《中考数学第13讲二次函数的图象和性质复习课件1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学第13讲二次函数的图象和性质复习课件1（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、浙江专用 第13讲 二次函数的图象和性质 2bxc(其中a，b，c是常数，且a0) yax1定义：形如 的函数叫做二次函数 2利用配方，可以把二次函数 yax2bxc 表示 24acbb2 ya(x2a) 4a 成 3图象与性质 4.图象的平移 5抛物线yax2bxc与系数a，b，c的关系 1二次函数的三种解析式 (1)一般式 yax2bxc(a，b，c是常数，a0)； (2)交点式 ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)； (3)顶点式 ya(xh)2k(a，h，k 是常数，a0) 三种解析式之间的关系： 配方顶点式一般式因式分解 交点式 2抛物线的顶点常见的三种变动方式 (
2、1)两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a的符号相反； (2)两抛物线关于 y 轴对称，此时顶点关于 y 轴对称，a的符号不变； (3)开口反向(或旋转 180)，此时顶点坐标不变，只是 a的符号相反 3二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数yax2bxc的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函数yax2bxck的函数值看作0，求自变量x的值 4二次函数与二次不等式间的关系 “一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y0，y0或y0，y0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况 A 1(2
3、016 怀化)二次函数yx22x3的开口方向、顶点坐标分别是( ) A开口向上，顶点坐标为(1，4) B开口向下，顶点坐标为(1，4) C开口向上，顶点坐标为(1，4) D开口向下，顶点坐标为(1，4) 2(2016 衢州)二次函数yax2bxc(a0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下： 则该函数图象的对称轴是( ) B A直线x3 B直线x2 C直线x1 D直线x0 x y 3 3 2 2 1 3 0 6 1 11 D 3(2016宁波)已知函数yax22ax1(a是常数，a0)，下列结论正确的是( ) A当a1时，函数图象过点(1，1) B当a2时，函数图象与x轴没有交点 C若a
4、0，则当x1时，y随x的增大而减小 D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大 4(2016舟山)二次函数 y(x1)25，当 mxn 且 mn0时，y 的D最小值为 2m，最大值为 2n，则 mn 的值为( ) 531A.2 B2 C.2 D.2 5(2016舟山)把抛物线 yx2先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单23 y(x2)位，平移后抛物线的表达式是 【例1】 (2016齐齐哈尔)如图，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，其部分图象如图所示，下列结论： 4ac b2； 方程ax2bxc0的两个根是x11，x23； 3ac0； 当y0
5、时，x的取值范围是1x3； 当x0时，y随x增大而增大 其中结论正确的个数是( ) B A4个 B3个 C2个 D1个 (2)(2016宁波)如图，已知抛物线yx2mx3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0) 求m的值及抛物线的顶点坐标； 点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PAPC的值最小时，求点P的坐标 解：把点 B 的坐标(3，0)代入抛物线 yx mx3， 222得 03 3m3，解得 m2，yx 2x3(x1) 4， 顶点坐标为(1，4)； 连结 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PAPC的值最小， 设直线 BC 的解析式为 ykxb，点 C(0，3)
6、，点 B(3，0)， ?03kb，?k1，?解得?直线 BC 的解析式为 yx3， ?3b，?b3，当 x1 时，y132，当 PAPC的值最小时， 点 P的坐标为(1，2) 2【点评】 (1) 对于二次函数yax2bxc(a0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号(即ab0)时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号(即ab0)时，对称轴在y轴右侧(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由b24ac 决定：b24ac 0时，
7、抛物线与x轴有两个交点；b24ac 0时，抛物线与x轴有一个交点；b24ac 0时，抛物线与x轴没有交点(2) 此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题注意找到点P的位置是解答此题的关键 对应训练 1(1)(2016孝感)如图是抛物线yax2bxc(a0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间则下列结论： abc0； 3ab0； b24a(c n)； 一元二次方程ax2bxcn1有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是( ) C A1 B2 C3 D4 5(2) (2016大连)如图，抛物线 yx 3x4与 x 轴相交于 A，
8、B 两点，与y 轴相交于点 C， 点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点， 过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E. 求直线 BC 的解析式； 当线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标 25解：抛物线 yx 3x4与 x 轴相交于 A，B 两点， 15与 y 轴相交于点 C，令 y0，可得 x2或 x2， 1555A(2，0)，B(2，0)；令 x0，则 y4，C 点坐标为(0，4)， ?5kb0，?k1，?2?2设直线 BC 的解析式为 ykxb，则有?解得? 55?b4，b4，?15直线 BC 的解析式为 y2x4； 25设点 D 的横坐标为 m，则坐标为(m，m 3
9、m4)， 15E点的坐标为 (m，2m4)，设 DE 的长度为 d， 1552点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点 ，则 d2m4(m 3m4)，525b52整理得，dm 2m，a10，当 m4时，2a2（1）254acb20425515d最大4a16，D 点的坐标为(4，16) 42【例2】 (1)(2016淄博)如图，抛物线yax22ax1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点 (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线AB对应的函数解析式 解：(1)抛物线 yax22ax1 与 x 轴仅有一个公共点 A， b24ac4a24
10、a0，解得 a10(舍去)，a21， 2抛物线解析式为 yx 2x1； 2(2)y(x1) ，顶点 A 的坐标为(1，0)， 点 C 是线段 AB 的中点，即点 A 与点 B 关于 C 点对称， B 点的横坐标为 1，当 x1 时，yx22x11214， 则 B(1，4)，设直线 AB 的解析式为 ykxb， ?kb0，?k2，把 A(1，0)，B(1，4)代入得?解得? ?kb4，?b2，直线 AB 的解析式为 y2x2 【点评】 根据不同条件，选择不同设法 (1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式yax2bxc(a 0)，将已知条件代入，列方程组，求出a，b，c的值； (2)
11、若已知图象的顶点坐标或对称轴，函数最值，则设所求二次函数为顶点式ya(xm)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数； (3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，再将另一条件代入，可求出a值 对应训练 2(1)设抛物线 yax2bxc(a0)过 A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点 C 在直线 x2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1， 121123 y8x 4x2 或 y8x 4x2 则抛物线的函数解析式为 点拨：点 C 在直线 x2 上，且到抛物线的对称轴的距离等于 1， 抛物线的对称轴为直线 x1 或 x3，当对称轴为
12、直线 x1 时， ?a1，?ak2，8?12设抛物线解析式为 ya(x1) k，则?解得?所以 y815?9ak3，?k8，?151212(x1) 88x 4x2，当对称轴为直线 x3 时，设抛物线解析式为 ya(x?a1，?9ak2，8?125123223) k，则?解得?所以 y8(x3) 88x 4x25?ak3，?k8，?1211232，综上所述，抛物线的函数解析式为 y8x 4x2 或 y8x 4x2. (2)(2016无锡)已知二次函数 yax 2axc(a0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP与过点 B 且垂直
13、于 x 轴的直线交于点 D，且 CPPD23. 求 A，B 两点的坐标； 5若 tanPDB4，求这个二次函数的关系式 2解：过点 P作 PEx 轴于点 E，yax 2axc，该二次函数的对称轴为 x1， OE1， OCBD， CPPDOEEB， OEEB23，355EB2，OBOEEB2，B(2，0)，A 与 B 关于直线 x1 对称，1A(2，0)； 过点 C 作 CFBD 于点 F，交 PE于点 G，令 x1，代入 yax22axc，yca，令 x0，代入 yax22axc，yc，PGa，CF5CFOB2，tanPDBDF，DF2，PGBD，CPG CDF，PGCP244428142DF
14、CD5，PG5，a5，y5x 5xc，把 A(2，0)代入 y5x84285xc，解得 c1，该二次函数解析式为 y5x 5x1. 2【例3】 (2016贺州)如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线yax2bxc经过O，A，E三点 (1)求此抛物线的解析式； (2)求AD的长； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标 ?E，O 三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得?36a6bc8， ?c0，1?a3，?121010解得?b，抛物线的解析式为 y3x 3x；
15、 ?3?c0，解：(1)四边形 ABCD 是矩形，B(10，8)，A(10，0)，又抛物线经过 A，?100a 10bc0， (2)由题意可知：ADDE，BE1064，AB8，设 ADx，则 EDx，BDABAD8x，在 RtBDE 中，由勾股定理可知 ED2EB2BD2，即 x242(8x)2，解得 x5，AD5； 1210(3)y3x 3x，其对称轴为 x5，A，O 两点关于对称轴对称 ，PAPO，当 P，O，D 三点在一条直线上时，PAPDPOPDOD，此时PAD 的周长最小，如图，连结 OD 交对称轴于点 P，则该点即为满足条件的点 P，由(2)可知 D 点的坐标为(10，5)，设直线
16、 OD 解析式为 ykx，把 D 点11坐标代入可得 510k，解得 k2，直线 OD 解析式为 y2x，令 x5，可55得 y2，P点坐标为(5，2) 对应训练 3(2016新疆)如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4) (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式； (3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形 解：(1)设抛物线的解析式为 yax2bxc，将 A，B 点的坐标代入函数解析式及
17、对称轴方程 ，得 2?b7?a3，? ，?2a2?36a6bc0，解得?b14， ?3?c4，?c4，2214抛物线的解析式为 y3x 3x4，配方， 27225725得 y3(x2) 6，顶点坐标为(2，6)； 22141(2)设 E 点坐标为(x，3x 3x4)，S22OAyE 22146(3x 3x4)，即 S4x228x24(1x6)； (3)平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，平行四边形 OEAF 可能为菱形，理由如下：当平行四边形 OEAF 的面积为 24，即4x228x2424时，化简，得 x27x120，x13，x24，OA6，当 x4 时，E(4，4)，OEEA，平行四
18、边形 OEAF 不能为菱形当 x3 时，E(3，4)，此时平行四边形 OEAF 为菱形 试题 5255(1)用配方法求二次函数 y12x 3x4图象的顶点坐标及对称轴； (2)已知函数 y3x24x1，当 0x4 时，求 y 的变化范围 错解 5255525(1)解：y12x 3x412(x 4x3)12(x2)21， 该函数图象的顶点坐标是 (2，1)，对称轴是直线 x2； 22(2)解：当 x0 时，y3x 4x130 4011；当 x4 时， 2y34 44133.当 0x4 时，y 的变化范围是 1y33. 剖析 (1)配方法是重要的数学方法 ，必须熟练掌握二次函数 yax2bxc 可
19、2配方写成 ya(xm) k，后者图象的顶点坐标是 (m，k)，对称轴是直线xm，须牢记 2(2)求二次函数值的范围 ，理解二次函数 yax bxc 有最大值或最小值的条件，当 a0 时，函数图象开口向上 ， 24acbb当 x2a时，函数有最小值 y4a； 24acbb当 a0 时， 函数图象开口向下 ， 当 x2a时， 函数有最大值 y4a.当涉及到实际问题时 ，一定要符合实际问题的意义和条件要求 正解 52555252(1)解：y12x 3x412(x 4x3)12(x2) 1 5552(x2) ，该函数图象的顶点坐标是 (2，)， 121212对称轴是直线 x2 b2(2)解：y3x 4x1，抛物线的对称轴是直线 x2a3， 21当 x3，y最小值3.当 x0 时，y1；当 x4 时，y33. 2121于是当 0x3时，3y1，当3x4 时，3y33， 1综上，当 0x4 时，3y33 2
