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1、 三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”具体计算时应根据三种方法各有特点, 被积函数被积函数及积分域的特点积分域的特点灵活选择. 三重积分内容小结三重积分的计算方法 利用柱面坐标（柱坐标）柱面坐标（柱坐标）计算三重积分 就称为点M 的柱坐标柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面三重积分的计算方法如图所示如图所示如图所示如图所示, , 在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为因此适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时
2、方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.三重积分的计算方法利用利用球面坐标（球坐标）球面坐标（球坐标）球面坐标（球坐标）球面坐标（球坐标）计算三重积分计算三重积分 就称为点M 的球坐标球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面三重积分的计算方法如图所示如图所示如图所示如图所示, , 在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为因此有适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.三重积分的计算方
3、法积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式雅可比行列式为变量可分离.围成 ;三重积分的计算方法二、立体体积二、立体体积 三、曲面的面积三、曲面的面积 四、物体的质心四、物体的质心 五、物体的转动惯量五、物体的转动惯量 重积分的应用 一、平面图形面积一、平面图形面积 三重积分的计算方法1. 1. 能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性可加性 从定积分定义出
4、发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元法微元法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量有界闭域上的整体量 3. 解题要点(25字） 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 三重积分的计算方法解解 在极坐标系下在极坐标系下一、平面图形面积三重积分的计算方法二、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为三重积分的计算方法选用极坐标系选用极坐标系被圆柱面被圆柱面柱面内的柱面内的) )立体的体积立体的体积. . 所截得的所截得的(
5、 (含在含在例例例例2. 2. 求球体求球体0xy解解:三重积分的计算方法三、曲面的面积 设光滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 dA 无限积累而成无限积累而成. 设设dA在在 D 上的上的投影为投影为 d ,三重积分的计算方法故有曲面面积公式故有曲面面积公式即即(称为面积元素面积元素)三重积分的计算方法若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 则有则有三重积分的计算方法若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式则则且且三重积分的计算方法例例例例3. 3. 计算半径为计算半径为计算半径为计算半径为 的
6、球的表面积的球的表面积的球的表面积的球的表面积. .解解:设球面方程为 球面面积元素为利用球坐标方程.三重积分的计算方法xy解解: 先求上半部分的面积先求上半部分的面积.三重积分的计算方法四、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 , 有连续密度函数则 分别位于为为采用 “分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限” 可导出其质心坐标公式质心坐标公式.三重积分的计算方法将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点三重积分的计算方法同理可得
7、同理可得同理可得同理可得则得形心坐标形心坐标：三重积分的计算方法若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标形心坐标:则它的质心坐标质心坐标为其面密度 对对 x 轴的轴的 静矩静矩 对对 y 轴的轴的 静矩静矩三重积分的计算方法例例例例5. 5. 求位于两圆求位于两圆求位于两圆求位于两圆和的质心. 解解: 利用对称性可知而之间均匀薄片三重积分的计算方法例例例例6. 6. 求占据区域求占据区域 D D 的平面的平面薄片的重心薄片的重心，其密度函数，其密度函数 练习练习三重积分的计算方法五、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于
8、(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 三重积分的计算方法类似可得类似可得类似可得类似可得: :对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量三重积分的计算方法如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片, ,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.三重积分的计算方法例例例例7. 7. 求半径为求半径为求半径为求半径为 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立
9、坐标系如图,的转动惯量.三重积分的计算方法解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则例例例例8.8.8.8.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量的转动惯量的转动惯量的转动惯量. . . .设球 所占域为(用球坐标) 三重积分的计算方法( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研考研)练习练习1三重积分的计算方法由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.三重积分的计算方法
