《高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲空间中角与距离的计算课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲空间中角与距离的计算课件（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第7讲空间中角与距离的计算1.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.1.异面直线所成的角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)，其范围是_.(0，902.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于 0.(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平
2、面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.903.二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做_.直二面角4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等体积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.1.若 a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量
3、中能作为平面的法向量的是()BA.(0,1,2)C.(1，2,3)B.(3,6,9)D.(3,6,8)解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.若直线 l，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面的法向A.4B.6C.8D.8C3.已知平面上的两个向量 a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面)的一个法向量为(A.(1，1,1)B.(2，1,1)C.(2,1,1)D.(1,1，1)C4.如图871，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.图 871考点 1 线面所成角的计算例 1：(2018 年浙江)如图872，已知
4、多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面 A1B1C1；(2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值. 图 872(2)解：如图 D81，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接 AD.图 D81由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1，得C1D平面ABB1，方法二，(1)证明：如图D82，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.图 D82由题意知各点坐标如下：【规律方
5、法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.【互动探究】1.(2018 年天津)如图 873，在四面体 ABCD 中，ABC 是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB(1)求证：AD
6、BC；(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.图 873(1)证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB，ADAB，可得 AD平面 ABC，故 ADBC.(2)解：如图 D84，取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND.图 D84因为 M 为棱 AB 的中点，所以 MNBC.所以DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角.考点 2 面面所成角的计算例 2：(2018 年北京)如图 874，在三棱柱 ABC A1B1C1中，CC1平面 ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中
7、点，ABBC ，ACAA12.(1)求证：AC平面 BEF；(2)求二面角 BCDC1 的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交.图 874证明：(1)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1 为矩形.又 E，F 分别为 AC，A1C1 的中点，ACEF.ABBC，ACBE.又 EFBEE，AC平面 BEF.(2)解：由(1)知 ACEF，ACBE，EFCC1.又 CC1平面 ABC，EF平面 ABC.BE平面 ABC，EFBE.如图 D83，建立空间直角坐称系 Exyz.图 D83由题意，得B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(1,0,1)，
8、F(0,0,2)，G(0,2,1).设平面 BCD 的法向量为 n(a，b，c)，(3)证明：由(2)知，平面 BCD 的法向量为 n(2，1，4)，G(0,2,1)，F(0,0,2)，FG 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内.FG 与平面 BCD 相交.【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小.【互动探究】2.(2017 年新课标)如图875，四棱锥PABCD 中，侧面ABC90，E 是 PD
9、的中点.(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面ABCD 所成锐角为 45，求二面角 MABD的余弦值.图 875(1)证明：取 PA 中点 F，连接 EF，BF.由BADABC90，得 BCAD，所以四边形 BCEF 为平行四边形.所以 CEBF.又 BF平面 PAB，CE 平面 PAB，所以 CE平面 PAB.图 D85难点突破利用空间向量求空间距离例题：(2018 年天津)如图876，ADBC 且 AD2BC，ADCD，EGAD 且 EGAD，CDFG 且 CD2FG，DG平面 ABCD，DADCDG2.(1)若 M 为 CF 的中点，N 为
10、 EG 的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角 EBCF 的正弦值；(3)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60，求线段 DP 的长.图 876图 877又因为直线 MN 平面 CDE，所以 MN平面 CDE.不妨令 z1，可得 n(0,1,1).设 m(x，y，z)为平面 BCF 的法向量，【规律方法】求点到平面的距离通常有以下方法：(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的距离，即为所求；(2)间接法，包括等体积法和转化法；(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向量方向上的射影长，此射影长即为所求，点P 到平面的距离：【互动探究】图 878(1)证明：如图 D86，设 G 为 AB1 的中点，连接 EG，GF.图 D86所以四边形 DEGF 是平行四边形.所以 DFEG.又DF 平面B1AE，EG平面B1AE，所以 DF平面 B1AE.(2)解：因为ABCD是菱形，且ABC60，所以ABC 是等边三角形.如图 D87，取 BC 中点 G，则 AGAD.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1AG，AA1AD.图 D87建立如图所示的空间直角坐标系，令 AA1t(t0)，
