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1、4.1.2 圆的一般方程 （1掌握圆的一般方程及其特点（2能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径（3能用待定系数法，由已知条件求出圆的一般方程（4通过本节课学习，进一步掌握配方法和待定系数法考虑：考虑：(1)(1)方程方程 表示什么图形？表示什么图形？(2)(2)方程方程表示什么图形？表示什么图形？对方程对方程配方，可得配方，可得此方程表示以此方程表示以为圆心，为圆心，2 2为半径的圆。为半径的圆。对方程对方程配方，可得配方，可得所以这个方程不表示任何图形。所以这个方程不表示任何图形。由于不存在点的坐标由于不存在点的坐标 满足此方程满足此方程, ,探究：探究： 方程方程在什么条
2、件下表示圆？在什么条件下表示圆？配方可得：配方可得：把方程把方程（1 1当当时时方程方程表示以表示以为圆心，为圆心，为半径的圆。为半径的圆。（2 2当当时，时，只有一解只有一解方程方程它表示一个点它表示一个点（3 3当当时，时，没有实数解，它不表示任何图形。没有实数解，它不表示任何图形。方程方程结论：结论： 圆的一般方程圆的一般方程任何一个圆的方程都可以写成任何一个圆的方程都可以写成反过来，当反过来，当 时，方程才表示一个圆，时，方程才表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程我们把它叫做圆的一般方程. .的形式的形式标准方程：标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；图形特征一目了然，明
3、确地指出了圆心和半径；一般方程：一般方程：突出了代数方程的形式结构，突出了代数方程的形式结构，（1x2和和y2系数相同，都不等于系数相同，都不等于0；（2没有没有xy这样的二次项这样的二次项.思考思考1 1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？例例1 1：下列方程各表示什么图形：下列方程各表示什么图形? ?（1 1原点原点(0,0)(0,0)答案：答案：练习：判断下列方程能否表示圆的方程练习：判断下列方程能否表示圆的方程, ,若能若能, ,写出圆心写出圆心与半径与半径（1 1是是圆心圆心3 3，-1-1半径半径（2 2是是圆心圆心1 1，-2-2半
4、径半径3 3（3 3不是不是（4 4不是不是（5 5不是不是答案答案例例2 2：求过三点：求过三点并求出圆心坐标和半径并求出圆心坐标和半径的圆的方程，的圆的方程，解：解：设圆的方程为设圆的方程为把点把点 的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组解这个方程组得解这个方程组得故所求圆的方程为故所求圆的方程为因此所求圆的圆心为因此所求圆的圆心为半径长为半径长为用用“待定系数法求圆的方程的大致步骤：待定系数法求圆的方程的大致步骤：（2 2根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F的方程组；的方程组；（1 1根据题意，选择一般方程或标准方程；根据题意，选择一般方程或标准方程
5、；（3 3解出解出a,b,ra,b,r或或D,E,FD,E,F，代入一般方程或标准方程，代入一般方程或标准方程练习：等腰梯形练习：等腰梯形ABCDABCD的底边长分别为的底边长分别为6 6和和4 4，高为，高为3 3，求这，求这个等腰梯形的外接圆方程个等腰梯形的外接圆方程简析：以简析：以ABAB所在直线为所在直线为x x轴，轴，ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建轴，建立平面直角坐标系可求得方程为立平面直角坐标系可求得方程为例例3 3、已知线段、已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3),端点端点A A在圆在圆(x+1)2+y2=4(x+1)2+y2=
6、4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. .yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A分析：分析：yx .O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A如图，点如图，点A A的运动引起点的运动引起点M M的运动，而点的运动，而点A A在圆上运动在圆上运动点点A A的坐标满足方程的坐标满足方程建立点建立点M M的坐标与点的坐标与点A A的的坐标之间的关系，就可坐标之间的关系，就可以建立点以建立点M M的坐标满足的坐标满足的条件，求出点的条件，求出点M M的的轨迹方程轨迹方程解：解：设点设点M M的坐标是的坐标是设点设点A A的坐标是的坐标是由于点由于点B
7、 B的坐标是的坐标是(4,3),(4,3), 且点且点M M是线段是线段ABAB的中点，所以的中点，所以于是有于是有所以点所以点A A的坐标满足方程的坐标满足方程因为点因为点A A在圆在圆 上运动，上运动，即即把把1 1代入代入2 2得得整理得整理得所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以 为圆心，半径长为为圆心，半径长为1 1的圆。的圆。练习：如图，已知点练习：如图，已知点P P是圆是圆x2+y2=16x2+y2=16上的一个动点，点上的一个动点，点A A是是x x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为1212，0 0），当点），当点P P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PAPA的中点的中点
8、M M的轨迹是什么？的轨迹是什么？P M A xoy答案答案: :以点以点6,06,0为圆心，为圆心，半径长为半径长为2 2的圆。的圆。线段线段PAPA的中点的中点M M的轨迹的轨迹1 1圆圆x2+y2+4x+26y+b2=0x2+y2+4x+26y+b2=0与坐标轴相切，那么与坐标轴相切，那么b b可以取的可以取的值是（值是（ ）（A A）22或或13 13 （B B1 1或或2 2（C C）1 1或或2 2 （D D）1 1或或1 1A A2 2方程方程x2+2xy+y2+x+yx2+2xy+y2+x+y2=02=0表示的曲线是（表示的曲线是（ ）（A A两条相交直线两条相交直线 （B B
9、两条平行直线两条平行直线（C C不是圆也不是直线不是圆也不是直线 （D D圆圆B B3 3若方程若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+ax2+y2+ax+2ay+2a2+a1=01=0表示圆，则表示圆，则a a的取值的取值范围是范围是 。 4 4三角形三角形ABCABC的三个顶点的三个顶点A(1A(1，4)4)，B(B(2 2，3)3)，C(4C(4，5)5)，那么，那么ABCABC的外接圆方程是的外接圆方程是_. _. x2+y22x+2y23=05 5知知ABCABC的边的边ABAB长为长为2a2a，若，若BCBC的中线为定长的中线为定长m m，求顶点，求顶点C C的轨迹方程的轨迹方程.
10、 .解：由题意，以解：由题意，以ABAB中点为原点，边中点为原点，边ABAB所在的直线为所在的直线为x x轴建轴建立直角坐标系立直角坐标系, ,如图，则如图，则A(A(a a，0)0)，B(aB(a，0),0),设设C(xC(x，y)y)，则则BCBC中点为中点为E E因为因为|AE|=m|AE|=m，所以，所以 化简得化简得(x+3a)2+y2=4m2.(x+3a)2+y2=4m2.由于点由于点C C在直线在直线ABAB上时，不能构成三角形，故去上时，不能构成三角形，故去掉曲线与掉曲线与x x轴的两个交点，轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2.
11、(x+3a)2+y2=4m2. (y0)(y0) (1) (1) 任何一个圆的方程都可以写任何一个圆的方程都可以写x2+y2+Dx+Ey+F=0x2+y2+Dx+Ey+F=0的的形式，形式，但是方程但是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0x2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆的曲线不一定是圆, ,只有在只有在D2+E2-D2+E2-4F04F0时，表示圆心为时，表示圆心为 , ,半径为半径为 的圆。的圆。（2 2利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易 求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题， 一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。不幸很少会纠缠有希望和信心的人。
