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1、2.3数学归纳法教学目标教学目标 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学重点：教学重点：了解数学归纳法的原理第一课时一、归纳法一、归纳法对于某类事物，由它的一些特殊事对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。结论的推理方法，叫归纳法。归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何证明如何证明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*)二、数学归纳法的概念二、数学归纳法的概念证
2、明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳
3、法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么求证求证注意注意 1.1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)
4、)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明证明：证明：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立。，等式成立。 假设假设n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)时等式成立时等式成立, ,即：即： 1+3+5+(2k-1)=k 1+3+5+(2k-1)=k2 2， 当当n=k+1n=k+1时：时： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k 1+3+5+(2k-1)+2(k+1
5、)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由和和可知，对可知，对nN nN ，原等式都成立。，原等式都成立。例、用数学归纳法证明例、用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n1+3+5+(2n-1)=n2 2 （nN nN ）. . 请问：请问：第第步中步中“当当n=k+1n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= = (k
6、+1)= = (k+1)2 2 ? ?为什么？为什么？例例:用数学归纳法证明用数学归纳法证明注意注意 1.1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明例、求证例、求证:
7、 :( (n+1)(n+2)(n+n)=2n+1)(n+2)(n+n)=2n n 1 3 (2n-1) 1 3 (2n-1)证明：证明： n=1 n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边= =右边，等右边，等 式成立。式成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN ）时有：）时有： (k+1)(k+2)(k+k)=2 (k+1)(k+2)(k+k)=2k k 1 3 (2n-1), 1 3 (2n-1), 当当n=k+1n=k+1时：时： 左边左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+2)(k+3)(k+k
8、)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k) = 2 = 2k k 1 3(2k-1)(2k+1)2 1 3(2k-1)(2k+1)2 = 2 = 2k+1k+11 3 (2k-1) 2(k+1)-1=1 3 (2k-1) 2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 作业作业: :第二课时证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的
9、正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=k(kn=k(k N N* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。注意注意 1.1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,
10、两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件，而命题成立作为必用的条件，而n nk+1k+1时情时情况则有待况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明回顾回顾例例:已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根据计算的结果,猜想猜想 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.例例: :是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式:
11、 : 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立, ,并证明你的结论并证明你的结论. .点拨点拨: :对这种类型的题目对这种类型的题目, ,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值, ,探求出待定系数探求出待定系数, ,然后用数学归纳然后用数学归纳法证明它对一切正整数法证明它对一切正整数n n都成立都成立. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: :(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论正确时结论正确, ,即即: :则当则当n=k+1n=k+1时时, ,故当故当n=k+1n=k+1时时, ,结论也正确结论也正确. .根据根据(1
12、)(1)、(2)(2)知知, ,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确. .(1)(1)当当n=1n=1时时, ,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确. .例例: :比较比较 2 2n n 与与 n n2 2 (n(nN N* *) )的大小的大小注：注：先猜想，再证明先猜想，再证明解：当解：当n=1n=1时，时，2 2n n=2,n=2,n2 2=1, 2=1, 2n nnn2 2 当当n=2n=2时，时，2 2n n=4,n=4,n2 2=4, 2=4, 2n n=n=n2 2 当当n=3n=3时，时，2 2n n=8,n=8,n2 2=9, 2=9, 2n nnnn2 2
13、当当n=6n=6时，时，2 2n n=64,n=64,n2 2=36, 2=36, 2n nnn2 2猜想猜想当当n n55时，时，2 2n nnn2 2( (证明略证明略) )例例: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平其中任何两条不平行行, ,任何三条不过同一点任何三条不过同一点, ,证明交点的个数证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.f(n)=n(n-1)/2.说明说明: :用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题, ,重难重难点是处理好当点是处理好当n=k+1n=k+1时利用假设结合几时利用假设结合几何知识证明命题成立何知识证明命题成立. .注注: :
14、在上例的题设条件下还可以有如下二个结论在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: :(1)(1)设这设这n n条直线互相分割成条直线互相分割成f(n)f(n)条线段或射线条线段或射线, ,-则则: f(n)=n: f(n)=n2 2. .(2)(2)这这n n条直线把平面分成条直线把平面分成(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平行其中任何两条不平行, ,任何三条任何三条不过同一点不过同一点, ,证明这证明这n n条直线把平面分成条直线把平面分成f(n)f(n)(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .作业：作业：1:n1:n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线, ,则凸则凸n+1n+1边形的对角线边形的对角线 -的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.2:2:设有通过一点的设有通过一点的k k个平面个平面, ,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线三个以上的平面不共有一条直线, ,这这k k个平面将个平面将 空间分成空间分成f(k)f(k)个区域个区域, ,则则k+1k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+_ f(k+1)=f(k)+_个区域个区域. .思考题思考题
