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1、一一映射反函数映射函数奇偶性单调性应用对数函数指数函数知识结构（一）知（一）知识点点归纳 1、映射、函数、函数的三要素、映射、函数、函数的三要素、函数的函数的单调性、函数奇偶性。性、函数奇偶性。 2、反函数，互、反函数，互为反函数的函数反函数的函数图像像间的关系。的关系。 3、指数、指数,对数数;指数函数指数函数,对数函数数函数（二）典例分析（二）典例分析（三）（三）单元元测试例例1 函数函数y=log (x2-2x+3)的定的定义域域为_值域域为_，单调增区增区间为_，减区，减区间为_。解：解：x2-2x+30 xR x2-2x+3=(x-1)2+22 y=log (x2-2x+3)-1 单
2、调增区增区间为（-,1， 减区减区间为1,+）例例2 y=log2 的的值域域为_，增区，增区间为_，减区，减区间为_。解：解：-(x2-6x+5)0 x2-6x+50 1x5 y=log2 log22=1 值域域为y1 增区增区间为（1，3 减区减区间为3，5）例例3 函数函数y=log (x2-ax-a)在区在区间(-,1- )上是增函数上是增函数则a的范的范围是是_。（f(x)=log (3x2-ax+5)在在-1,+)上是减函上是减函数数则a范范围为_）。）。解：解：x2-ax-a=(x- )2- -a y=log (x2-ax-a)在在(-,1- )上上 是增函数是增函数 1- (1
3、- )2-a(1- )-a0 2-2 a2例例4 当当x(1,2)时，不等式，不等式(x-1)2logax恒成恒成立，立，则a的范的范围是是_。解：令解：令y1=(x-1)2 y2=logax 当曲当曲线y=logax过A(2,1)时 1=loga2 a=2 欲使欲使x(1,2 (x-1)2logax恒成立恒成立 必必须使使1a2A(2,1)1 2xyO例例5 函数函数y=log 2x+log x单调减区减区间为_。解：令解：令t=log x y=t2+t=(t+ )2- log x- 0x 函数函数y=log 2x+log x 单调减区减区间为(0, 例例6 设0a1，x，y满足足 loga
4、x+3logxa-logxy=3 若若y有最大有最大值为 ，求此，求此时a值及及x的的值。解：解：logxy=logax+ -3 logay=log2ax-3logax+3 a = a= log x= x=( ) =例例7 函数函数y=logax(0a1) x1的的图象上象上有有A、B、C三点，它三点，它们的横坐的横坐标分分别为t，t+2，t+4。（1）若）若ABC面面积为S，求，求S=f(t)。（2）判断）判断S=f(t)的的单调性。性。（3）求）求S=f(t)的最大的最大值。0Stt A B C t+2t+4A B C 解：解：A(t,logat) B(t+2,loga(t+2) C(t+
5、4,loga(t+4) S=SAABB+SBBCC-SAACC =(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|) -2(|logat|+|loga(t+4)|) t1 S=loga S=loga(1- )在在1+)上上为减函数减函数（3）当当t=1时 S大大=loga例例8 当当0a0,且且a1)解解的个数的个数为_。解：解：-x2+2x+2a =-(x-1)2+2a+1 2a+1a+1AByx10xyx=120例例10 已知已知x1是方程是方程x+lgx=4的解，的解，x2是是方程方程x+10x=4的解，的解，则x1+x2=_。 （A）5 （B
6、）4 （C）3 （D）1法法1：x1+lgx1=4又又x2+10x2=4 3x14 0x21 3x1+x20，a1为常数，函数常数，函数f(x)=loga（1）讨论f(x)在区在区间(-,-5)内的内的单调性，性，并并给予予证明。明。（2）设g(x)=1+loga(x-3)如果方程如果方程f(x)=g(x)有有实根，求根，求a的范的范围。解：解：设U(x)= x1x2-5 则U(x1)-U(x2)= =x1x2-5 x1-x20 x1+50 x2+50U(x1)-U(x2)1时 f(x)=loga 在在(-,-5)上是增函数。上是增函数。 当当0a0) a(t+2)= = =t+ +1212+
7、4 a = 0a 。单元元测试一、一、单选题1）若指数函数若指数函数y=f(x)反函数的反函数的图像像过点点(2,-1)，则此指数函数是（此指数函数是（A） (A) y=( )x (B) y=2x (C) y=3x (D)y=10x2）若若f(x)= ，则f( )=- 的解的解为（B） （A）2 （B）-2 （C）2 （D）13）若函数若函数y=f(x)的定的定义域是域是-2,2，则函函数数g(x)=f(x)+f(-x)的定的定义域是（域是（B） (A) -4,2 (B) -2,2 (C) -2,4 (D) -4,-24）设集合集合A和和B都是坐都是坐标平面上的点集平面上的点集|(x,y)|x
8、R,yR|，映射，映射f:AB把把A中的元中的元素素(x,y)映射成映射成B中的元素中的元素(x+y,x-y)，则在在映射下，象映射下，象(2,1)的原象是（的原象是（B） (A) (3,1) (B) ( , ) (C) ( ,- ) (D) (1,3)5）函数函数y=f(x)的定的定义域和域和值域都是域都是(-,0),那么函数那么函数y=f(-x)的的图像一定位于像一定位于（D） （A）第一象限）第一象限 （B）第二象限）第二象限 （C）第三象限）第三象限 （D）第四象限）第四象限6）如果如果0a1,0x2x1，则下列各式中正下列各式中正确的是（确的是（B）（A）1ax2ax1 （B）ax1
9、ax21（C）ax2ax11 （D）ax11ax27）若函数若函数f(x-1)是偶函数，是偶函数，则函数函数f(x) (B) (A) 以以x=1为对称称轴 (B) 以以x=-1为对称称轴 (C) 以以y轴为对称称轴 (D) 不具有不具有对称性称性8）已知已知f(x)=asinx+b +4(a,bR)，且，且f(lg log310)=5，则f(lg lg3)的的值是（是（D）（A）-5 （B）5 （C）-3 （D）39）已知函数已知函数f(x)，(xR)满足：足： (1)f(1+x)=f(1-x)；(2)在在1,+)上上为增函数；增函数；(3)x10，且，且x1+x2f(-x2) (B) f(-
10、x1)=f(-x2) (C) f(-x1)f(-x2) (D)无法确定无法确定10）若若f(x)为奇函数，且在奇函数，且在(-,0)内是增内是增函数，又函数，又f(-2)=0，则xf(x)0的解集的解集为（A）(A) (-2,0)(0,2) (B) (-,-2)(2,+)(C) (-,-2)(2,+) (D) (-2,0)(2,+)11）若若f(x),g(x)均均为奇函数，且奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+1在在(0,+)上有最大上有最大值4，则F(x)在在(-,0)上有最小上有最小值（B） （A）-4（B）-2（C）-1（D）312）定定义在在R上的函数上的函数y=f(x)有反函
11、数，有反函数，则函数函数y=f(x+a)+b的的图像与像与y=f-1(x+a)+b的的图像像间的关系是（的关系是（A） (A) 关于直关于直线y=x+a+b对称称 (B) 关于直关于直线x=y+a+b对称称 (C) 关于直关于直线y=x+a-b对称称 (D) 关于直关于直线x=y+a-b对称称二、填空二、填空题13）已知函数已知函数f(x)=ax2+b(x0)的的图像像过点点(-2,11),f (x)的的图像像过点点(2,-1)，则a=_，b=_。14）已知已知logx3logy30，则0,1,x,y之之间的大小关系是的大小关系是_。15）已知已知0a1，则方程方程a|x|=|logx| 。实
12、根的个数是根的个数是_个。个。16）设函数函数g(x)= 是奇函数，是奇函数，则a=_。3-10yx121三、解答三、解答题17）设f(x)是是R上的偶函数上的偶函数,且在区且在区间(-,0)上上递增，若有增，若有f(2a2+a+1)0 3a2-2a+10 2a2+a+13a2-2a+1 a2-3a0 0a1，变数数x,y之之间有关系式：有关系式：logax+3logxa-logxy=3。（1）若）若x=at(t0)，试求以求以a,t表示表示y的表达式；的表达式；（2）若）若t的的变化范化范围为1,+)此此时y的最小的最小值为8，求求a和和x值。解解：（：（1）logax+3logxa-log
13、xy=3 =logax+ -3 logay=loga2x-3logax+3 y=a =a （2）当）当t= 时 y小小=a =8 a=8 =16 此此时x=16 =6419）已知二次函数已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次和一次函数函数g(x)=-bx，其中，其中a,b,c满足足abc,a+b+c=0（1）求）求证：两函数的：两函数的图像交于不同的两像交于不同的两点点A，B；（2）求）求线段段AB在在x轴上的射影上的射影A1B1的的长的取的取值范范围。解：解： (1) y=ax2+bx+c ax2+bx+c=-3x y=-bx ax2+2bx+c=0 =4b2-4ac=4(-a-c)2
14、-4ac =4(a+ )2+ c2 abc a+b+c=0 a0 c0 两函数两函数图象交于两个不同点。象交于两个不同点。（2）设方程两个根分方程两个根分别为x1,x2 则 x1+x2=- x1x2= |A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2 =(- )2- = = =4 abc a+b+c=0 a0 c-a-cc (-2,- ) |A1B1|2(3,12) |A1B1|220）如如图所示，所示，铁路路线上上AB段段长100千米，千米，工厂工厂C到到铁路的距离路的距离CA为20千米，千米，现在要在要在在AB上某一点上某一点D处，向，向C修一条公路，已修一条公路，已知知铁路与公路的每吨千米的
15、运路与公路的每吨千米的运费之比之比为3:5，为了使原料从供了使原料从供应站站B运到工厂运到工厂C的的运运费最省。最省。D点点应选在何在何处？解：解：设|AD|=x 铁路上每吨千米运路上每吨千米运费 为3k，公路，公路为5k。总运运费y=5k +3k(100-x)(0x100) =5 -3xADBC 令令 =t (t+3x)2=25(x2+400) 16x2-6tx+10000-t=0 =36t2-416(10000-t)0 t80 当当t=80时 x=15时，即，即D取在距取在距A15千米千米处，总运运费量省。量省。法法2 设ACD=a 则总运运费量量y=3(100-20tana)+5 =30
16、0+ ( )小小= 此此时 tana= AD=15（千米）（千米）21）已知函数已知函数f(x)=3x且且f-1(18)=a+2，g(x)=3ax-4x的定的定义域域为区区间0,1。（1）求）求g(x)的解析式；的解析式；（2）求）求g(x)的的单调区区间，确定其增减性并，确定其增减性并试用定用定义证明；明；（3）求）求g(x)的的值域。域。解解：（：（1）f(x)=3x且且f-1(18)=a+2 f(a+2)=3a+2=18 3a=2 g(x)=2x-4x（2）令）令t=2 g(t)=t-t2=-(t- )2+ t1,2 g(t)在在1,2上上单调递减减 g(x)在在1,2上上单调递减减 证：设0x1x21 g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1 =(2x2-2x1)-(2x2-2x1)(2x2+2x1) =(2x2-2x1)(1-2x1-2x2) 0x10 1-2x1-2x20 g(x2)0 恒成立恒成立 =4m2-4(2m2+ )0 m 或或m0 U(x)小小=m2-2+ +24 由由m2-2= (m2-2)2=1 m= 此此时f(x)小小=2 x= 或或-
