《最新定积分的概念与性质55230PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新定积分的概念与性质55230PPT课件（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定积分的概念与性质定积分的概念与性质5523055230前页前页结束结束后页后页5.1.1 5.1.1 引入定积分概念的实例引入定积分概念的实例引例引例1 1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积: :如图如图, ,由连续曲线由连续曲线y=f(x)，直，直线线x=a，x=b及及x轴围成的图形称为曲边梯形轴围成的图形称为曲边梯形. .下面我们求曲边梯形的面积下面我们求曲边梯形的面积(1)(1)分割分割在在(a,b)内插入内插入n1个分点个分点 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间记每一个小区间记每一个小区间 的长度为的长度为abx5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后
2、页前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：以用定积分概念来描述： 曲线曲线 、x轴及两条直线轴及两条直线x=a,x=b所所围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积A等于函数等于函数f(x)在区间在区间a,b上的定上的定积积分，即分，即前页前页结束结束后页后页 如果函数如果函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分存在，上的定积分存在，则称函数则称函数f(x)在区间在区间a,b上可积上可积.
3、质点在变力质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置作用下作直线运动，由起始位置a移动到移动到b，变力对质点所做之功等于函数，变力对质点所做之功等于函数F(s)在在a,b上的定积分，即上的定积分，即 可以证明可以证明:若函数若函数f (x)在在在区间在区间 a,b 上连续上连续, ,或只有有或只有有 限个第一类间断点限个第一类间断点, ,则则f (x)在在在区间在区间 a,b 上可积上可积. .前页前页结束结束后页后页 关于定积分的概念，还应注意两点关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分定积分 是积分和式的极限，是一个数值，是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数定积分值
4、只与被积函数f(x)及积分区间及积分区间a,b有关，有关，而与积分变量的记法无关而与积分变量的记法无关.即有即有(2)在定积分在定积分 的定义中，总假设的定义中，总假设 ，为了，为了 今后的使用方便，对于今后的使用方便，对于 时作如下规定：时作如下规定：前页前页结束结束后页后页 如果在如果在a,b上上 ，此时，此时由曲线由曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴所围成的曲边梯形位于轴所围成的曲边梯形位于x轴的轴的下方，则定积分下方，则定积分 在几何在几何上表示上述曲边梯形的面积上表示上述曲边梯形的面积A的相反数的相反数.5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义：定积分的几何意义： 如
5、果在如果在a,b上上 ，则，则 在几何上在几何上表示由曲线表示由曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.axbaxb前页前页结束结束后页后页 如果在如果在a,b上上f(x)既可取正值又可取负值，则定既可取正值又可取负值，则定积分积分 在几何上表示介于曲线在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线，直线x=a，x=b及及x轴之间的各部分面积的代数和轴之间的各部分面积的代数和.x y= f (x)aboyA4A3A2A1前页前页结束结束后页后页性质性质1 1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数
6、和，即和，即 5.1.4 定积分的基本性质定积分的基本性质 设下面函数设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在在a,b上可积上可积.推论推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即分的代数和，即前页前页结束结束后页后页 如果积分区间如果积分区间a,b被分点被分点c分成区间分成区间a,c和和c,b, 则则性质性质3 性质性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分性质可以用于求分段函数的定积分. 当当c在区间在区间a,b 之外时，上面表达式也成立之外时，上面表达式
7、也成立.性质性质2 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外. .前页前页结束结束后页后页利用定积分的几何意义，可分别求出利用定积分的几何意义，可分别求出例例1解解前页前页结束结束后页后页性质性质4性质性质5推论推论1推论推论2前页前页结束结束后页后页性质性质6 (估值定理估值定理)证明证明前页前页结束结束后页后页例例2解解前页前页结束结束后页后页性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理) ) 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上上连续，则在积分区间连续，则在积分区间 a,b 上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使下，使下式成立式成立证明证明 因
8、为函数因为函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在在a,b上一定有最大值上一定有最大值M和最小值和最小值m，由定积分的性，由定积分的性质质6，有，有 前页前页结束结束后页后页即数值即数值 介于介于f(x)在在a,b上的最大值上的最大值M和和最小值最小值m之间之间.根据闭区间上连续函数的介值定理根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存至少存在一点在一点 ,使得使得即即性质性质7的几何意义：的几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使使得曲边梯形的面积等于同一底得曲边梯形的面积等于同一底边
9、而高为边而高为 的矩形的面积的矩形的面积.前页前页结束结束后页后页 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，我们称上连续，我们称 为函数为函数f(x)在在a,b上的平均值上的平均值. 如已知某地某时自如已知某地某时自0至至24时天气温度曲线为时天气温度曲线为f(t), t为时间，则为时间，则 表示该地、该日的平均气温表示该地、该日的平均气温. 如已知某河流在某处截面上各点的水深为如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x), (a为河流在该截面处水面之宽度为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流，则该河流 在该截面处的平均水深为在该截面处的平均水深为 .前页前页结束结束后页后页5.
10、2.1 变上限积分与对积分上限变量求导数变上限积分与对积分上限变量求导数 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，则对于任意的上连续，则对于任意的x( )，积分，积分 存在，且对于给定的存在，且对于给定的x( ) 就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限是上限x的函数的函数.注意：积分上限注意：积分上限x与被积表达式与被积表达式f(x)dx中的积分变量中的积分变量x是是两个不同的概念，在求积时两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中或说积分过程中)上限上限x是固是固定不变的，而积分变量定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间是在下限
11、与上限之间5.2 5.2 微分学基本定理微分学基本定理变化的，因此常记为变化的，因此常记为前页前页结束结束后页后页定理定理1证明证明前页前页结束结束后页后页由积分中值定理有由积分中值定理有结论：变上限积分所确定的函数结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限对积分上限x的导数等于被积函数的导数等于被积函数f(t)在积分上限在积分上限x处的值处的值f(x).前页前页结束结束后页后页由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通通过求原函数来计算定积分过求原函数来计
12、算定积分.可以证明可以证明 原函数存在定理原函数存在定理前页前页结束结束后页后页定理定理2 微积分学基本定理微积分学基本定理 5.2.2 微积分学基本定理微积分学基本定理证明证明前页前页结束结束后页后页 上式称为牛顿上式称为牛顿- -莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理. .前页前页结束结束后页后页 牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数函数 f(x)的一个原函数的
13、一个原函数F(x)，然后计算原函数在，然后计算原函数在区间区间a,b上的增量上的增量F(b)F(a)即可即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.前页前页结束结束后页后页例例1 求求 解解例例2 求求 解解前页前页结束结束后页后页例例3 3 求求 解解例例4 4 求求 解解前页前页结束结束后页后页例例5 5计算计算，其中解解例计算由曲线例计算由曲线 、直线、直线 x=2 与与x轴围成的图形轴围成的图形的面积的面积解由定积分的几何意义，得解由定积分的几何意义，得前页前页结束结束后页后页定理定理 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，若上连续，
14、若满足下列三个条件：满足下列三个条件：5.3.1 定积分的换元积分法定积分的换元积分法 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.(2)当当t在在与与之间变化时，之间变化时， 单调变化且单调变化且 连续，则连续，则5.3 5.3 定积分的积分方法定积分的积分方法前页前页结束结束后页后页注意：注意：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即应的变换，即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原
15、变量必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要求，但一定要求满足满足 ，即，即 对应于对应于 ， 对应于对应于 .前页前页结束结束后页后页例例1 求求解解方法二方法二注注: : 用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量以不引入中间变量前页前页结束结束后页后页例例2 2 计算计算解解= 注注 用第二类换元法计算定积分时，由于引用第二类换元法计算定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分限变量代换，相应地变换积分限 前
16、页前页结束结束后页后页例例3 求求解解前页前页结束结束后页后页例例4前页前页结束结束后页后页证明证明前页前页结束结束后页后页 例例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上上的积分性质，即偶函数在的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算间上的定积分的计算.前页前页结束结束后页后页例例5 5 求求解解前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束
17、后页后页例例6 证明证明证明证明前页前页结束结束后页后页5.3.2 分部积分法分部积分法前页前页结束结束后页后页例例7 求求解解前页前页结束结束后页后页例例8 求求解解前页前页结束结束后页后页例例 计算计算 解解前页前页结束结束后页后页例例9 求求解解前页前页结束结束后页后页5.4 无穷区间的广义积分无穷区间的广义积分前面所讨论的定积分，其积分区间都是有前面所讨论的定积分，其积分区间都是有限区间然而，在实际问题中，常常会遇限区间然而，在实际问题中，常常会遇到积分区间为无穷区间的积分到积分区间为无穷区间的积分 前页前页结束结束后页后页 函数函数f(x)在无穷区间在无穷区间 上的广上的广义积分，义积分， 记作记作 ， 即即定义定义这时也称广义积分这时也称广义积分 收敛；如果上述极限收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分不存在，则称广义积分 发散，发散，前页前页结束结束后页后页无穷区间无穷区间 上的广义积分定义上的广义积分定义为为 类似地，无穷区间 上的广义积分定义为上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.前页前页结束结束后页后页例例1 求求解解前页前页结束结束后页后页例例2 求求解解所以，广义积分所以，广义积分 收敛，且收敛，且前页前页结束结束后页后页例例3证明证明
