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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修2 2 2 2 2 21.2.2空间两条直线的位置关系（空间两条直线的位置关系（2） 1空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系位置关系位置关系共面情况共面情况公共点个数公共点个数相交相交在同一平面内在同一平面内有且只有一个有且只有一个平行平行没有没有异面异面不同在任一平面内不同在任一平面内复习回顾：复习回顾： 2平行公理平行公理 3空间等角定理空间等角定理 对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？1异面直线的定义异面直线的定义空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线异面
2、直线空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线异面直线不平行也不相交不平行也不相交2异面直线的画法异面直线的画法 ABl mn mn mn画异面直线一定要依托于平面画异面直线一定要依托于平面BB1AA1DD1CC1如图，长方体如图，长方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中，与直线的棱所在直线中，与直线AA1是异面的是异面的有有_如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，相邻两个侧面的对角线中，相邻两个侧面的对角线A1B与与异面异面CD， BC， B1C1， C1D1B1C的位置关系是的位置关系是_用反证法证明：空间四边形用反证法证明：空间四边形ABCD的对角线的对角线AC，B
3、D是异面直线是异面直线 DABC在空间四边形中，各边所在直线异面的共有几对？在空间四边形中，各边所在直线异面的共有几对？练习：练习：例例1求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线是异面直线 已知：已知：A ，B ，B l，l 求证：直线求证：直线AB 和和l是异面直线是异面直线 ABl定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线符号表示：若符号表示：若A ，B ，B l， l ，则直线则直线AB与与l是异面
4、直线是异面直线 两点一线一面两点一线一面判定两条直线是异面直线的常用方法：判定两条直线是异面直线的常用方法：反证法反证法练习：练习： 判断正误：判断正误：若若a ，b ，则，则a，b为异面直线为异面直线 .若若ab，bc ，则，则ac .若若a，b为异面直线，为异面直线， b，c为异面直线，则为异面直线，则a，c也为异面直线也为异面直线 .若若a，b共面，共面，b，c共面，则共面，则a，c也共面也共面 . 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行 .小结：小结：异面直线的判定：异面直线的判定： 利用定义；利用定
5、义； 判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线该点的直线是异面直线 符号表示：若符号表示：若A ，B ，B l，l ，则直线，则直线AB与与l是异面是异面直线直线 两点一线一面两点一线一面 常用方法：反证法常用方法：反证法定量定量空间内空间内O点点“任取任取”，说明角的大小与点，说明角的大小与点O的位置选取无关，只的位置选取无关，只 由两直线的相对位置所确定；由两直线的相对位置所确定；a ，b 相交，转化为平面内两相交直线所成的角进行度量，相交，转化为平面内两相交直线所成的角进行度量， 立体问题平面化；
6、立体问题平面化； 0 90异面直线所成的异面直线所成的角角 abOa b a 特特别地：地： 90时，称两条异面直，称两条异面直线互相垂直互相垂直记作：作：ab * 空空间两直两直线互相垂直，不一定有垂足互相垂直，不一定有垂足 异面直异面直线互相垂直一定没有垂足互相垂直一定没有垂足AA1BB1CC1DD1例例2如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角中，求下列各对异面直线所成的角 O 主要步骤：主要步骤：构造平面角；构造平面角； 证明；证明； 求角计算求角计算转化为平面角转化为平面角(1)A1B与与C1C；(2)AC与与B1D1；(3)AC与与BC1(
7、4)A1B与与B1D1 AA1BB1CC1DD1练习如图，在正方体练习如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F，M，N分别为所在棱分别为所在棱的中点，求下列各对异面直线所成的角的中点，求下列各对异面直线所成的角 OPEFMNL* 中位线中位线(1)EF与与MN；(2)EF与与BD1 例例2空间四边形空间四边形ABCD中，中，E，F分别是对角线分别是对角线BD，AC的中点，的中点，(1)若若BCAD2EF，求直线，求直线EF与与AD所成角的大小所成角的大小(2)若若AB8，CD6，EF5，求，求AB与与CD所成角的大小所成角的大小 BCDAEF练习：练习：1.指出下列命题是否正确，并
8、说明理由指出下列命题是否正确，并说明理由.过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线.过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.若若ab，ca则则bc若若ca，bc则则ab分别与两条异面直线分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线都相交的两条直线c，d一定异面一定异面. 2如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与中，与AD1所成角为所成角为60 的面对角线的面对角线有有 条条 AA1BB1CC1DD13.已知不共面的三直线已知不共面的三直线a，b，c相交于点相交于点O，M，P是是a上两点，上
9、两点，N，Q分别分别在在b，c上上 求证：求证：MN，PQ异面异面. acbOPMQN4.如图在三棱锥如图在三棱锥A-BCD中，中，E，F，G，H分别是边分别是边AB，BC，CD，DA的中的中点点求证：四边形求证：四边形ABCD是平行四边形；是平行四边形；若若ACBD，求证：四边形，求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；当当AC与与BD满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ABCD是正方形是正方形?ABFCDHEG 1异面直线的判定异面直线的判定小结：小结： 利用定义；利用定义； 判定定理：若判定定理：若A ，B ，B l，l ，则直线，则直线AB与与l是异面是异面直线直线 两点一线一面两点一线一面 常用方法：反证法常用方法：反证法 2异面直线所成的角异面直线所成的角作业：作业：课本第课本第30页练习页练习4，5和第和第31页习题页习题12（1）第）第10，11，14
