题习题4-4 (2184-4 (218页页) ) 1. 2. 4. 6. 8. 10. 14. 16. 19. 22.有理函数的积分有理函数的积分58
