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1、1 17 7. .1 1 勾股定理勾股定理如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理勾股定理 C C9090 a2 + b2 = c2cabBCAabcS大正方形c2，S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形，赵爽弦图b-a证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.aaaabbbbcccca2+b2+2a
2、b=c2+2ab，a2 +b2 =c2.证明：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，aabbcca2 + b2 = c2.证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 例1 如图，在RtABC中， C=90. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.解：(1)据勾股定理得(2)据勾股定理得利用勾股定理进行计算二CAB（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，A=30,求a,c. 【变式题1】在RtABC中
3、， C=90.解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52， 解得(2)因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.归纳【变式题2】 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.归纳4.如图是由边长为
4、如图是由边长为1 m的正方形地砖铺设的地面的正方形地砖铺设的地面示意图示意图,小明沿图中所示的折线从小明沿图中所示的折线从ABC所走所走的路程为的路程为 m.(结果保留根号结果保留根号)5.如图是一株美丽的勾股树如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形其中所有的四边形都是正方形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形所有的三角形都是直角三角形.若正若正方形方形A,B,C,D的边长分别是的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形则最大正方形E的面积是的面积是.6.古诗赞美荷花古诗赞美荷花:“竹色溪下绿竹色溪下绿,荷花镜里香荷花镜里香”.平静的平静的湖面上湖面上,一朵荷花亭亭玉立一朵荷花亭亭玉立,露出
5、水面露出水面10 cm,忽见它忽见它随风斜倚随风斜倚,花朵恰好浸入水面花朵恰好浸入水面,仔细观察仔细观察,发现荷花发现荷花偏离原地偏离原地40 cm(如图如图).请问水深是多少厘米请问水深是多少厘米?2.如图如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方以数轴的单位长度线段为边作一个正方形形,以表示数以表示数1的点为圆心的点为圆心,正方形对角线长为半正方形对角线长为半径画弧径画弧,交数轴于点交数轴于点A,则点则点A表示的数是表示的数是().1.在数轴上表示在数轴上表示 . 7.利用勾股定理画出长为利用勾股定理画出长为 cm的线段的线段. 1.在直角三角形中，在直角三角形中，300角所对的直角边等于斜
6、边角所对的直角边等于斜边的一半；的一半；2.在直角三角形中，在直角三角形中，600角所对的直角边等于斜边角所对的直角边等于斜边的的3.在直角三角形中，在直角三角形中，450角所对的直角边等于斜边角所对的直角边等于斜边的的1.将一根长将一根长24cm的筷子，置于底面直径为的筷子，置于底面直径为5cm，高为，高为12cm的圆柱形水杯中（如图）设筷子的圆柱形水杯中（如图）设筷子露在杯子外面的长为露在杯子外面的长为hcm，则，则h的取值范围是的取值范围是_1.一架长一架长5米的梯子米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底这时梯子底端距墙底3米，如果梯子的顶端沿墙米，如果
7、梯子的顶端沿墙下滑下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论。米吗？用所学知识，论证你的结论。10.一根竹子高一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端子底端3尺处尺处.折断处离地面的高度是多少？折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作九章算术中的一（这是我国古代数学著作九章算术中的一个问题个问题.其中的丈、尺是长度单位，其中的丈、尺是长度单位，1丈丈=10尺尺.）12.圆柱的底面半径为圆柱的底面半径为 cm，高为，高为8cm，蚂，蚂蚁在圆柱表面爬行，从蚁在圆柱表面爬行，从A点爬
8、到点点爬到点B的最短路程的最短路程是是_cm2.如图如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方以数轴的单位长度线段为边作一个正方形形,以表示数以表示数1的点为圆心的点为圆心,正方形对角线长为半正方形对角线长为半径画弧径画弧,交数轴于点交数轴于点A,则点则点A表示的数是表示的数是().3.如图是一个台阶示意图如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是每一层台阶的高都是20 cm,宽都是宽都是50 cm,长都是长都是40 cm,一只蚂蚁沿台阶从一只蚂蚁沿台阶从点点A出发到点出发到点B,其爬行的最短路线的长度是其爬行的最短路线的长度是().A.100 cm B.120 cmC.130 cm D.150
9、cm4.在直线在直线l上依次摆着几个正方形上依次摆着几个正方形(如图如图),已知斜放已知斜放的三个正方形的面积分别为的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放的四个正方正放的四个正方形的面积分别是形的面积分别是S1,S2,S3,S4,则则S1+S2+S3+S4等于等于().7.如图如图,已知在已知在Rt ABC中中,ACB=90,AB=4,分分别以别以AC,BC为直径作半圆为直径作半圆,面积分别记为面积分别记为S1,S2,则则S1+S2的值等于的值等于. 9.如图如图,一个长方体形的木柜放在墙角处一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和与墙面和地面均没有缝隙地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜处沿着木柜表面爬到柜角表面爬到柜角C1处处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当当AB=4,BC=4,CC1=5时时,求蚂蚁爬过的最短路求蚂蚁爬过的最短路径的长径的长.
