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1、第第2讲讲不等式问题不等式问题高高考考定定位位1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真真 题题 感感 悟悟 1.(2016全国卷)若ab0，0c1，则()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb答案B答案C答案C解析画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x3与直线xy10的交点(3，4)处取得，代入目标函数zx2y得到最小值为5.答案5考考 点点 整整 合合2.(1)解含有参数的一元二次
2、不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值.5.不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、反证法，还要结合放缩和换
3、元的技巧.热点一利用基本不等式求最值微题型1基本不等式的简单应用探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.微题型2带有约束条件的基本不等式问题(2)(2016郑州模拟)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_.探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.【训练1】 (1)(2016广州模拟)若正实数x，y满足xy1xy，则x2y的最
4、小值是()A.3 B.5 C.7 D.8热点二含参不等式恒成立问题微题型1分离参数法解决恒成立问题探究提高 一是转化法,即通过分离参数法,先转化为f(a)g(x)(或f(a)g(x)对xD恒成立,再转化为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)；二是求最值法，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题.微题型2函数法解决恒成立问题【例22】 (1)已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围为_.(2)已知二次函数f(x)ax2x1对x0，2恒有f(x)0.则实数a的取值范围为_.解析(1)法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa
5、，当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得2a1.1a1.综上所述，所求a的取值范围为3，1.探究提高参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练2】 若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.答案R热点三简单的线性规划问题微题型1已知线性约束条件，求目标函数最值解析可行域为一个三角形ABC及其内部，其
6、中A(1,0),B(1,1),C(1,3)，直线z2x3y5过点B时取最小值10.答案10探究提高线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.微题型2线性规划中的含参问题答案(1)C(2)B探究提高对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的
7、，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.解析(1)已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x，y)为阴影部分内的动点，1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.
