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1、第一节不等关系与不等式总纲目录教材研读1.两个实数比较大小的方法考点突破2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质考点二不等式的性质及应用考点二不等式的性质及应用考点一比较两个数（式）的大小考点三与不等式有关的求范围问题考点三与不等式有关的求范围问题1.两个实数比较大小的方法两个实数比较大小的方法(1)作差法作差法(a,bR):(2)作商法作商法(aR,bR+):教材研读教材研读2.不等式的基本性质不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质不等式的一些常用性质(1)倒数性质倒数性质(i)ab,ab0.(ii)a0bb0,0c.(iv)0axb或axb0b0,m0,则(i)(b-m0).(ii)
2、;0). 1.已知ab,cd,且c,d不为0,那么下列不等式成立的是()A.adbcB.acbdC.a-cb-dD.a+cb+d答案答案D由不等式的性质知,ab,cda+cb+d.D2.已知a,b,cR,则“ab”是“ac2bc2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案答案Bac2bc2ab,但当c=0时,ab/ac2bc2.故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件.B3.(2018北京海淀高三期末)已知a,bR,若ab,则()A.a2bB.abb2C.D.a3b3答案答案DA项,令a=-2,b=-1,满足ab,而a=2b,不正确;B项,当ab0
3、时,abb2不正确;C项,当ab0时,与无意义,不正确;D项,函数y=x3在R上单调递增,当ab时,a3y”的充分必要条件是( )A.2x2yB.lgxlgyC.D.x2y2答案答案A由x,yR,排除B和C.对于A,由于函数y=2x为增函数,当xy时,可得2x2y.反之也成立.对于D,y=x2在R上不单调,故不符合题意.故选A.A5.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若abc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.答案答案-1,-2,-3(答案不唯一)解析解析答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足abc,但不满足a+bc.-1,-2,-3(
4、答案不唯一答案不唯一)典例典例1(1)已知a1,a2(0,1).记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定(2)若a=,b=,则ab(填“”或“”).考点一比较两个数考点一比较两个数(式式)的大小的大小考点突破考点突破答案答案(1)B(2)0,MN.故选B.(2)易知a,b都是正数,=log891,所以ba.解析解析(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),方法技巧方法技巧比较两数(式)大小的三种常用方法(1)作差法一般步骤:作差;变形;定号;结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全
5、平方式.当两个式子都为正时,有时也可以先平方再作差.(2)作商法一般步骤:作商;变形;判断商与1的大小;结论.(3)特值法若是选择题、填空题,可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.1-1当x-1时,设A=,B=1+,则A、B的大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.A0.A2-B2=()2-=1+x-=-0.A2B2,由于A0,B0,AB.故选C.C1-2若a1a2,b1a1b2+a2b1解析解析作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2).a1a2,b10,即a1b1+a2b2a1b2+a2b1.a1b1+a2b
6、2a1b2+a2b1典例典例2(1)若ab|b|B.C.D.a2b2(2)对于实数a,b,c,有以下命题:若ab,则acbc2,则ab;若ababb2;若cab0,则;若ab,则a0,b|b|,a2b2,成立.假设成立,由ab0得a-b0,由a(a-b)a(a-b)aa-bb0,与已知矛盾,故选B.(2)中,c的符号不确定,故ac,bc的大小关系也不能确定,故为假命题.中,由ac2bc2知c0,c20,ab,故为真命题.中,由可得abb2,由可得a2ab,a2abb2,故为真命题.中,由ab得-a-b,c-aa,0c-a0.又ab0,故为真命题.中,由ab得a-b0,由得0,又b-a0,abb
7、,a0,b0,故为真命题.综上可得,真命题有4个.1.判断不等式是否成立,需要给出推理判断或举出反例(判定不等式不成立).进行推理判断常需要利用不等式的性质.规律总结规律总结2.在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还可能用到其他知识,比如对数函数的性质,指数函数的性质等.2-1若0,则下列结论不正确的是()A.a2b2B.abb2C.a+b|a+b|答案答案D由题意可知ba0,n0,mn,有三种降价方案:方案:先降m%,再降n%;方案:先降%,再降%;方案:一次性降价(m+n)%.降价幅度最小的
8、方案是.(填序号)答案答案解析解析设该电子产品的原价为1,则三种方案降价后的价格分别为(1-m%)(1-n%),1-(m+n)%.-(1-m%)(1-n%)=-m%n%=0,-1-(m+n)%=0,降价幅度最小的方案是.典例典例3已知实数x,y满足条件-1x+y4且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是.考点三与不等式有关的求范围问题考点三与不等式有关的求范围问题答案答案(3,8)解析解析设z=2x-3y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,a+b=2,a-b=-3,解得a=-,b=.由-1x+y4,2x-y3,可得-2-(x+y),5(x-y),3-(x+y)+(x-y
9、)8,即z=2x-3y(3,8).(3,8)规律总结规律总结由af(x,y)b,cg(x,y)d求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.3-1设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4,则f(-2)的取值范围是.(答案用区间表示)答案答案5,105,10解析解析f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b.设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,解得f(-2)=3f(-1)+f(1).1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,即5f(-2)10.故f(-2)的取值范围是5,10.
