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1、前提为真时，结论可能为真的推理，叫做前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理。合情推理。（一）类比推理（一）类比推理在学习空间向量时，我们是这样推测空在学习空间向量时，我们是这样推测空间向量的基本定理的：间向量的基本定理的：由于平面向量与空间向量都是既有大小由于平面向量与空间向量都是既有大小又有方向的量，并且两者具有类似又有方向的量，并且两者具有类似(或一致或一致)的运算性质的运算性质(如都具有加法的交换律和结如都具有加法的交换律和结合律等合律等)，因此根据平面向量的基本定理，因此根据平面向量的基本定理，我们推测空间向量也具有类似的性质：我们推测空间向量也具有类似的性质：如果三个向量如果三
2、个向量不共面，那么对不共面，那么对于空间任一向量于空间任一向量，存在一个惟一的有，存在一个惟一的有序实数组序实数组x，y，z，使，使这种根据两类不同事物之间具有某些类这种根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做理，叫做类比推理类比推理（简称类比），（简称类比），类比属类比属于合情推理于合情推理。下面我们通过一个例子来得出下面我们通过一个例子来得出类比的一类比的一般步骤般步骤。三角形与四面体有如下类似的性质：三角形与四面体有如下类似的性质：（1）三角形是平
3、面内由直线段所围成的最）三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间由平面所简单的封闭图形；四面体是空间由平面所围成的最简单的封闭图形；围成的最简单的封闭图形；（2）三角形可以看作平面上一条线段外一）三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上各点连线所形成的图形；点与这条线段上各点连线所形成的图形；四面体可以看作三角形所在平面外一点与四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形。这个三角形上各点连线所形成的图形。根据三角形的性质，可以推测空间四面根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质如下：体的性质如下：三角形三角形四面体四面体三角形两三角形两边之
4、和大之和大于第三于第三边.四面体任意三个面的面四面体任意三个面的面积之和大之和大于第四个面的面于第四个面的面积三角形三条内角三角形三条内角平分平分线交于一点，交于一点，且且这个点是三角形个点是三角形内切内切圆的的圆心。心。四面体的六个二面角的平分面四面体的六个二面角的平分面交于一点，且交于一点，且这个点是四面体的个点是四面体的内切球的球心。内切球的球心。三角形的中位三角形的中位线等于第三等于第三边的一半，的一半，且平行于第三且平行于第三边。四面体的中截面（以任意三条四面体的中截面（以任意三条棱的中点棱的中点为顶点的三角形）的面点的三角形）的面积等于第四个面的面等于第四个面的面积的一半，的一半，
5、且平行于第四个面。且平行于第四个面。一般地，如果类比的一般地，如果类比的相似性相似性越多，相似越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可能为真。比得出的命题就越可能为真。例例1找出圆与球的相似性质，并用圆的下找出圆与球的相似性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质：列性质类比球的有关性质：（1）圆心与弦）圆心与弦(非直径非直径)中点的连线垂直中点的连线垂直于弦；于弦；（2）与圆心距离相等的两弦相等；）与圆心距离相等的两弦相等；（3）圆的周长）圆的周长C=d（d是直径）；是直径）；（4）圆的面积）圆的面积S=r2.解：圆与球有下列相似的性质
6、：解：圆与球有下列相似的性质：（1）圆是平面上到一定点距离等于定长的）圆是平面上到一定点距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定所有点构成的集合；球面是空间中到一定点距离等于定长的所有点构成的集合；点距离等于定长的所有点构成的集合；（2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称图形。图形。通过与圆的有关性质类比，可以推测求通过与圆的有关性质类比，可以推测求的有关性质：的有关性质：圆球球圆心与弦（非直心与弦（非直径）中点的径）中点的连线垂垂直于弦直于弦球心与截面球心与截面圆（不（不经过球心
7、的球心的小截面小截面圆）圆心的心的连线垂直于截垂直于截面面与与圆心距离相等的心距离相等的两弦相等两弦相等与球心距离相等的两个截面与球心距离相等的两个截面圆的的面面积相等相等圆的周的周长C=d球的表面球的表面积S=d2圆的面的面积S=r2球的体球的体积V=r3其中前三个类比得到的结论是正确的，其中前三个类比得到的结论是正确的，最后一个猜测则是错误的。由此可见，类最后一个猜测则是错误的。由此可见，类比的结论值具有或然性，即可能真，也可比的结论值具有或然性，即可能真，也可能假。能假。虽然有类比所得到的结论未必是正确的，虽然有类比所得到的结论未必是正确的，但它所具有的有特殊到特殊的认识功能，但它所具有
8、的有特殊到特殊的认识功能，等于发现新的规律和事实却是十分有用的。等于发现新的规律和事实却是十分有用的。例例2试根据等式的性质猜想不等式的性质试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：等式的性质：猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(1)aba+cb+c;(2)a=bac=bc;(2)abacbc;(3)a=ba2=b2;等等等等(3)aba2b2;等等等等问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？答答：(1)对；对；(2),(3)不对。不对。（二）类比推理的一般步骤：（二）类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似找出两
9、类对象之间可以确切表述的相似特征；特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论在学习等差数列时，我们是这样推导首在学习等差数列时，我们是这样推导首项为项为a1，公差为，公差为d的等差数列的等差数列an的通项公的通项公式的：式的：a1=a1+0d；a2=a1+1d；a3=a1+2d；a4=a1+3d；等差数列等差数列an的通项公式是的通项公式是an=a1+(n1)d.这种这种根据一类事物的部分对象具有某种根据一类事物的部
10、分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）（简称归纳）。归纳是。归纳是从特殊到一般从特殊到一般的过程。的过程。（二）归纳推理的一般步骤：（二）归纳推理的一般步骤：（1）通过观察个别情况发现某些相同的）通过观察个别情况发现某些相同的性质；性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。表述的一般性命题（猜想）。一般地，如果归纳的个别情况越多，越一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越具有代表性，那么推广的一般
11、性命题就越可能为真。可能为真。(三三)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，首先，从思维运动过程的方向来看，演绎演绎推理推理是从一般性的知识的前提推出一个特是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊从一般过渡到特殊；而而归纳推理归纳推理则是从一些特殊性的知识的前则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即提推出一个一般性的知识的结论，即从特从特殊过渡到一般殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系。其实，从前提与结论联系的性
12、质来看，演绎推理的结论不超出前提的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。前提真而结论假是不可能的。一个演绎推一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实其结论就必然真实。而归纳推理。而归纳推理(完全归纳完全归纳推理除外推理除外)的结论却超出了前提所断定的范的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是而只具有或然性，即其前提
13、真而结论假是有可能的。也就是说，有可能的。也就是说，即使其前提都真也即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。并不能保证结论是必然真实的。归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，的，两者互相依赖、互为补充两者互相依赖、互为补充，比如说，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，这个意义上我们可以说，没有归纳推理也没有归纳推理也就没有演绎推理就没有演绎推理。当然
14、，归纳推理也离不。当然，归纳推理也离不开演绎推理。开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这过程本身所不能解决和提供的，这只有借助只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以
15、论证。从这个意义上我们也可以说，以论证。从这个意义上我们也可以说，没有没有演绎推理也就不可能有归纳推理演绎推理也就不可能有归纳推理。分析上述推理过程，可以看出，推理的分析上述推理过程，可以看出，推理的每一个步骤都是每一个步骤都是根据一般性命题根据一般性命题（如（如“全全等三角形对应角相等等三角形对应角相等”）推出特殊性命题推出特殊性命题（如（如“B=C”）。）。这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）这类根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理，叫做导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推演绎推理理。用符号表示这种推理规则就是用符号表示这种推理规则就是“如果如果pq，p真，则真，则q真
16、真”。这种推理规则叫做这种推理规则叫做假言推理假言推理。假言推理。假言推理的本质是，的本质是，通过证明结论的充分条件为真，通过证明结论的充分条件为真，判断结论为真判断结论为真。1假言推理假言推理2三段论推理三段论推理三段论是指由两个简单判断作前提和一三段论是指由两个简单判断作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理。三段个简单判断作结论组成的演绎推理。三段论中三个简单判断只包含三个不同的概念，论中三个简单判断只包含三个不同的概念，每个概念都重复出现一次。这三个概念都每个概念都重复出现一次。这三个概念都有专门名称：结论中的宾词叫有专门名称：结论中的宾词叫“大词大词”，结论中的主词叫结论中的主词叫“
17、小词小词”，结论不出现的，结论不出现的那个概念叫那个概念叫“中词中词”，在两个前提中，包，在两个前提中，包含大词的叫含大词的叫“大前提大前提”，包含小词的叫，包含小词的叫“小前提小前提”。用符号表示，这两步都遵循如下推理规则：用符号表示，这两步都遵循如下推理规则：“如果如果bc，由，由ab，则，则ac.”这种推理这种推理规则，叫做规则，叫做三段论推理三段论推理。3传递性关系推理传递性关系推理传递性关系推理指前提中至少有一个是传递性关系推理指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性关系的逻辑性质进行推演质进行推演的。可分为的。可分为纯关系推理纯关系推理和和混
18、合混合关系推理关系推理。纯关系推理就是前提和结论都。纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括是关系判断的推理，包括对称性关系对称性关系推理、推理、反对称性关系反对称性关系推理、推理、传递性关系传递性关系推理和推理和反反传递性关系传递性关系推理。推理。这里用到的推理规则是这里用到的推理规则是“如果如果aRb,bRc,则则aRc”，其中，其中“R”表示具有表示具有传递性的关系传递性的关系。这种推理规则叫做传递性关系推理。这种推理规则叫做传递性关系推理。又如由又如由a/b，b/c，推出，推出a/c，也是传递，也是传递性关系推理。性关系推理。4完全归纳推理完全归纳推理完全归纳推理是这样一种归纳
19、推理：根完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物的全部个别对象的考察，已据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。该类事物都具有某种性质。例例4证明函数证明函数f(x)=x6x3+x2x+1的值的值恒为正数。恒为正数。1综合法综合法综合法是综合法是从原因推导到结果从原因推导到结果的思维方法，的思维方法，而分析法是一种而分析法是一种从结果追溯到产生这一结从结果追溯到产生这一结果的原因果的原因的思维方法。具体地说，综合法的思维方法。具体地说，综合法是从已知条件出法，经过逐步的推理，最是从已知条件出法
20、，经过逐步的推理，最后达到待证结论。分析法则是从待证结论后达到待证结论。分析法则是从待证结论出法，一步一步寻求结论成立的充分条件，出法，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事最后达到题设的已知条件或已被证明的事实。实。例例1求证：求证：证明：因为证明：因为所以所以 左式左式=log195+2log193+3log192=log19(53223)=log19360.因为因为log19360log19361=2，所以所以例例2如图，设四面体如图，设四面体PABC中中,ABC=90，PA=PB=PC，D是是AC的中点，求证：的中点，求证：PD垂直于垂直于ABC所在的平面
21、。所在的平面。证明：连接证明：连接PD，BD，因为，因为BD是是RtABC斜边上的中线，斜边上的中线，所以所以DA=DB=DC，又因为，又因为PA=PB=PC，而而PD是是PDA、PBD、PCD的公共边的公共边,所以所以PDAPBDPCD，于是于是PDA=PDB=PDC，而而PDA=PDC=90，可见可见PDAC，PDBD，由此可知，由此可知，PD垂直于垂直于ABC所在的平面所在的平面.这个证明的步骤是：这个证明的步骤是：（1）由已知）由已知BD是是RtABC斜边上的中线斜边上的中线,推出推出DA=DB=DC，记为，记为P0(已知已知)P1;（2）由）由DA=DB=DC，和已知条件，推出，和已
22、知条件，推出三个三角形全等，记为三个三角形全等，记为P1P2；（3）由三个三角形全等，推出）由三个三角形全等，推出PDA=PDB=PDC=90,记为记为P2P3;（4）由）由PDA=PDB=PDC=90,推出推出PD垂直于垂直于ABC所在的平面，记为所在的平面，记为P3P4(结论结论)；这个证明步骤用符号表示就是这个证明步骤用符号表示就是P0(已知已知)P1P2P3P4(结论结论).2分析法分析法例例3求证：求证：证明：因为证明：因为都是正数，都是正数，所以为了证明所以为了证明只需证明只需证明展开得展开得即即只需证明只需证明2125，因为，因为212，则有，则有a2b，从而，从而a3812b+6b2b3，a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.因为因为6(b1)2+22，所以，所以a3+b32，这与题，这与题设条件设条件a3+b3=2矛盾，矛盾，所以，原不等式所以，原不等式a+b2成立。成立。例例6、设、设0a,b,c,(1 b)c,(1 c)a,则三式相乘：则三式相乘：(1 a)b(1 b)c(1 c)a又又0a,b,c1所以所以同理：同理：以上三式相乘以上三式相乘：(1 a)a(1 b)b(1 c)c与与矛盾矛盾原式成立。原式成立。
