力学第七章 刚体力学

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1、第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速Mechanics力 学1第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速2Chap.7MechanicsofRigidBodies刚体力学刚体力学第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速3刚体是不可形变的物体刚体是不可形变的物体(或物体内任意两点间的间距不变或物体内任意两点间的间距不变)。质点系的理想模型质点系的理想模型刚体可以看作是大量的质点刚体可以看作是大量的质点(质元质元)构成，构成，每个质元具有各自的速度和加速度。每个质元具有各自的速度和加速度。第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速47.1刚体运动的描述刚体运动的描述i.刚体

2、的平动刚体的平动1.定义定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的 位置都保持平行。位置都保持平行。位置都保持平行。位置都保持平行。2.2.性质性质性质性质： 每个质点具有相同速度和加速度。每个质点具有相同速度和加速度。每个质点具有相同速度和加速度。每个质点具有相同速度和加速度。 每个质点具有相同轨迹每个质点具有相同轨迹。第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速5ii.刚体绕固定轴的转动刚体绕固定轴的转动1.1.定义定义定义定义：每个质点做圆周运动，圆心在固定

3、转轴上。每个质点做圆周运动，圆心在固定转轴上。2.2.性质性质性质性质：刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体中始终保持不动的直线就是转轴。刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直，刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直，刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直，刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直，圆心在轴上。圆心在轴上。圆心在轴上。圆心在轴上。 和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。和转轴相平行的线上各质元的

4、运动情况完全一样。 主要问题主要问题: “忘掉不重要的忘掉不重要的or非本质的非本质的” 某一时刻描述刚体的状态量需要几个某一时刻描述刚体的状态量需要几个?第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速6角坐标：角坐标：如图示：建立如图示：建立如图示：建立如图示：建立O O- -xyzxyz系，系，系，系，z z轴轴轴轴与转轴重合，与转轴重合，与转轴重合，与转轴重合，O O点任意选取点任意选取点任意选取点任意选取除除除除O O点外，再选一个点外，再选一个点外，再选一个点外，再选一个A A点，此图形的点，此图形的点，此图形的点，此图形的位置可由矢量来确定，而位置可由矢量来确定，而位置可由矢量来确

5、定，而位置可由矢量来确定，而 矢量的大矢量的大矢量的大矢量的大小是不变的，方向只需由小是不变的，方向只需由小是不变的，方向只需由小是不变的，方向只需由 矢量与矢量与矢量与矢量与x x轴轴轴轴的夹角的夹角的夹角的夹角 来确定，来确定，来确定，来确定，此此此此 角称为：绕定轴转动刚体的角称为：绕定轴转动刚体的角称为：绕定轴转动刚体的角称为：绕定轴转动刚体的角坐标角坐标角坐标角坐标 。 角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和和和和z z轴成右手螺旋时，轴成右手螺旋时，轴成右手螺旋时，轴成右手螺

6、旋时， 角为正，否则角为正，否则角为正，否则角为正，否则 角为负。角为负。角为负。角为负。3.3.定轴转动的描述定轴转动的描述定轴转动的描述定轴转动的描述第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速7 运动学方程：运动学方程：运动学方程：运动学方程：， 即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。即：角坐标随时间的变化规律。描述刚体整体运动的物理量描述刚体整体运动的物理量描述刚体整体运动的物理量描述刚体整体运动的物理量角量角量角量角量，包括：包括：包括：包括：角位移，角速度，角加速度角位移，角速度，角加速度角位移，角速度，角加速度角位移，角速度，角加速

7、度。 角位移角位移角位移角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量 。任意质元的角位移是相同的任意质元的角位移是相同的任意质元的角位移是相同的任意质元的角位移是相同的是一整体运动的量。是一整体运动的量。是一整体运动的量。是一整体运动的量。面对面对面对面对z z 轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动，轴观察：逆时针转动，；反之，；反之，；反之，；反之， 。第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速8即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数

8、。即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。 面对面对面对面对z z轴观察逆时针转动时：轴观察逆时针转动时：轴观察逆时针转动时：轴观察逆时针转动时： ；反之，；反之，；反之，；反之， 。角速度角速度角速度角速度 ：在这一过程中，：在这一过程中，：在这一过程中，：在这一过程中，第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速9角加速度角加速度角加速度角加速度： 即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。加速转动，加速转动，加速转动，加速转动，与与与

9、与 同号；，反之，同号；，反之，同号；，反之，同号；，反之， 。第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速10线量线量线量线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移，线速度，线加速度。线位移，线速度，线加速度。线位移，线速度，线加速度。线位移，线速度，线加速度。 y yxOOA A r r线位移：线位移：线位移：线位移： 线速度：线速度：线速度：线速度： 线加速度：线加速度：线加速度：线加速度：Note: ds的物理意义的物理意义第七章第七章 刚体力学刚体力学注

10、意语速注意语速11由定轴转动刚体角量和线量关系可知：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：角量：角量：描描述述刚刚体体整整体体运运动动的的物物理理量量；角角量量充充分分描描述述了了刚刚体体的的定定轴轴转动状态转动状态线量线量:：描描述述刚刚体体任任一一质质元元运运动动的的物理量，由角量可得线量物理量，由角量可得线量物理量物理量单位单位量纲量纲物理量物理量单位单位量纲量纲角位移角位移rad1线位移线位移mM角速度角速度rad/sT-1线速度线速度m/sMT-1角加速度角加速度rad/s2T-2线加速度线加速度m/s2MT-2第七章第

11、七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速12求导求导积分积分求导求导积分积分(t)(t)(t)求导求导积分积分求导求导积分积分a(t)v(t)x(t)初始条件初始条件:t=0时时,=0 =0初始条件初始条件:t=0时时,x=x0,v=v0匀变速转动匀变速转动(=C)和匀变速直线运动和匀变速直线运动(a=C)相对应：相对应：速度公式速度公式位移公式位移公式速度位移关系速度位移关系第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速13iii.角速度角速度方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，方向规定

12、右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大拇指的指向就是大拇指的指向就是大拇指的指向就是大拇指的指向就是 的方向，沿转轴，如图示：的方向，沿转轴，如图示：的方向，沿转轴，如图示：的方向，沿转轴，如图示： 必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则：必须满足平行四边形法则： (1)(1)定义定义定义定义(2)(2)角加速度角加速度角加速度角加速度第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速14iv.刚体的平面运动刚体的平面运动(1)(1)定义定义定义定义刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定刚体上各点均在平面内运动，

13、且这些平面与一固定刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。平面平行。平面平行。平面平行。(2)(2)性质性质性质性质刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。相同的运动状况。相同的运动状况。相同的运动状况。 第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速15通常选择此平面内刚体上某点通常选择此平面内刚体上某点通常选择此平面内刚体上某点通常选择此平面内刚体上某点 BB的的的的位置坐标和绕过该点轴位置坐标和绕过该点轴位置坐标和绕过该点轴

14、位置坐标和绕过该点轴旋转的角度旋转的角度旋转的角度旋转的角度 来描述刚体的位置来描述刚体的位置来描述刚体的位置来描述刚体的位置 A A。 或或或或(3)(3)平面运动的描述平面运动的描述平面运动的描述平面运动的描述刚体的状态量刚体的状态量 vs. 质点质点不同体系的区别？不同体系的区别？第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速16B B点是任意选取的，称作点是任意选取的，称作点是任意选取的，称作点是任意选取的，称作基点基点基点基点。即：即：即：即： 反映任意选定基点的运动，反映任意选定基点的运动，反映任意选定基点的运动，反映任意选定基点的运动， 反映刚体绕过基点轴的转动。反映刚体绕过基点

15、轴的转动。反映刚体绕过基点轴的转动。反映刚体绕过基点轴的转动。 因此：因此：因此：因此：平面运动平面运动平面运动平面运动可分解为随基点的可分解为随基点的可分解为随基点的可分解为随基点的平动平动平动平动和绕过基点轴的和绕过基点轴的和绕过基点轴的和绕过基点轴的转动转动转动转动。 第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速17 平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度平面运动刚体上任一点的速度 如图：以如图：以如图：以如图：以B B点为基点，建立如图示的坐标系点为基点，建立如图示的坐标系点为基点，建立如图示的坐标系点为基点，建立如图示的坐标系则：则：则：则：

16、因此，因此，因此，因此，而而而而A A点相对于基点点相对于基点点相对于基点点相对于基点B B的速度矢量：的速度矢量：的速度矢量：的速度矢量： （ 为为为为刚体绕过基点轴的角速度刚体绕过基点轴的角速度刚体绕过基点轴的角速度刚体绕过基点轴的角速度） 即：平面运动刚体上任一点的速度即：平面运动刚体上任一点的速度即：平面运动刚体上任一点的速度即：平面运动刚体上任一点的速度 AA等于随基点等于随基点等于随基点等于随基点B B的平的平的平的平动速度动速度动速度动速度 与绕过基点与绕过基点与绕过基点与绕过基点B B轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。轴转动的速度的矢量和。回忆转

17、动和非转动坐标回忆转动和非转动坐标系间的坐标变换关系系间的坐标变换关系第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速18此即为此即为此即为此即为纯滚动的条件。纯滚动的条件。纯滚动的条件。纯滚动的条件。CABDE例题：如图所示，半径为例题：如图所示，半径为r r的圆柱体做无滑滚动，画出的圆柱体做无滑滚动，画出A A、B B、D D点的速度矢量图，并讨论圆柱体只滚不滑的条件点的速度矢量图，并讨论圆柱体只滚不滑的条件解：选圆柱的几何中心解：选圆柱的几何中心C为基点，为基点，则圆柱边缘上任一点的速度：则圆柱边缘上任一点的速度：考虑与地面接触点考虑与地面接触点E的速度：的速度：如果圆柱体只滚不滑，应满足

18、：如果圆柱体只滚不滑，应满足：两边对时间求导：两边对时间求导：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速197.2刚体的动量刚体的动量质心运动定理质心运动定理i.刚体的质心刚体的质心刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样质量分立分布质量分立分布：质量连续分布：质量连续分布： 第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速20ii.计算质心的方法计算质心的方法对称法：对称法：根据刚体质心的定义式可知，刚体的质心必定根据刚体质心的定义

19、式可知，刚体的质心必定在刚体的对称中心、对称轴、对称平面上在刚体的对称中心、对称轴、对称平面上分割法：分割法：根据刚体的形状，把刚体分成几部分，转化成根据刚体的形状，把刚体分成几部分，转化成求几个质点的质心求几个质点的质心积分法：积分法：选取合适的质元、坐标，通过做积分求出质心选取合适的质元、坐标，通过做积分求出质心第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速21例例例例1 1：求半径为：求半径为：求半径为：求半径为a a的均质半圆球的质心。的均质半圆球的质心。的均质半圆球的质心。的均质半圆球的质心。 解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对

20、称轴，对称解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系中心等上。如图建立坐标系中心等上。如图建立坐标系中心等上。如图建立坐标系o-xyzo-xyz，则，则，则，则C C在在在在z z轴上，取质量元为轴上，取质量元为轴上，取质量元为轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为如图示的薄圆板，厚度为如图示的薄圆板，厚度为如图示的薄圆板，厚度为dzdz，由于，由于，由于，由于 则：则：则：则： 多重积分不用怕，一重一重来多重积分不用怕，一重一重来 vs.多次求导多次求导第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速22例例例例

21、2 2：如图所示，在半径为：如图所示，在半径为：如图所示，在半径为：如图所示，在半径为R R的匀质圆板上钻一个半径为的匀质圆板上钻一个半径为的匀质圆板上钻一个半径为的匀质圆板上钻一个半径为R/2R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心的圆孔，求钻孔圆板的质心的圆孔，求钻孔圆板的质心的圆孔，求钻孔圆板的质心. .解：补上被钻掉的小圆板解：补上被钻掉的小圆板, ,整个大圆板整个大圆板 可看作由小圆板可看作由小圆板mA和月牙板和月牙板mB组成。组成。据质心计算公式：据质心计算公式：AB omBmAx由对称性分析可知：由对称性分析可知：大圆板的质心在大圆板的质心在o点，小圆板的质心在点，小圆板的质心在A A点，

22、点，要求的月牙板的质心在要求的月牙板的质心在 x 轴上的某一点，设为轴上的某一点，设为B B第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速23刚体的动量守恒定律刚体的动量守恒定律若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量保持不变。若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量保持不变。质点系的有关概念和规律都适用于刚体质点系的有关概念和规律都适用于刚体刚体的动量：刚体的动量：刚体的质心运动定理：刚体的质心运动定理：iii. 刚体的动量刚体的动量质心运动定理质心运动定理 = = = =恒矢量恒矢量恒矢量恒矢量如果基点选为质心时如果基点选为质心时刚体的运动方程刚体的运动方程 部分部分第七章第七章 刚体力学刚体

23、力学注意语速注意语速24例例3:求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量m=5.0kg，半径，半径r=0.15m，转速，转速n=400r/min，质心，质心C距转轴距转轴O距离距离d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计，飞轮所受重力忽略不计COd解解:以飞轮为研究对象，设轴对其压力为以飞轮为研究对象，设轴对其压力为据质心运动定理：据质心运动定理：据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力：转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上害振动或使轴承变

24、形，因此要尽量使质心位于转轴上第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速257.3刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量转动惯量转动惯量i. i. 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量z zOO大小大小大小大小: :若若若若 方向方向方向方向: :沿沿沿沿 z z轴正方向轴正方向轴正方向轴正方向(a)r: 到轴的距离到轴的距离第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速26z zOO(b)(b)不沿不沿不沿不沿 z z轴方向轴方向轴方向轴方向讨论：刚体定轴转动时，角动量矢量讨论：刚体定轴转动时，角动量矢量讨论：刚体定轴转动时，角动量矢量讨论：刚体定轴转动时，角动

25、量矢量与与与与 角速度方向不一定相同。角速度方向不一定相同。角速度方向不一定相同。角速度方向不一定相同。根据数学定义举简单例子来判断根据数学定义举简单例子来判断, 而不是靠单纯想象而不是靠单纯想象第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速27第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速28ii.ii. 刚体对一定转轴的转动惯量刚体对一定转轴的转动惯量 1 1、转动惯量定义：、转动惯量定义：、转动惯量定义：、转动惯量定义： 说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关说明：转动惯量与刚体的质量分布

26、和转轴的位置有关。 其中：其中：其中：其中： 表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。表示质点对转轴的距离。2 2、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：、转动惯量的计算：质量不连续分布情况：质量不连续分布情况：质量不连续分布情况：质量不连续分布情况： 质量连续分布的情况：质量连续分布的情况：质量连续分布的情况：质量连续分布的情况： 取定坐标系后的内部属性取定坐标系后的内部属性why 转动惯量转动惯量?.最终目标最终目标:运动方程运动方程第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速29例：证明空心圆盘对过质心与端面垂直的轴的转动惯量：例：证明空心圆盘对

27、过质心与端面垂直的轴的转动惯量：rR2R1dr证明：在坐标证明：在坐标r处取宽度为处取宽度为dr的细圆环，的细圆环，转动惯量为：转动惯量为：令令，即得细圆环的转动惯量：，即得细圆环的转动惯量：令令，即得圆盘的转动惯量：，即得圆盘的转动惯量：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速30例：证明球体对任意直径的转动惯量为：例：证明球体对任意直径的转动惯量为：证明：如图所示，在坐标证明：如图所示，在坐标z处取高为处取高为dz的小圆柱作为质元，的小圆柱作为质元，dzzRro第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速31几几种种常常见见刚刚体体的的转转动动惯惯量量第七章第七章 刚体力学刚体力学

28、注意语速注意语速323 3、平行轴定理、平行轴定理、平行轴定理、平行轴定理 若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为若两轴平行，距离为d d ，其中一轴过，其中一轴过，其中一轴过，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为质心，刚体对它的转动惯量为质心，刚体对它的转动惯量为质心，刚体对它的转动惯量为 I Ic c, ,则刚体则刚体则刚体则刚体对一轴转动惯量为：对一轴转动惯量为：对一轴转动惯量为：对一轴转动惯量为： ycxcyiyyiyxixixxmidCO证明：如右图示，刚体的二轴分别为证明：如右图示，刚体的二轴分别为证明：如右图示，刚体的二轴分别为证明：如右图示，刚体的二轴分别为z

29、z和和和和 zz轴，轴，轴，轴， 由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。动惯量最小。动惯量最小。动惯量最小。第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速334 4、垂直轴定理、垂直轴定理、垂直轴定理、垂直轴定理（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度 ） 即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯即：无穷小厚度的

30、薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯 量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。 证明：如图所示，有：证明：如图所示，有：证明：如图所示，有：证明：如图所示，有： 因此，因此，因此，因此，注意：本定理对有限厚度板不成立注意：本定理对有限厚度板不成立注意：本定理对有限厚度板不成立注意：本定理对有限厚度板不成立。 第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速

31、注意语速34iii、刚体定轴转动的角动量定理、刚体定轴转动的角动量定理转动定理转动定理刚体对刚体对刚体对刚体对转轴（假定为转轴（假定为转轴（假定为转轴（假定为z z轴）轴）轴）轴）的角动量：的角动量：的角动量：的角动量：应用质点系对应用质点系对应用质点系对应用质点系对 z z轴的角动量定理，可得轴的角动量定理，可得轴的角动量定理，可得轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的角动量定理：角动量定理：角动量定理：角动量定理：其中其中其中其中 为外力对为外力对为外力对为外力对 z z 轴的力矩；轴的力矩；轴的力矩；轴的力矩； 为刚体的角加速度为刚体的角加速度为刚体

32、的角加速度为刚体的角加速度在在在在 z z 轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。轴上的投影，可正可负。 刚体平面转动刚体平面转动:3个自由度要求个自由度要求 3个独立运动方程个独立运动方程, now x,y,theta第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速35注意注意:定轴转动中轴方向没变定轴转动中轴方向没变,非定轴转动的运动方程非定轴转动的运动方程?.还是平面运动么还是平面运动么?.第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速36刚体转动定律刚体转动定律:作用于刚体上的外力对转轴的力矩之和，等于刚作用于刚体上的外力对转轴的力矩之和，等于刚体对转轴的转动

33、惯量与角加速度的乘积体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积若若若若 为恒量为恒量为恒量为恒量若作用于刚体的外力对某轴的力矩为零，则刚体对该若作用于刚体的外力对某轴的力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体转动定律刚体转动定律质心运动定理质心运动定理m 是物体平动时惯性大小的量度是物体平动时惯性大小的量度，I 是物体转动时惯性大小的量度，因此称为转动惯量是物体转动时惯性大小的量度，因此称为转动惯量讨讨 论论第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速37例：图示为放水用的弧形闸门，半径为例：图示为放水用的弧形闸门，半径为R，质

34、量为，质量为m，重心重心C距转轴距转轴o的距离为的距离为，对，对o轴的转动惯量为轴的转动惯量为,开始提升闸门时开始提升闸门时,弧形部分加速度弧形部分加速度，求此时的拉力求此时的拉力T和支撑力和支撑力N（不计摩擦）（不计摩擦）yNo(z)mgCxTa第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速38解：研究对象：弧形闸门和钢架解：研究对象：弧形闸门和钢架由转动定理：由转动定理：由质心运动定理：由质心运动定理：yNo(z)mgCxTa建立坐标系：建立坐标系：z轴垂直纸面指向读者轴垂直纸面指向读者刚启动瞬间，闸门质心速度刚启动瞬间，闸门质心速度为零，向心加速度为零为零，向心加速度为零得到得到基点选基

35、点选初始状态初始状态: 位置位置+角速度角速度etc第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速39第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速40例、杂技演员例、杂技演员M、N的质量均为的质量均为m。均匀细跷板长。均匀细跷板长l，质量为质量为m,支撑于中点支撑于中点o,若若M从高从高h自由下落与板作完自由下落与板作完全非弹性碰撞，求全非弹性碰撞，求N可弹的高度。可弹的高度。解：取演员解：取演员M、N 和跷板为系统，以通过和跷板为系统，以通过 o点轴为转轴，演员点轴为转轴，演员M与跷板碰撞的过程，与跷板碰撞的过程，系统角动量守恒系统角动量守恒（为什么？）（为什么？）第七章第七章 刚体力学刚

36、体力学注意语速注意语速41碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后式中式中 为碰撞后演员和跷板为碰撞后演员和跷板c的角速度，的角速度，u 为碰撞后演员为碰撞后演员M、N 的线速度，的线速度，由角动量守恒由角动量守恒解得解得所以演员达到高度所以演员达到高度碰撞后初始速度碰撞后初始速度 离开跷板离开跷板?第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速42i、力矩的功力矩的功下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下情况下,对刚体所做的功。对刚体所做的功。 分解为：分解为：分解为：分解为： 7.4刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 力矩的功力矩的功力矩的功力

37、矩的功:刚体定轴转动，力所做的功等于该力对转轴的刚体定轴转动，力所做的功等于该力对转轴的刚体定轴转动，力所做的功等于该力对转轴的刚体定轴转动，力所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。力矩对角坐标的积分。力矩对角坐标的积分。力矩对角坐标的积分。对对 z 轴的力矩轴的力矩xoy第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速43由质点系动能定理知：由质点系动能定理知：由质点系动能定理知：由质点系动能定理知： ii.刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体： 而而而而因此，因此，因此，因此，刚体绕定轴转动时，转动动

38、能的增量等于刚体所受外力矩做刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和功的代数和功的代数和功的代数和刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理注意：注意：注意：注意：刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。运动，都成立。运动，都成立。运动，都成立。无形变无形变内部势能没变化内部势能没变化第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语

39、速44iii. 刚体的重力势能刚体的重力势能 刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之和：各质元重力势能之和：各质元重力势能之和：各质元重力势能之和： 由上式知：由上式知：由上式知：由上式知：刚体重力势能决定于刚体重心距势能零点的刚体重力势能决定于刚体重心距势能零点的刚体重力势能决定于刚体重心距势能零点的刚体重力势能决定于刚体重心距势能零点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关高度，与刚体

40、的方位无关，与刚体运动形式无关高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关。xyoCyC第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速45例：如图所示，滑轮为匀质圆柱，质量为例：如图所示，滑轮为匀质圆柱，质量为m1，半径为，半径为R;质量为质量为m2的重物由静止下落的重物由静止下落 h，求重物下落，求重物下落h 后的速度后的速度m1,Rm2haTTm2gR解法解法1：隔离滑轮和重物，受力、运动情况如图：隔离滑轮和重物，受力、运动情况如图,=a/R.据转动定理：据转动定理：据牛二定律：据牛二定律：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速46+，可求得，可求得设重物落下设重物落下h后的速度为后

41、的速度为v解法解法2：把滑轮、重物视为一个系统，滑轮角速度：把滑轮、重物视为一个系统，滑轮角速度=v/R在下落过程中只有重力做功，由质点系动能定理：在下落过程中只有重力做功，由质点系动能定理：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速47例：长为例：长为L、质量为、质量为m的匀质细杆从水平位置开始释放，的匀质细杆从水平位置开始释放，求杆到铅直位置时端点的速度及杆对光滑支点的作用力求杆到铅直位置时端点的速度及杆对光滑支点的作用力 NoCaCvm,Lmg解：设在铅直位置时端点的速度为解：设在铅直位置时端点的速度为v杆的角速度杆的角速度=v/L，由平行轴定理由平行轴定理可求得杆的转动惯量：可求得

42、杆的转动惯量：由机械能守恒：由机械能守恒：的方向向左的方向向左第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速48在铅直位置，外力矩为零，因而角加速度为零在铅直位置，外力矩为零，因而角加速度为零据质心定理：据质心定理：由牛三定律，杆对光滑支点的作用力由牛三定律，杆对光滑支点的作用力N=-N，方向，方向竖直向下。竖直向下。支撑力支撑力N的方向向上的方向向上还是角度还是角度/位置关系位置关系 给出给出第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速497.5刚体平面运动的动力学刚体平面运动的动力学xyoxyCi i、刚体平面运动的基本动力学方程、刚体平面运动的基本动力学方程运动学中，刚体平面运动视作随

43、任意选定基点的平运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平动和绕基点轴的转动动和绕基点轴的转动动和绕基点轴的转动动和绕基点轴的转动. .动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动定理和对质心轴的角动量定理动定理和对质心轴的角动量定理动定理和对质心轴的角动量定理动定理和对质心轴的角动量定理. . 第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速50动力学方程：动力学方程：动力

44、学方程：动力学方程： (1)O(1)O系中运用质心运动定理：系中运用质心运动定理：系中运用质心运动定理：系中运用质心运动定理： （1 1）分量：分量：分量：分量： （2 2）(2)(2)在在在在 CC系中应用刚体对系中应用刚体对系中应用刚体对系中应用刚体对 z z 轴的角动量定理：轴的角动量定理：轴的角动量定理：轴的角动量定理： 作用于刚体各力对质心轴的合外力矩和等于作用于刚体各力对质心轴的合外力矩和等于作用于刚体各力对质心轴的合外力矩和等于作用于刚体各力对质心轴的合外力矩和等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的

45、乘积刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积刚体对质心的转动定理刚体对质心的转动定理刚体对质心的转动定理刚体对质心的转动定理: :刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程刚体平面运动的基本动力学方程（1 1）+ +（2 2）第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速51ii、作用于刚体上的力作用于刚体上的力 FACFBa. 作用在刚体上的力是滑移矢量作用在刚体上的力是滑移矢量作用在刚体上的力可产生两种效果：一是使刚体产生作用在刚体上的力可产生两种效果：一是使刚体产生随质心的平动加速度，二是使刚体产生绕质心的角加随质心的平动加速度，二是使刚体产生绕

46、质心的角加速度。速度。在在示示意意图图中中，将将力力沿沿着着力力的的作作用用线线由由A A点点滑滑移移到到B B点点，并不改变力对刚体的两种作用效果。并不改变力对刚体的两种作用效果。作用在刚体上的力可以沿力的作用线任意滑动作用在刚体上的力可以沿力的作用线任意滑动第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速52因此：对于刚体，因此：对于刚体，因此：对于刚体，因此：对于刚体，力的三要素力的三要素力的三要素力的三要素：大小，方向，作用线。大小，方向，作用线。大小，方向，作用线。大小，方向，作用线。 b b力偶和力偶矩力偶和力偶矩 力偶：力偶：力偶：力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力。大小相等方

47、向相反彼此平行的一对力。大小相等方向相反彼此平行的一对力。大小相等方向相反彼此平行的一对力。力偶作用效果：力偶作用效果：力偶作用效果：力偶作用效果：力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的 转动状态。转动状态。转动状态。转动状态。 力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩: : : :力偶对任一点力偶对任一点力偶对任一点力偶对任一点o o 的力矩的力矩的力矩的力矩表示的方向垂直纸面向外；表示的方向垂直纸面向外；表示的方向垂直纸面向外；表示的方向垂直纸面向外；d d 表示力偶之间的距离。表示力偶之间的

48、距离。表示力偶之间的距离。表示力偶之间的距离。 F-Fr1r2r21o第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速531.5N1.5N0.2m3N3N0.1m 特点：特点： 力偶矩方向与力偶作用面垂直，二力与力偶矩方向构力偶矩方向与力偶作用面垂直，二力与力偶矩方向构 成右手螺旋系；大小等于两力间距离与力的乘积成右手螺旋系；大小等于两力间距离与力的乘积 力偶矩的大小、方向与参考点力偶矩的大小、方向与参考点o无关无关 凡是力偶矩相等的力偶，对刚体作用效果完全相同凡是力偶矩相等的力偶，对刚体作用效果完全相同第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速54c c力的平移定理力的平移定理 考虑到作用

49、在刚体上的力的两种效果和力偶矩的概念，考虑到作用在刚体上的力的两种效果和力偶矩的概念，我们可以把作用在刚体上的力平移到质心再附加一力偶矩我们可以把作用在刚体上的力平移到质心再附加一力偶矩FCCF第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速55例：如图所示，圆柱体的质量为例：如图所示，圆柱体的质量为m，半径为，半径为R，在倾角为，在倾角为的斜面上作无滑滚动，求质心加速度和静摩擦力的斜面上作无滑滚动，求质心加速度和静摩擦力 acfNCmg解：圆柱体受力及运动情况如图所示解：圆柱体受力及运动情况如图所示由于只滚不滑，所以由于只滚不滑，所以由质心定理：由质心定理：对质心轴应用转动定理：对质心轴应用转

50、动定理：由由解得：解得：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速56例：如图示，已知汽车质量为例：如图示，已知汽车质量为m，前后轮距离为，前后轮距离为L，质心，质心距前轮距离为距前轮距离为l，高为，高为h，轮子与地之间的滑动摩擦系数为，轮子与地之间的滑动摩擦系数为，求汽车刹车时，前后轮对地面的压力是多少？，求汽车刹车时，前后轮对地面的压力是多少？aclhmgf1f2N1N2CL解：刹车时，轮子不再转动，整个汽车做二维平动，解：刹车时，轮子不再转动，整个汽车做二维平动，车受力如图所示。应用质心定理：车受力如图所示。应用质心定理：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速57建立质心参考

51、系，以建立质心参考系，以质心为轴，应用转动定理：质心为轴，应用转动定理：由由求得：求得：对前轮或后轮支点，是否可应用转动定理？对前轮或后轮支点，是否可应用转动定理？若车静止，则若车静止，则据牛三定律，前后轮对地的压力大小分别为据牛三定律，前后轮对地的压力大小分别为N1,N2，方向向下。方向向下。讨论：讨论：第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速58iii. 刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能克尼希定理克尼希定理刚体平面运动的动能刚体平面运动的动能 =刚体随质心的平动动能刚体随质心的平动动能 + + 刚体绕质心的转动动能刚体绕质心的转动动能对于刚体平面运动，动能定理表现为：对于刚体平面

52、运动，动能定理表现为： 第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速59例：质量为例：质量为m，半径为，半径为R的圆柱在高为的圆柱在高为h的斜面顶端由静的斜面顶端由静止开始无滑滚下，求滚到斜面底端时质心的速率止开始无滑滚下，求滚到斜面底端时质心的速率 解：在无滑滚动条件下，只有重力做功，因此可解：在无滑滚动条件下，只有重力做功，因此可以应用动能定理或机械能守恒定律求解：以应用动能定理或机械能守恒定律求解：hNfmg第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速607.6刚体的平衡刚体的平衡i.刚体的平衡方程刚体的平衡方程(a)(a)刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件：刚体在平面力系作用下

53、平衡的充分必要条件：刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件：刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件： z z 轴是过任一点轴是过任一点轴是过任一点轴是过任一点 O O 垂直于刚体平面的转轴。垂直于刚体平面的转轴。垂直于刚体平面的转轴。垂直于刚体平面的转轴。 确定刚体平面运动的位置只需确定刚体平面运动的位置只需3个独立变量个独立变量第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速61(b)(b)刚体平衡方程的等价形式：刚体平衡方程的等价形式：刚体平衡方程的等价形式：刚体平衡方程的等价形式： （1 1）( (连线不与连线不与连线不与连线不与x x轴垂直轴垂直轴垂直轴垂直 ) )xooFoo与与x轴不

54、正交轴不正交,若正交若正交,如图示如图示,力力虽然满足虽然满足3个方程，但刚体并不平衡个方程，但刚体并不平衡（2 2）(三点不共线三点不共线三点不共线三点不共线) )ooFoo,o,o不共线。若共线，如图示不共线。若共线，如图示,力力虽然满足虽然满足3个方程，但刚体并不平衡个方程，但刚体并不平衡第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速62ii.杆的受力特点杆的受力特点 铰链连接：铰链连接：杆套在一个被称为铰销的圆柱体上，杆可绕杆套在一个被称为铰销的圆柱体上，杆可绕圆柱体转动。铰销对杆的作用力可简化为过铰销中心圆柱体转动。铰销对杆的作用力可简化为过铰销中心（节点）的一个力（节点）的一个力

55、和对节点的摩擦力矩和对节点的摩擦力矩 。 代表外代表外界施加给杆的负荷，界施加给杆的负荷， 为杆的自重。为杆的自重。QWABFAFBMAMB第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速63则杆仅受到过节点的两个力则杆仅受到过节点的两个力 的作用，在平衡状的作用，在平衡状态下，这两个力等大、反向、作用在两节点连线上态下，这两个力等大、反向、作用在两节点连线上如果满足下面如果满足下面2个条件：个条件：铰销光滑（铰销光滑（ ）没有外界负荷或负荷过节点没有外界负荷或负荷过节点, ,且杆的自重可忽略或过节点且杆的自重可忽略或过节点FAFBQWABFAFBMAMB第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注

56、意语速64例题：如图示，例题：如图示，A、B、C 处均为光滑铰链连接，两个杆处均为光滑铰链连接，两个杆的质量可忽略的质量可忽略, ,外界负荷外界负荷 F= =100N, , 其余条件如图示其余条件如图示, , 求直角弯杆在求直角弯杆在B B点和点和C C点受的力，点受的力，ACD 杆在杆在A点受的力点受的力ABCFBFCFCFxy0.5m0.5m0.5mDFA解：设杆解：设杆A A点受力为点受力为FA, , 方向待求，作用在直角弯杆上的方向待求，作用在直角弯杆上的两个力两个力 FB=FC, , 方向如图示方向如图示, , FC 作用在作用在 ACD ACD 杆上杆上, , 是是 FC 的反作用

57、力，以的反作用力，以A A为转轴为转轴, , 对对ACDACD杆应用力矩平衡条件杆应用力矩平衡条件第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速65FB=FC=FC=282N，方向与水平成，方向与水平成45角角,对对ACD杆应用力平衡条件：杆应用力平衡条件：xyFAABCFBFCFCFxy0.5m0.5m0.5mDFA以以C为支点为支点第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速667.7自旋与旋进自旋与旋进 常平架回转仪常平架回转仪外环外环内环内环支架支架转体转体 构造：转体、内环、外环各有一个转轴，互相垂直，构造：转体、内环、外环各有一个转轴，互相垂直，交于转体质心，通过支架可固定到导弹

58、、飞机等需要测交于转体质心，通过支架可固定到导弹、飞机等需要测定方位的物体上定方位的物体上 转体的转动轴线可以相对支架自由选择，由于轴承光转体的转动轴线可以相对支架自由选择，由于轴承光滑，空气阻力矩极小，因此滑，空气阻力矩极小，因此, , 在不太长的时间内回转体在不太长的时间内回转体的角动量的角动量 守恒守恒第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速67大小不变表现为转体以恒定角速率转动，方向不变表现大小不变表现为转体以恒定角速率转动，方向不变表现为转体的轴线在空间的方位始终不变为转体的轴线在空间的方位始终不变 可用回转仪轴线作为标准，随时指出导弹、飞机等物可用回转仪轴线作为标准，随时指出

59、导弹、飞机等物 体在空间的方位，以便进行自动调整体在空间的方位，以便进行自动调整 回转仪的旋进回转仪的旋进旋进现象的描述旋进现象的描述 杠杆一端装回转体，另一端装有可沿杠杆滑动的重物，杠杆一端装回转体，另一端装有可沿杠杆滑动的重物，杠杆即可绕竖直轴转动，又可绕水平轴转动。通过调节重杠杆即可绕竖直轴转动，又可绕水平轴转动。通过调节重物位置使整个装置的重心位于杠杆支点处，这时无论回转物位置使整个装置的重心位于杠杆支点处，这时无论回转体转与不转，杠杆都能保持平衡。体转与不转，杠杆都能保持平衡。w第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速68然后让回转仪转动起来，设角动量为然后让回转仪转动起来，设

60、角动量为 ，整个装置仍，整个装置仍然保持平衡，此时向左移动重物，系统重心虽然移向支点然保持平衡，此时向左移动重物，系统重心虽然移向支点左方，但杠杆仍然保持平衡，只是系统绕竖直轴顺时针转左方，但杠杆仍然保持平衡，只是系统绕竖直轴顺时针转动起来。如果向右移动重物，则系统绕竖直轴逆时针转动动起来。如果向右移动重物，则系统绕竖直轴逆时针转动起来，回转仪的这种运动叫起来，回转仪的这种运动叫旋进旋进旋进现象的原理旋进现象的原理 根据系统对支点根据系统对支点 O 的角动量定理的角动量定理：wo第七章第七章 刚体力学刚体力学注意语速注意语速69回转仪在自转轴线方向未受外力距作用回转仪在自转轴线方向未受外力距作用, , 故自转故自转角动量大小不变角动量大小不变, , 即即 =, =, 角动量合成三角角动量合成三角形是等腰三角形形是等腰三角形, , 设旋进角位移为设旋进角位移为，显然，显然，所以旋进角速度：所以旋进角速度：旋进角速度和自旋角速度相比很小旋进角速度和自旋角速度相比很小, ,因此计算回转因此计算回转仪的总角动量时仪的总角动量时, ,可认为它近似等于自旋角动量，可认为它近似等于自旋角动量，IIMt