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1、3 3指数函数及其性质指数函数及其性质(1)(1) 蒙城八中蒙城八中 张顺强张顺强问题一问题一 一张纸对折次可得张，对折次可一张纸对折次可得张，对折次可得张请你写出得张请你写出一一张纸对折张纸对折后所后所得张数得张数y y与与折的次数折的次数x x的函数关系式若能将一张纸对折的函数关系式若能将一张纸对折3030次，次，你敢从上面跳下来吗？你敢从上面跳下来吗？引入引入引入引入问题2:庄子天下篇中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？问题问题问题问题截取次数木棰剩余1次2次3次4次x次研究研究研究研究问题：问题：我们在前面学习了分数指数幂我们在
2、前面学习了分数指数幂, ,请问大家刚才请问大家刚才两个函数能不能把定义域拓展到整个实数集两个函数能不能把定义域拓展到整个实数集R R？显然可以得到这样两个函数：显然可以得到这样两个函数：提炼提炼提炼提炼 我们把这种自变我们把这种自变量在指数位置上而底量在指数位置上而底数是一个大于数是一个大于0且不等且不等于于1的常量的函数叫做的常量的函数叫做指数函数指数函数.探究：为什么要规定探究：为什么要规定探究：为什么要规定探究：为什么要规定（1）若则当x 0时，当x0时,无意义. （2）若则对于x的某些数值，可使无意义. 在实数范围内函数值不存在.（3）若则对于任何是一个常量，研究价值不大 如，这时对于
3、等等，探讨探讨:若不满足上述条件若不满足上述条件会怎么样会怎么样?指数函数的特征：指数函数的特征：【提示提示】依据指数函数依据指数函数yax(a0且且a1)解析解析式的结构特征：式的结构特征：底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1的常数；的常数；指数：自变量指数：自变量x；系数：系数：1；只有一项只有一项ax .小结小结下列函数中，哪些是指数函数？下列函数中，哪些是指数函数？ 练习练习练习练习11底数：大于零且不等于底数：大于零且不等于1 1的常数；的常数；指数：自变量指数：自变量x；系数：系数：1. 1. 只有一项只有一项ax练习练习2.2.已知指数函数已知指数函数 的的图像经过点图像经
4、过点(2, 4)(2, 4)，求，求f(0), f(1), f(-3).f(0), f(1), f(-3).解解: : 因为因为 的图像经过点的图像经过点(2, 4),(2, 4),所以所以f(2)=4,f(2)=4,即即 , ,解得解得 a=2 ,a=2 ,于是于是f(x)= f(x)= ， 所以所以, f(0)=1, f(1)=2, f(-3)=, f(0)=1, f(1)=2, f(-3)=a a2 2=4=4练习练习3.函数函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数，求是指数函数，求 a的值的值. 解：由指数函数解：由指数函数 的定义有的定义有a2 - 3a + 3=
5、1a0 a 1 a = 2a =1或或a = 2a0a1解得解得你能画出它们的图像吗？你能画出它们的图像吗？动动手：动动手： 请同学们画一画下面两个函数的图像。请同学们画一画下面两个函数的图像。84213210-1-2-3x-3 -2 -1 0 1 2 3 x87654321yy = 2 x(3,8)(2,4)(1,2)( 0,1)(-1, )(-2, )(-3, )-3 -2 -1 0 1 2 3 x87654321yy = ( ) x3210-1-2-3x1248两个函数图像的相同点：两个函数图像的相同点：两个函数图像的不同点：两个函数图像的不同点：x43210-1-2-3-4123456
6、78y比较归纳指数函数的图像与性质指数函数的图像与性质a1a10a10a0x0时，时，y1;y1;当当x0x0时，时，0y10y0x0时，时，0y1;0y1;当当x0x1y1在在R R上是单调增函数上是单调增函数在在R R上是单调减函数上是单调减函数(1)(1)因为因为3 30.80.82.408 225,32.408 225,30.70.7 2.157 669 2.157 669，所以，所以 3 30.80.83 30.70.7（2 2）因为）因为0.750.75-0.1 -0.1 1.029 186,0.75 1.029 186,0.750.1 0.1 0.971 6420.971 642
7、 所以所以0.750.750.10.10.750.75-0.1-0.1科学计算器科学计算器 利用指数函利用指数函数的性质数的性质 比较下列各题中两个数的大小：比较下列各题中两个数的大小： (1) 1.7(1) 1.72.52.5与与1.71.73 3; ; (2) 0.8 (2) 0.8-0.1-0.1与与0.80.8-0.2-0.2; ; (3) 1.5 (3) 1.50.30.3与与0.80.81.21.2 【变式练习变式练习】方法总结：方法总结： 1 1、对、对同底数幂同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函
8、必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；数值；2 2、对、对不同底数幂不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比的大小的比较可以与中间值进行比较较. .当指数函数底数大于当指数函数底数大于1时，图象上升，时，图象上升，且且底数越大时图象向上越靠近于底数越大时图象向上越靠近于y轴轴；当；当底数大于底数大于0小于小于1时，图象下降，时，图象下降，底数越小底数越小图象向右越靠近于图象向右越靠近于x轴轴0cd1a0, a1)的图象的图象描点作出函数描点作出函数y=2x 的图象的图象1xO11y- -1- -4 - -3 - -22.指数函数的图象和性质练习：练习：1y=ax(a0且 a1)图象
9、必过 点_2 y=ax-2(a0且 a1)图象必 过点_3y=ax+3-1(a0且 a1)图象 必过点_(0,1)(2,1)(-3,0)xy0y=1y=ax(0,1)y0x y=ax 性质 0a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数 3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y0时, 0y1;当x1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图 象 (0,1)y=1求定点，先令指数为求定点，先令指数为0，再，再计算计算x,y的值的值1.指数函数的图象和性质例2.求下列函数的定义域、值域： 函数的定义域为x|x 0, 值域为y |y0 ,且y1.
10、解 (1)(2) 函数的定义域为 xy0y=1y=ax(0,1)y0x y=ax 性质 0a11.定义域为R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数 3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y0时, 0y1;当x1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图 象 (0,1)y=1完成课本完成课本P77题题2完成课本完成课本P77 B组题组题31.指数函数的图象和性质例2.求下列函数的定义域、值域： 函数的定义域为x|x 0, 值域为y |y0 ,且y1.解 (1)(2) 函数的定义域为 xy0y=1y=ax(0,1)y0x y=ax 性质 0a11.定义域为
11、R，值域为(0,+).2.过定点（0，1）即x=0时，y=13.在R上是增函数 3.在R上是减函数4.当x0时,y1;当x0时,0y0时, 0y1;当x1.5.既不是奇函数也不是偶函数.图 象 (0,1)y=1完成课本完成课本P58题题2、P59题题5 解答本题可以看成关于解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，的一个二次函数，故可故可 令令 t2x，利用换元法求值域，利用换元法求值域.解：解：函数定义域为函数定义域为R.令令2xt(t0)，则，则y4x2x11t22t1(t1)2.t0，t11，(t1)21，y1，值域为值域为y|y1题后感悟题后感悟如何求形如如何求形如yb(ax)2caxd
12、的值域的值域？换元，令换元，令tax；求求t的范围，的范围，tD；求二次函数求二次函数ybtctd，tD的值域的值域 问题：已知函数问题：已知函数 作出函数图像，求定义域、作出函数图像，求定义域、与与图像的关系。图像的关系。值域，并探讨值域，并探讨 解： 定义域：定义域：R 值域：值域： 作出图象如下作出图象如下:关系：保留保留 在在y轴右侧的图像轴右侧的图像,该部分翻折到该部分翻折到y轴的左侧轴的左侧,这个关于这个关于y轴轴对称的图形就是对称的图形就是的图像的图像 对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换变换方法作出：即把我们熟知的基本函数图
13、象，通过平移、作方法作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们遇到的有以下几种形式：这种方法我们遇到的有以下几种形式：a0时向左平移a个单位；a0时向上平移a个单位；a0时向下平移|a|个单位.y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.要利用复合函数的单调性来求解要利用复合函数的单调性来求解. .什么是复合函数？什么是复合函数？复合函数：复合函数：注意：若注意：若y=f(u)
14、定义域定义域为为A，u=g(x)值域值域为为B，则必须满足，则必须满足B A 如果如果y是是u的函数的函数,而而u又是又是x的函数的函数,即即y=f(u),u=g(x),那么那么y关于关于x的函数的函数y=fg(x)叫做函数叫做函数f和和g的的复合函数复合函数,u叫做中间变量叫做中间变量.复合函数的单调性复合函数的单调性规律：规律：当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数“同增异减同增异减”增函数增函数减函数减函数“异异”“同同” 指指内外函数内外函数单调性的异单调性的异同同的定义域均为R 例：求函数求函数 的单调性的单调性.解：设 ， f(u)和u(x)的定义域均为R因为，u(x)在 上递减，在 上递增.而 在R上是减函数,所以， 在 上是增函数,在 上是减函数.
