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1、绪论及数学准备Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望第零章第一节第零章第一节矢量代数与张量初步1矢量代数与张量初步直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系中 矢量定矢量定矢量定矢量定义义义义 矢量的基本运矢量的基本运矢量的基本运矢量的基本运算算算算 矢量代数中的两个重要公式矢量代数中的两个重要公式矢量代数中的两个重要公式矢量代数中的两个重要公式 混合积混合积混合积混合积矢量微分矢量微分双重矢量积双重矢量积双重矢量积双重矢量积注意顺序注意顺序不能颠倒不能颠倒 并矢与张量
2、并矢与张量 （一般一般）为单位并矢，张量的基（为单位并矢，张量的基（9 9个分量）个分量） 矢矢量与张量的矩阵表示量与张量的矩阵表示量与张量的矩阵表示量与张量的矩阵表示张量的运算张量的运算张量的运算张量的运算两并矢的一次点乘两并矢的一次点乘两并矢的一次点乘两并矢的一次点乘两并矢的二次点乘两并矢的二次点乘两并矢的二次点乘两并矢的二次点乘单位张量与矢量、单位张量与矢量、单位张量与矢量、单位张量与矢量、张量的点乘张量的点乘张量的点乘张量的点乘补充练习题补充练习题（ 0， ， 1， 1 ）计算计算与矢量与矢量 垂直垂直, ,即即证明证明计算下列各式计算下列各式证明下列各式证明下列各式 第零章第二节第零
3、章第二节矢量场论复习矢量场论复习一、一、场的概念场的概念2矢量场论复习矢量场论复习 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。场用一个空间和时间场用一个空间和时间 坐标的函数来描述坐标的函数来描述：稳稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关恒场（稳定场、静场）：场与时间无关变变化场（时变场）：场函数与时间有
4、关化场（时变场）：场函数与时间有关已已知知场场函函数数可可以以了了解解场场的的各各种种性性质质：随随时时空空的的变变化关系（梯、散、旋度）。化关系（梯、散、旋度）。已已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数，知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数， 这是电动力学求解电磁场的主要方法。这是电动力学求解电磁场的主要方法。二、标量场的梯度在空间任意靠近两点函数在空间任意靠近两点函数 的全微分的全微分在在空空间间某某点点的的任任意意方方向向上上，导导数数有有无无穷穷多多个个，其其中中有有一一个个值值最最大大，这这个个方方向向导导数数的的最最大大值值定定义为梯度：义为梯度： 梯度的意义：梯度的意义：
5、空间某点标量场函数的最大变化率空间某点标量场函数的最大变化率 ，刻画了，刻画了标标量量场场的空的空间间分布特征分布特征 等值面等值面： 常数的曲面称为等值面。常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系：梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。梯度与等值面垂直。 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。三、矢量微分算子三、矢量微分算子既具有矢量性质，既具有矢量性质，既具有矢量性质，既具有矢量性质，又具有微分性质又具有微分性质又具有微分性质又具有微分性质 注意：注意：注意：注意：它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。 解：解：
6、=？例例例例1 1：解：解：例例例例2 2：=？四、高斯定理与矢量场的散度四、高斯定理与矢量场的散度四、高斯定理与矢量场的散度四、高斯定理与矢量场的散度矢矢量族量族 在在矢矢量量场场中中对对于于给给定定的的一一点点，有有一一个个方方向向，它它沿沿某某一一曲曲线线的的切切线线方方向向，这这条条曲曲线线形形成成一一条条矢矢量量线线，又又叫叫场场线线（对对静静电电场场称称为为电电力力线线），无无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。穷多条这样的曲线构成一个矢量族。 矢矢量场的通量量场的通量面元面元 的通量：的通量：有限面积有限面积 的通量的通量意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具意义：用来描
7、述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具 有局域性质，不能反映空间一点的情况。有局域性质，不能反映空间一点的情况。 有源无源负源闭合曲面的通量闭合曲面的通量高高斯公式矢矢量场的散度缩小到一点缩小到一点 若空间各点处处若空间各点处处 则称则称 为无源场。为无源场。 该点有源该点无源该点为负源例子：例子：求求求求求求 证明证明证明证明证：证：证：证：五、斯托克斯公式与矢量场的旋度五、斯托克斯公式与矢量场的旋度矢量场的环量（环流）表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合 斯斯托克斯公式（定理）矢量矢量 沿
8、任一闭合曲线沿任一闭合曲线 的积分称为环量的积分称为环量 定定义义 为为矢矢量量场场的的旋旋度度，它它在在 法法线线方方向向上上的的分分量量为为单单位位面面积积上上的的环环量量。刻刻画画矢矢量量场场场场线线在在空空间间某某点点上上的的环环流流特特征征。若若空空间间各各点点 ，则称则称 为无旋场。为无旋场。 矢量场的旋度当L无限小：例子：例子：证明证明证明证明同理同理同理同理证证证证=0=0证明证明证明证明证：证：证：证：六、有关场的四个定理六、有关场的四个定理关关于散度旋度的两个定理1.正定理：标量场的梯度必为无旋场，正定理：标量场的梯度必为无旋场， 即即 逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场
9、的梯度。逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。 即若即若 ，则，则 ， 称为无旋场称为无旋场 的标量的标量 1. 势函数。势函数。 2. 正定理正定理: 矢量场的旋度必为无散场，即矢量场的旋度必为无散场，即 逆定理逆定理: 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。无源场必可表示为某个矢量场的旋度。 即若即若 ，则，则 ， 称为无源场称为无源场 的矢量势函数。的矢量势函数。亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 任意矢量场任意矢量场 均可分均可分 解解为为无旋无旋场场 和无源和无源场场 之和。之和。 即即 可分解为可分解为 。 又称为又称为 的横场部分，可引入标势的横场部分，可引入标势 ， 又称为又称为 的纵
10、场部分，可引入矢势的纵场部分，可引入矢势 ， 唯一性定理定理定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及 矢量场在区域边界上的法线分量，矢量场在区域边界上的法线分量， 则该矢量场在区域内是唯一确定的。则该矢量场在区域内是唯一确定的。 V 1795179917951799年年在在哥哥廷廷根根大大学学学学习习，17991799年年获获博博士士学学位位。18701870年年任任哥哥廷廷根根大大学学数数学学教教授授和和哥哥廷廷根根天天文文台台台台长长，一一直直到到逝逝世世。18551855年年2 2月月2323日日在在哥哥廷廷根根逝逝世世。他他一一生生中中共共发
11、发表表323323篇篇（种种）著著作作，提提出出404404项项科科学学创创见见（发发表表178178项项），在在各各领领域域的的主主要要成成就就有有： （1 1）关关于于静静电电学学温温差差电电和和摩摩擦擦电电的的研研究究、利利用用绝绝对对单单位位（长长度度质质量量和和时时间间）法法则则量量度度非非力力学学量量以以及及地地磁磁分分布布的的理理论论研研究究；（2 2）利利用用几几何何学学知知识识研研究究光光学学系系统统近近轴轴光光线线行行为为和和成成像像，建建立立高高斯斯定定理理光光学学；（3 3）天天文文学学和和大大地地测测量量学学中中，如如小小行行星星轨轨道道的的计计算算，地地球球大大小小
12、和和形形状状的的理理论论研研究究等等；（4 4）结结合合试试验验数数据据的的测测算算，发发展展了了概概率率统统计计理理论论和和误误差差理理论论，发发明明了了最最小小二二乘乘法法，引引入入高高斯斯定定理理误误差差曲曲线线。此此外外，在在纯纯数数学学方方面面，对对数数论论、代代数数、几几何何学学的的若若干基本定理作出严格证明。干基本定理作出严格证明。 德德国国数数学学家家和和物物理理学学家家。17771777年年4 4月月3030日日生生于于德德国国布布伦伦瑞瑞克克，幼幼时时家家境境贫贫困困，聪聪敏敏异异常常，受受一一贵贵族族资资助助才才进进学校受教育。学校受教育。高高斯斯 第零章第三节第零章第三
13、节三度在坐标系中的表三度在坐标系中的表示及一些重要公式示及一些重要公式 3三度在坐标系中的表示及一些重要公式三度在坐标系中的表示及一些重要公式 一、矢量微分算子（哈密顿算子）一、矢量微分算子（哈密顿算子） 二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系 柱坐标与直角坐标的关系 球坐标与直角坐标的关系三、“三度”在坐标系中的具体表示形式 四、关于“三度”的一些常用公式复复合函数的 三度公式 积分变换公式 高斯公式高斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式 利用混合利用混合积公式积公式格林公式格林公式 第一公式第一公式 第二公式第二公式 积分变换的一般规则积分变换的一般规则 一般变换规则证明一般变换规则证明证：证： 任取常矢量任取常矢量 点乘上式两端点乘上式两端 左左1。=2。证：证： 任取常矢量点乘上式两端任取常矢量点乘上式两端左左矢矢矢矢量微分算符常用公式量微分算符常用公式 1。3。4。5。6。7。8。9。10。2。4函数与点电荷密度函数与点电荷密度一维三维电动力学中一个重要的函数形式电动力学中一个重要的函数形式 证：证： =0/点电荷密度分布点电荷密度分布点电荷密度分布点电荷密度分布
