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1、第四章 杆件的横截面应力4-1 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 杆件承载能力除与其材料性能杆件承载能力除与其材料性能 , 加载方式和尺寸加载方式和尺寸有关外有关外 , 还与杆件截面的几何形状有关还与杆件截面的几何形状有关 .一、静矩和形心一、静矩和形心微面积微面积 dA 乘以乘以坐标坐标 z 称为称为dA对对y轴轴的的静矩静矩: 同样，同样，dA对对 z 轴轴的的静矩静矩为为:平面图形平面图形 A 对对两坐标轴两坐标轴的的静矩静矩为为:yzOzdAAy静矩是可加的静矩是可加的, 即即利用计算均质板形心的公式利用计算均质板形心的公式, 可知计算几何图形形心的公式可知计算几何图形形心的公式:
2、C点点是是平面图形平面图形A的的形心形心的的充分必要条件充分必要条件：平面图形平面图形A对过对过C点点任意方向轴的静矩为零。任意方向轴的静矩为零。 SzC=0；SyC=0。 根据根据静矩静矩定义定义和和静矩静矩的可加性，为了简化的可加性，为了简化复杂图形复杂图形的的形心形心计算，可以将复杂图形计算，可以将复杂图形A分为分为Ai ，i=1,2,n，则，则zCyzOACyCA1A2这种方法称为这种方法称为组合法组合法 .例例1：求抛物线求抛物线 z =hy2/b2下方面积的形心。下方面积的形心。解：解：yzbOh例例2：求图示面积的形心。求图示面积的形心。解：解：yz860O50140016161
3、6二、惯性矩二、惯性矩 , 惯性积和惯性半径惯性积和惯性半径微面积元微面积元dA乘以乘以坐标坐标z的平方称的平方称dA对对y轴轴的的惯性矩惯性矩 同样，同样， dA对对z轴轴的的惯性矩惯性矩为为 dA对对O点点的的极惯性矩极惯性矩为为平面图形平面图形A对对两坐标轴两坐标轴的的惯性矩惯性矩和对和对O点点的的极惯性矩极惯性矩分别为分别为:惯性半径惯性半径定义为：定义为：yzOzdAAy微面积元微面积元 dA 乘以乘以 yz 称称 dA 对对 yOz 轴系的惯性积：轴系的惯性积： 平面图形平面图形A对坐标轴系的惯性积为对坐标轴系的惯性积为 惯性积反映平面图形对坐标轴系惯性积反映平面图形对坐标轴系的对
4、称性的对称性yzOzdAAy 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。例例 4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。解：解：yzCbOyCb/2zCh/2例例 4：求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩。：求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩。解：解：dyzOr三、三、 平行移轴公式平行移轴公式 研究研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间的关系。首先根据坐标平移公式的关系。首先根据坐标平移公式yzOz1Ay1baO1dAyzOzCAyCC取取O1点为点为平面图形平面图形的形心，的形心，且且Sy
5、C=SzC=0，可得，可得对于惯性积，用同样结果可以得到对于惯性积，用同样结果可以得到针对形心轴系的平行移轴公式针对形心轴系的平行移轴公式以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。例例5：求图形对形心轴和：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩轴的惯性矩。解：解：yz5aOa5aayCzCC2a四、四、 转轴公式转轴公式 研究将坐标系逆时针旋转研究将坐标系逆时针旋转角时，角时，平面图形平面图形A的的惯性矩惯性矩和和惯性积惯性积在在新新、老老轴系之间的变化规律。轴系之间的变化规律。坐标旋转公式：坐标旋转公式：yzOz1Ay1yzz1y1转轴公式的推
6、导转轴公式的推导平面图形平面图形A对旋转后的对旋转后的y1轴的惯性矩：轴的惯性矩：平面图形平面图形A对旋转后的对旋转后的z1轴的惯性矩：轴的惯性矩：平面图形平面图形A对对新新轴系的轴系的惯性积惯性积：经整理后经整理后由前面的推导，可以得到由前面的推导，可以得到平面图形平面图形A对过对过O点任意方向轴的点任意方向轴的惯性矩惯性矩之最大、最小值之最大、最小值 极值条件：极值条件：惯性主方向：惯性主方向： 惯性主轴：惯性主轴： 平面图形平面图形A对对过过O点点沿惯性主方向的轴称沿惯性主方向的轴称惯性主轴。惯性主轴。 对称轴是惯性主轴，和该主轴垂直的轴也是惯性主轴。对称轴是惯性主轴，和该主轴垂直的轴也
7、是惯性主轴。主惯性矩：主惯性矩： 是是平面图形平面图形A对对过过O点点惯性主轴惯性主轴的的惯性矩惯性矩；也是；也是平面图形平面图形A对过对过O点各轴惯性矩的极大、极小值。点各轴惯性矩的极大、极小值。 过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。过形心的惯性主轴称为形心惯性主轴（形心主惯性轴）。过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主过图形上的任何一个点，都可以找到一对相互垂直的惯性主轴。轴。 一一. 应力应力即：即：单位截面积上作用着的内力单位截面积上作用着的内力 平均应力：平均应力： 一点处的应力：一点处的应力： - - 正正应力；应力；切切应力应力。4-2 应力与应变的概
8、念应力与应变的概念应力的量纲：应力的量纲：FL-2，单位：单位：MPa = 106N/m2。二二. 应变应变 概念概念: 弹性变形弹性变形; 塑性变形塑性变形 应变应变: 描述变形的剧烈程度描述变形的剧烈程度. 应变分为应变分为线线(正正)应变应变和和切应变切应变. 平均线应变平均线应变 线应变线应变 切应变表示材料内部两正交线段在变形后的角度变化切应变表示材料内部两正交线段在变形后的角度变化. 或或: 切应变是直角的改变量切应变是直角的改变量.三三. 简单的应力简单的应力-应变关系应变关系1. 胡克定律胡克定律 E-弹性模量弹性模量, 单位单位: GPa 1 GPa=10 9 Pa2. 波松
9、比波松比 杆件在轴向伸长时其横向同时缩短杆件在轴向伸长时其横向同时缩短 - - 波松比波松比 / /- - 横向线应变横向线应变 3. 剪切胡克定律剪切胡克定律4. E G 三者之间的关系三者之间的关系4-3 轴力与弯矩所引起的应力轴力与弯矩所引起的应力一一. 轴力在横截面引起的应力轴力在横截面引起的应力 当杆段发生伸长、缩短时，其横截面仍为平面，仍垂直当杆段发生伸长、缩短时，其横截面仍为平面，仍垂直于轴线，无任何转动，杆的横截面面积发生变化。于轴线，无任何转动，杆的横截面面积发生变化。 在杆件横截面上变形均匀。根据对材料的连续性假设，在杆件横截面上变形均匀。根据对材料的连续性假设，在杆件横截
10、面上内力均匀分布，即杆件在在杆件横截面上内力均匀分布，即杆件在拉压时横截面上仅拉压时横截面上仅有正应力，且在横截面上均匀分布。有正应力，且在横截面上均匀分布。例例4-6： 如图杆件，已知如图杆件，已知qx，试求杆件中的最大应力。试求杆件中的最大应力。解：解： 先作杆件的轴力图先作杆件的轴力图. 可以发现，可以发现，FN的最大值的最大值出现在杆的两端出现在杆的两端. 故最大应故最大应力也出现在杆的两端力也出现在杆的两端. 斜截面上的应力斜截面上的应力: 拉压杆任一斜截面上的应拉压杆任一斜截面上的应力也是均匀分布的：力也是均匀分布的： 正应力和切应力：正应力和切应力： 最大切应力：最大切应力： 一
11、点的应力状态：一点的应力状态：过该点所有方向的截面上的正、过该点所有方向的截面上的正、 切应力的总和。一般用切应力的总和。一般用微单元体微单元体来描述。来描述。二二.弯矩在横截面引起的应力弯矩在横截面引起的应力三三. 1. 纯弯曲和平面假设纯弯曲和平面假设四四. 纯弯曲纯弯曲：杆件的横截面上只有弯矩，无其它内力。：杆件的横截面上只有弯矩，无其它内力。五五.平面假设平面假设：梁在：梁在变形变形后，横截面仍然后，横截面仍然保持为平面保持为平面，仍仍垂直于垂直于变形后的轴线，绕变形后的轴线，绕中性轴中性轴发生发生转动。转动。中性轴和中性层中性轴和中性层： 梁在梁在变形变形后，横截面上一部分材料受拉，
12、另一部分材料后，横截面上一部分材料受拉，另一部分材料受压，两部分的界线为一直线，称受压，两部分的界线为一直线，称中性轴中性轴。各截面的。各截面的中性轴中性轴连成连成中性层中性层。中性层上无伸长、缩短变形（既不受拉也不受中性层上无伸长、缩短变形（既不受拉也不受压）。压）。纵向纤维互不挤压假设纵向纤维互不挤压假设： 梁中各平行于轴线的纵向截面上无正应力梁中各平行于轴线的纵向截面上无正应力。2. 纯弯曲梁的弯曲正应力纯弯曲梁的弯曲正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴A1B1O1OabcdABdq qr rzy) ) ) )OO1) )变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系（应力应变关
13、系）（应力应变关系）应用胡克定律得应用胡克定律得Myx静力学关系静力学关系由由 轴力为零轴力为零结论：在纯弯曲时，中性轴过形心。结论：在纯弯曲时，中性轴过形心。由由 正应力的合成结果是弯矩正应力的合成结果是弯矩由由 (1)(2)(3)式，得纯弯曲梁横截面正应力的计算公式式，得纯弯曲梁横截面正应力的计算公式3、横力弯曲时的正应力、横力弯曲时的正应力 在截面上一般在截面上一般FS和和M都非零。严格地讲，都非零。严格地讲，由于由于FS的作用，横力弯曲的作用，横力弯曲时时平面假设平面假设不能成立不能成立。但对于。但对于细长梁细长梁来说，由此引入的误差很小，故认为，来说，由此引入的误差很小，故认为， F
14、S引起的引起的横截面翘曲横截面翘曲对变形几何关系的影响较小。对变形几何关系的影响较小。 在在横力弯曲横力弯曲时，时，纵向纤维互不挤压纵向纤维互不挤压的的假设假设也不也不能成立能成立。但因为在绝大多数情况下，纵截面上的正。但因为在绝大多数情况下，纵截面上的正应力不大，因此对变形几何关系的影响较小。应力不大，因此对变形几何关系的影响较小。 总之：在总之：在横力弯曲横力弯曲时，对于细长梁，上面的应时，对于细长梁，上面的应力公式可以继续使用。力公式可以继续使用。FSFS 工程上关心梁的最大正应力；对于塑性材料制成的梁，工程上关心梁的最大正应力；对于塑性材料制成的梁，通常采用中性轴对称截面，这时最大拉、压应力相等，即通常采用中性轴对称截面，这时最大拉、压应力相等，即Wz-抗弯截面系数抗弯截面系数对于矩形截面：对于矩形截面：对于圆形截面对于圆形截面对于环形截面对于环形截面4-4 扭矩所引起的应力扭矩所引起的应力
