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1、向量及其线性运算 二二 、向量的概念与线性运算、向量的概念与线性运算 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 三三 、向量的坐标、向量的坐标 第一节 第七章第七章 一、一、空间直角坐标系空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念定点定点 即以右手握住即以右手握住 z 轴，轴，当右手的四个手指，从当右手的四个手指，从y轴正向时，大拇指的指向轴正向时，大拇指的指向就是就是由三条互相垂直的数轴由三条互相垂直的数轴按按右手规则右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系.过空间一定点过空间一定点O, ,空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴
2、(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴) 坐标面坐标面(三个三个) 卦限卦限(八个八个)zox面z 轴轴(竖轴竖轴)在直角坐标系下在直角坐标系下点点 M有序数组有序数组有序数有序数 x、y、 z 分别称为点分别称为点 M 的的横坐标横坐标、纵坐标纵坐标、竖坐标竖坐标, 记为记为 M(x, y, z).特殊点的坐标特殊点的坐标 : :原点原点 O(0,0,0) ;坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点坐标面上的点 A , B , C .o点点M在在x轴、轴、y 轴、轴、z轴上的投影轴上的投影坐标面坐标面 :三元有序数组三元有序数组的的全体所构成的集合：全体所构成的集合：称为称为三维欧氏
3、空间三维欧氏空间.坐标轴坐标轴 : 2. 空间两点间的距离空间两点间的距离NP在在直角三角形直角三角形 M1NM2 及及 M1PN 中，用勾股定理，得中，用勾股定理，得NP空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为解解解得解得例例1依题意，有依题意，有ABC即即，故，故所求点为所求点为二、二、向量的概念与线性运算向量的概念与线性运算 1. 向量的概念向量的概念向量表示法向量表示法:向量的模向量的模 :向量的大小向量的大小,向量向量:(又称又称矢量矢量). 既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量向径向径 (矢径矢径):起点为原点的向量起点为
4、原点的向量.有向线段有向线段 M1 M2 ,或或 a , 自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.单位向量单位向量: 模为模为 1 的向量的向量.零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,相等向量：相等向量：负向量：负向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量, ,则称则称 a 与与 b 相等相等,规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ; 若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;记作记作因为平行向量可平移到同一直线上因为平行向量可平移到同一直线上, 故两向量故两向量平行平行又称两向量又称两向
5、量共线共线 .若若 n (3)个向量经平移可移到个向量经平移可移到则称此则称此 n 个向量个向量共面共面 .平行向量：平行向量：向量共面：向量共面：同一平面上同一平面上 ,注：注：(1) 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:2. 向量的线性运算向量的线性运算特殊地：若特殊地：若 同向：同向：反向：反向：向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律： 交换律：交换律： 结合律：结合律：(2) 向量的减法向量的减法三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.设设 是一个数是一个数 ,规定规定:可见可见 与与 a 的乘积是一个的乘积是一
6、个总之总之:3. 向量与数的乘法向量与数的乘法(1) 定义定义7.1新向量新向量, 记作记作如：如：结合律结合律分配律分配律(2) 运算规律运算规律例例2证证按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向一个与原向量同方向 的单位向量的单位向量. .例例3 化简化简解解4. 两个向量的平行关系两个向量的平行关系定理定理7.1证证( (充分性充分性) ) 由数与向量的乘法定义，知由数与向量的乘法定义，知( (必要性必要性) )则则 b 与与 a 同向同向,再证数再证数 的唯一性的唯一性 :则
7、则设又有设又有 b a ,推论推论7.1(此时，称向量此时，称向量 )定理定理7.2证证充分性充分性():则则必要性必要性():OB的交点依次为的交点依次为A，B.A推论推论7.2例例4试用向量方法证明：对角线互相平分的四边试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形形必是平行四边形. .证证结论得证结论得证. .依题设，有依题设，有例例5分析分析AB解解o三、三、向量的坐标向量的坐标 1. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设设 为任一向量，为任一向量，将将 平行移动，使其起点与坐标原点平行移动，使其起点与坐标原点O重合，重合，其终点其终点则则 可用
8、向径可用向径 OM 表示，表示，由由 唯一确定唯一确定.o称为称为基本单位向量，基本单位向量，则则向量向量 沿三沿三 个坐标轴方个坐标轴方向的分向量向的分向量向量向量 的的 坐标分解式坐标分解式 有序数组有序数组称称有序数有序数 x、y、z为为向量向量 的坐标，的坐标，记为记为 o向量向量 的坐标的坐标令令则则向量向量 的坐标分解式的坐标分解式向量向量 的坐标表达式的坐标表达式将将 平行移动，使其起点与坐标原点平行移动，使其起点与坐标原点O重合，重合，注注 1恰好为恰好为 的终点坐标的终点坐标与起点坐标之差与起点坐标之差由于向量和它的坐标由于向量和它的坐标 1 1 对应，所以对于对应，所以对于
9、2. 向量线性运算的坐标表达式向量线性运算的坐标表达式设设注注 2(1)则则(2)(3) 平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:对应坐标对应坐标成比例成比例注注理解为：理解为：例例6解解例例7 求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组解解2 3 , 得得代入代入得得例例8已知两点已知两点在在AB直线上求一点直线上求一点 M , 使使解解 设设 M 的坐标为的坐标为如图所示如图所示及实数及实数而而解得解得 定比分点公式定比分点公式点点 M 为为 AB 的中点的中点 , 于是得于是得中点公式中点公式:3. 向量的向量的模模与方向余弦的坐标表达式与方向余弦的坐标表达式(1
10、) 向量的模向量的模则有则有由勾股定理得由勾股定理得因为因为对两点对两点与与(2) 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 任取空间一点任取空间一点 O , =AOB (0 )记作记作两非零向量的夹角：两非零向量的夹角：称称为为向量向量的夹角的夹角. 类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角轴与轴的夹角 . 方向角：方向角：与三坐标轴正向的夹角与三坐标轴正向的夹角 , , 为其为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 向量方向余弦的坐标表示式：向量方向余弦的坐标表示式：方向余弦的性质方向余弦的性质:方向余弦通常用来表示向量的方向
11、方向余弦通常用来表示向量的方向. .例例9 已知两点已知两点和和的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解计算向量计算向量例例10 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解 已知已知的夹角依次为的夹角依次为求点求点 A 的坐标的坐标 . 则则因点因点 A 在第一卦限在第一卦限 ,故故于是于是故点故点 A 的坐标为的坐标为 向径向径 OA 与与 x 轴轴 、y 轴轴内容小结内容小结3. 向量的概念向量的概念4. 向量的加减法向量的加减法5. 向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的
12、方向）1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 2. 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）6. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.7. 向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）8.解解思考题思考题备用题备用题例例1-1 求点求点 M(4,3,-2) 到到 y 轴轴的距离的距离.解解过点过点 M作作 y 轴的垂面，则垂足点为轴的垂面，则垂足点为P(0,3,0).故点故点M 到到 y 轴的距离为：轴的距离为：例例1-2解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为例例1-3解解原结论成立原结论成立. .解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或例例9-1例例9-2 设设求以向量求以向量行四边形的对角线的长度行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为对角线的长为解解为边的平为边的平
