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1、第二章 连续时间系统的时域分析122.1 引言引言o连续时间系统数学模型建立：连续时间系统数学模型建立：线性时不变系统的数学模型线性时不变系统的数学模型，即即n n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程，后面对线性时不变系统的讨，后面对线性时不变系统的讨论就是从此方程入手。论就是从此方程入手。o系统分析：求响应系统分析：求响应常系数线性微分方程的常系数线性微分方程的求解方法求解方法，并从产生响应的并从产生响应的激励的角度激励的角度将系统响应划分为将系统响应划分为零状态响应零状态响应和零输入响应。和零输入响应。o“信号与系统信号与系统”中求解的响应主要是中求解的响应主要是零状态响应零状态响应。
2、基于输。基于输入入- -输出系统分析法，系统的零状态响应求解是通过建立输出系统分析法，系统的零状态响应求解是通过建立激励信号与典型信号的关系，对于线性时不变系统这种关激励信号与典型信号的关系，对于线性时不变系统这种关系在相应的响应中也是存在的，因而只需对典型信号的响系在相应的响应中也是存在的，因而只需对典型信号的响应应用这种关系即可求得所求信号的响应。应应用这种关系即可求得所求信号的响应。o基于第一章信号的脉冲分解，将单位冲激信号作为典型信基于第一章信号的脉冲分解，将单位冲激信号作为典型信号，所得响应称为号，所得响应称为冲激响应冲激响应。任意激励信号与冲激响应的任意激励信号与冲激响应的卷积卷积
3、即为系统的零状态响应。即为系统的零状态响应。3o时域分析方法时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚物理概念比较清楚，是学，是学习各种变换域方法的基础。习各种变换域方法的基础。o系统数学模型的时域表示系统数学模型的时域表示o本课程讨论输入本课程讨论输入输出描述法。输出描述法。连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析4n系统分析过程系统分析过程n经典法经典法:高等数学中的一般常系数线性微分方程求解法；n卷积积分法卷积积分法: 任意激励分解为冲激信号之和，利用冲激信号的系统
4、响应单位冲激响应，采用分解的逆过程组合，得到信号的响应。2.2 系统微分方程的建立与求解系统微分方程的建立与求解 5例题例题列写系统方程列写系统方程n求下图所示并联电路的端电压求下图所示并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 6解答解答：电阻 电感 电容 根据KCL，得到 代入上面元件伏安关系，并化简有 n这是一个代表RCL并联电路并联电路系统的二阶微分方程。 7说明说明不同的物理系统可能有相同的数学模型不同的物理系统可能有相同的数学模型n如图示机械系统，n机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f，外加牵引力为 ，其外加牵引
5、力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为n这是一个代表机械位移系统机械位移系统的二阶微分方程。n两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示阶微分方程表示。 机械量 电量 机电类比法 8 n阶线性时不变系统的模型阶线性时不变系统的模型n一个线性系统，其激励信号激励信号 与响应信号与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述n若系统为时不变时不变的，则C，E均为常数，此方程为n阶常系阶常系数线性微分方程。数线性微分方
6、程。n阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。n提示：本课程大量对系统的分析问题就是从这个方程开始提示：本课程大量对系统的分析问题就是从这个方程开始的。的。91. 经典时域分析方法经典时域分析方法: : 求解微分方程求解微分方程2. 卷积法卷积法:系统完全响应系统完全响应 = 零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应 求解齐次微分方程得到求解齐次微分方程得到零输入响应零输入响应 利用卷积积分可求出利用卷积积分可求出零状态响应零状态响应模型求解模型求解求响应求响应10一、一、经典时域分析方法经典时域分析方法 微分方程的全解即系统的完全响应微分方程的全解即系统的完全响应, 由由齐次解齐次
7、解yh(t)和和特解特解yp(t)组成组成 齐次解齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定的形式由齐次方程的特征根确定 特解特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定的形式由方程右边激励信号的形式确定11一、一、经典时域分析方法经典时域分析方法 齐次解齐次解yh(t)的形式(1) 特征根是不等实根特征根是不等实根(2) 特征根是等实根(3) 特征根是成对共轭复根12一、一、经典时域分析方法经典时域分析方法 常用激励信号对应的常用激励信号对应的常用激励信号对应的常用激励信号对应的特解特解特解特解形式形式形式形式P46P46表表表表2-22-213 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统
8、的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号输入信号x(t)=e- -t u(t)，求系统的完全响应求系统的完全响应y(t)。特征根特征根为为齐次解齐次解yh(t)解解: (1) 求求齐次方程齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的的齐次解齐次解yh(t)特征方程特征方程为为t014 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号输入信号x(t)=e- -t u(t)，求系统的完全响应求系统的完全响应y(t)。解解:
9、(2) 求求非非齐次方程齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的的特解特解yp(t)由由输入输入x(t)的形式，设方程的的形式，设方程的特解特解为为yp(t) = Ce- -t将将特解特解带入原微分方程即可求得常数带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t015 例例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号输入信号x(t)=e- -t u(t)，求系统的完全响应求系统的完全响应y(t)。解解: (3) 求方程求方程的全解的全解解得解得161) ) 若若初始条件初始条件不变，不变
10、，输入信号输入信号x(t) = sin t u(t)，则则系统的完全响应系统的完全响应 y(t) = ？2) ) 若若输入信号输入信号不变，不变，初始条件初始条件 y(0) = 0, y (0) = 1, 则系统的完全响应则系统的完全响应 y(t) = ？17经典法不足之处 若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的
11、物理概念。应的物理概念。18响应区间：响应区间：t0+分析分析 2.3 起始点的跳变起始点的跳变 起始状态起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。状态）：激励加入之前瞬间的状态。初始条件初始条件（0+状态状态/导出的起始状态）：导出的起始状态）：激励加入：激励加入：t=0时刻时刻19换路定律：换路定律：原原理理：利利用用系系统统内内部部储储能能的的连连续续性性，即即电电容容上上 电荷的连续性和电感中磁链的连续性。电荷的连续性和电感中磁链的连续性。条条件件：电电路路中中无无冲冲激激电电流流（或或阶阶跃跃电电压压）强强迫迫作用于电容作用于电容 电电路路中中无无冲冲激激电电压压（或或阶阶跃跃电
12、电流流）强强迫迫作用于电感作用于电感起始点的跳变起始点的跳变 iL(0-)= iL(0+) , vc(0-)= vc(0+)20 例例 如如图图所所示示，已已知知R1=1, R2=3/2, e2(t)=4V, e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t0时的变化。时的变化。2 S R11 iC(t) iL(t)e2(t) e1(t) C R2i(t)+解解：(1)(1)由由元元件件的的约约束束及及互互联联的的约约束束，得得方方程组：程组：21 例例 如如图图所所示示，已已知知R1=1, R2=3/2, e2(t)=4V, e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t0时的变化。时
13、的变化。（2）求）求齐次解齐次解：特征方程：特征方程： a2+7a+10=0 特征根：特征根： a1=-2, a1=-5 解：解： 齐次解齐次解（3）求）求特解特解： t0时，时， e2(t)=4V, 设rp(t) = B代入代入方程得：方程得： B=8/5（4）完全响应完全响应：22 （5）初始条件：）初始条件： 换路前换路前： 换路后换路后：解：解：23代入完全响应式代入完全响应式中得：中得： 联立解得：联立解得：完全响应：完全响应： 例例 如如图图所所示示，已已知知R1=1, R2=3/2, e2(t)=4V, e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t0时的变化。时的变化。解：
14、解：24o当系统用微分方程表示时，系统的当系统用微分方程表示时，系统的 到到 状状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含含 及其各阶导数项。及其各阶导数项。o如果包含，则状态发生了跳变，为了确定如果包含，则状态发生了跳变，为了确定 、 等等 状态值（初始条件），可用状态值（初始条件），可用冲击函数冲击函数匹配法匹配法。冲激函数匹配法确定初始条件冲激函数匹配法确定初始条件原原理理：微微分分方方程程两两端端(t)及及其其各各阶阶导导数数平平衡衡相相等等，从高往低配平。从高往低配平。25 例例 已知已知r(0-)，求，求r(0+)。解：解： 方法一：方
15、法一：方法一：方法一：（直观分析法）（直观分析法）（直观分析法）（直观分析法） u(t)表示表示0-到到0+相对单位跳变函数相对单位跳变函数26 例例 已知已知r(0-)，求，求r(0+)。解：解： 方法一：方法一：方法一：方法一：27已知已知r(0-)，求，求r(0+)。则则 例例 解：解： 方法二方法二方法二方法二：（待定系数法）：（待定系数法）：（待定系数法）：（待定系数法）方程右端含方程右端含(t)则则则则代入方程得：代入方程得：28例例描述描述LTIS的微分方程为；的微分方程为；r”(t)+7r(t)+10r(t)=e”(t)+6e(t)+4e(t)输入输入e(t)如图，已知：如图，
16、已知：用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求r(0+)和和r(0-)。解：解：将将e(t)代入微分方程，代入微分方程，t0得：得：方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 (t)，因而有，因而有 29例例描述描述LTIS的微分方程为；的微分方程为；r”(t)+7r(t)+10r(t)=e”(t)+6e(t)+4e(t)输入输入e(t)如图，已知：如图，已知：用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求r(0+)和和r(0-)。解：解：代入微分方程，得：代入微分方程，得：30求解微分方程（经典方法）的流程示意图求解微分方程（经典方法）的流程示意图将元件约束、互联约束应用于电系统将元件约
17、束、互联约束应用于电系统列写微分方程列写微分方程联立方程化为一元髙阶微分方程联立方程化为一元髙阶微分方程齐次解齐次解Ae-at(系数系数A待定待定)特解查表特解查表完全解齐次解特解完全解齐次解特解(系数系数A待定待定)系统响应系统响应(系数系数A已定的完全解已定的完全解)换路后换路后0时刻的初始值时刻的初始值换路前换路前0的时刻起始值的时刻起始值31系统完全响应系统完全响应 =零输入响应零输入响应 + 零状态响应零状态响应自由响应自由响应 + 强迫响应强迫响应暂态响应暂态响应 + 稳态响应稳态响应自自由由响响应应：也也叫叫固固有有响响应应，由由系系统统本本身身特特性性决决定定的的，和和外加激励
18、形式无关。（对应于外加激励形式无关。（对应于齐次解齐次解 ）强迫响应强迫响应：形式取决于外加激励。（对应于：形式取决于外加激励。（对应于特解特解）暂暂态态响响应应：激激励励信信号号接接入入一一段段时时间间内内，完完全全响响应应中中暂暂时时出现的有关成分，随着时间出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。增加，它将消失。 稳态响应稳态响应：完全响应：完全响应暂态响应分量暂态响应分量=稳态响应分量。稳态响应分量。 2.4 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应32例例2-7o在一定条件下，可以将在一定条件下，可以将原始储能原始储能看作是看作是激励源激励源。o系统完全响应可以看作：系统完全响
19、应可以看作： 外加激励源外加激励源+起始储能起始储能共同作用的结果共同作用的结果系统完全响应系统完全响应= 零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应 (线性系统具线性系统具有叠加性有叠加性)332、零输入线性零输入线性，系统的，系统的零输入响应零输入响应必须对必须对 所有的初始状态呈现线性特性。所有的初始状态呈现线性特性。1、具有具有可分解性可分解性3、零状态线性零状态线性，系统的，系统的零状态响应零状态响应必须对必须对 所有的输入信号呈现线性特性。所有的输入信号呈现线性特性。 判断一个系统是否为判断一个系统是否为线性系统线性系统，应从三个方面来，应从三个方面来判断：判断：对系统线性的进一步
20、认识对系统线性的进一步认识34线性系统非线性系统非线性系统线性系统零状态响应非线性不满足可分解性例 判断下列输出响应所对应的系统是否为线判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，为系统的初始状态，x(t)为系为系统的输入激励，统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。为系统的输出响应）。351在判断在判断可分解性可分解性时，应考察系统的完全响应时，应考察系统的完全响应y(t)是否可是否可以表示为两部分之和，其中以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有一部分只与系统的初始状态有关关，而，而另一部分只与系统的输入激励有关另一部分只与系统的输
21、入激励有关。2在判断系统的在判断系统的零输入响应零输入响应yzi(t)是否具有是否具有线性线性时，应时，应以以系统的初始状态为自变量系统的初始状态为自变量（如上述例题中（如上述例题中y(0) )，而不能以而不能以其它的变量（如其它的变量（如 t 等）作为自变量。等）作为自变量。3在判断系统的在判断系统的零状态响应零状态响应yzs(t)是否具有是否具有线性线性时，应时，应以系统的输入激励为自变量以系统的输入激励为自变量(如上述例题中如上述例题中x(t)，而不能，而不能以其它的变量（如以其它的变量（如 t 等）作为自变量。等）作为自变量。36例:已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 时
22、，其完全响应为 ；当激励为2时，其完全响应为 。求：(1) 初始条件不变，当激励为 时的完全响应 ；(2) 初始条件增大1倍，当激励为0.5 时的完全响应 。解解：(1) 设零输入响应为 ，零状态响应为 ，则有解得37系统完全响应系统完全响应系统完全响应系统完全响应 = = 零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应1. .系统的零输入响应系统的零输入响应系统的零输入响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型数学模型: 求解方法：求解方法：
23、 根据微分方程的根据微分方程的特征根特征根确定确定零输入响应零输入响应的形式的形式 再由再由初始条件初始条件确定待定系数。确定待定系数。零输入响应求解零输入响应求解38解解: 系统的系统的特征方程特征方程为为 例例 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为的动态方程式为:y (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0- -) = 1，y (0- -) = 3，求系统的求系统的零输入响应零输入响应yzi(t)。系统的系统的特征根特征根为为 y(0- -)=yzi(0- -)=K1+K2=1 y (0- -)= yzi(0- -
24、)= - - 2K1- -3K2 =3解得解得 ：K1= 6，K2= - -539 例例 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为的动态方程式为: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0- -) = 2，y(0- -) = - -1，求系统的求系统的零输入响应零输入响应yzi(t)。解解: 系统的系统的特征方程特征方程为为系统的系统的特征根特征根为为（两相等实根）（两相等实根） y(0- -)=yzi(0- -)=K1=1;y(0- -)= y zi(0- -)= - -2K1+K2 =3 解得解得
25、 K1 = 2, K2= 340 例例 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为：的动态方程式为： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0- -) = 1，y(0- -) = 3，求求系统的系统的零输入响应零输入响应yzi(t)。解解: 系统的系统的特征方程特征方程为为系统的系统的特征根特征根为为y(0- -)=yzi(0- -)=K1=1y (0- -)= y zi(0- -)= - -K1+2K2 =3解得解得 K1= 1，K2= 2412. .系统的零状态响应系统的零状态响应系统完全响应系统完
26、全响应系统完全响应系统完全响应 = = 零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应求解求解系统的零状态响应系统的零状态响应yzs (t)方法：方法： 1) 直接求解直接求解初始状态为零的微分方程。初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为产生的响应称为系统的零状态响应系统的零状态响应，用，用yzs (t)表示。表示。零状态响应求解零状态响应求解42卷积法求解
27、卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs (t)的思路的思路1) ) 将任意信号分解为将任意信号分解为单位冲激信号单位冲激信号的线性组合；的线性组合；2) ) 求出求出单位冲激信号单位冲激信号作用在系统上的响应作用在系统上的响应 冲激响应；冲激响应；3) ) 利用利用线性时不变系统线性时不变系统的特性，即可求出任意的特性，即可求出任意信号信号x(t)激励下系统的激励下系统的零状态响应零状态响应yzs (t) 。43卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs (t)推导推导由由时不变特性时不变特性由由均匀特性均匀特性由由积分特性积分特性44 例例 已知某已知某LTI系统系统的动态
28、方程式为：的动态方程式为：y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的系统的冲激响应冲激响应 h(t) = 2e- -3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求试求系统的零状态响应系统的零状态响应yzs(t)。解：解：解：解：452.5冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 连续系统的连续系统的冲激响应冲激响应定义定义 冲激平衡法冲激平衡法求系统的求系统的冲激响应冲激响应 连续系统的连续系统的阶跃响应阶跃响应46一、一、连续系统的连续系统的冲激响应冲激响应定义定义 则则n 阶阶连续时间连续时间LTI系统系统的的冲激响应冲激响应h(t)满足：满足：定义定义：系统在单位冲激信号：系统在单
29、位冲激信号(t)作用下产生的作用下产生的零状态响应零状态响应，称为称为单位冲激响应单位冲激响应，简称冲激响应，一般用，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。数学模型数学模型：47由于由于t 0+后后, 方程右端为零方程右端为零, n m 时时, 为使方程两边平衡为使方程两边平衡, h(t)应含有冲激及应含有冲激及其高阶导数，即其高阶导数，即h(t)的形式的形式冲激响应形式与齐冲激响应形式与齐次解的形式相同次解的形式相同。故故 nm 时时48h(t)中待定系数的求解中待定系数的求解：方法一方法一方法一方法一：冲激函数匹配法求：冲激函数匹配法求：冲激函数匹配法求：冲激函数匹配法求0+0+确定系数
30、确定系数确定系数确定系数K,AK,A方法二方法二方法二方法二：奇异函数项平衡法：奇异函数项平衡法：奇异函数项平衡法：奇异函数项平衡法 确定系数确定系数确定系数确定系数K,AK,A49解：解： 将将e(t) (t)，r(t)h(t)，所以，所以求特征根求特征根冲激响应冲激响应 求待定系数求待定系数: 求求0+法法,奇异函数相平衡法奇异函数相平衡法例：求系统例：求系统 的冲激响应的冲激响应50求求0+定系数定系数 ， 51根据系数平衡，得根据系数平衡，得用奇异函数项相平衡法求待定系数：用奇异函数项相平衡法求待定系数：将将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数代入微分方程，使方程两边平衡，确
31、定系数Ki ， Aj52 例例2 已知某已知某线性时不变系统线性时不变系统的动态方程式为的动态方程式为 试求系统的试求系统的冲激响应冲激响应。解解： 当当x(t) = (t)时时，y(t) = h(t)，即即动态方程式的特征根动态方程式的特征根s = - -6, 且且n=m, 故故h(t)的形式为的形式为解得解得A= - -16, B =3531) ) 由由系统的特征根系统的特征根来确定来确定u(t)前前的指数形式。的指数形式。2) 由动态方程右边由动态方程右边 (t)的最高阶导数的最高阶导数与方程与方程 左边左边h(t)的最高阶导数的最高阶导数确定确定 (j)(t)项项。54三、连续系统的阶
32、跃响应 求解方法求解方法求解方法求解方法: :1) ) 求解微分方程求解微分方程2) ) 利用冲激响应与阶跃响应的关系利用冲激响应与阶跃响应的关系55二、二、 阶跃响应阶跃响应1、定义、定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应应，简称阶跃响应。2、响应求解、响应求解 l系统的输入系统的输入e(t)=u(t)，其响应为，其响应为r(t)=g(t)。系统方程的右端。系统方程的右端将包含阶跃函数将包含阶跃函数u(t)，所以除了齐次解外，还有特解项。，所以除了齐次解外，还有特解项。l也可以根据线性时不变系统特性，利用
33、冲激响应与阶跃响也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。应关系求阶跃响应。 56 卷积的定义：卷积的定义：卷积的定义：卷积的定义： 将将信号分解信号分解信号分解信号分解为冲激信号之和为冲激信号之和 借助系统的借助系统的冲激响应冲激响应冲激响应冲激响应h h( (t t) ) 求解求解求解求解系统对系统对任意激励任意激励任意激励任意激励信号的信号的零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应。 卷积的原理：卷积的原理：卷积的原理：卷积的原理：2.6 卷积卷积57二、卷积的计算二、卷积的计算o由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性
34、，卷积的积分限会有所变化卷积积分中性，卷积的积分限会有所变化卷积积分中积积分限的确定分限的确定是非常关键的。是非常关键的。o借助于阶跃函数借助于阶跃函数u(t)确定积分限；确定积分限；58 例例 已知某已知某LTI系统系统的动态方程式为：的动态方程式为：y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的系统的冲激响应冲激响应 h(t) = 2e- -3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求试求系统的零状态响应系统的零状态响应yzs(t)。解：解：解：解：59三、卷积的图解说明三、卷积的图解说明o用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图
35、形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结合起来。合起来。 5. 不断改变平移量t，计算f1(t) f2(t- t)的积分。演示演示60 x(t)0t12h(t)-1/210t1 例例 已知信号已知信号x(t)与与h(t)如下图所示，求如下图所示，求 解：解： 01-2-1/211tt-2 1）当 时，演示演示演示演示612）当 时，-1/211tt-2-1/211tt-23）当 ，即当 时4）当 ，即当 时，-1/211tt-262-1/211tt-25）当 ，即 时，-1/21 3/2 23t063四、对卷积
36、的若干讨论四、对卷积的若干讨论 o积分上下限和卷积结果区间的确定积分上下限和卷积结果区间的确定1、积分上下限2、卷积结果区间 下限，上限f1(t)A,Bf1(t)-11f2(t)C,D+f2(t)03g(t)A+C,B+Dg(t)-1464c) 0 1y (t) = 0a) - - t - -1b) - -1 t 0 0y (t) = 0 例例 计算计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。65 练习练习1：u(t) * * u(t) 练习练习2：计算：计算 y (t) = x(t) * * h(t)。= r(t)662.7 卷积的性质卷积的性质一、卷积的代数性质一、卷积的代数性质1交换
37、律交换律 2分配律分配律 （系统并联）（系统并联）3结合律结合律 （系统级联）（系统级联）卷积的代数性质与乘法运算的性质类似卷积的代数性质与乘法运算的性质类似67系统并联系统并联o系统并联，框图表示：系统并联，框图表示：o结论：结论：子系统子系统并联并联时，总系统的冲激响应等于各子系统时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之冲激响应之和和。68系统级联系统级联o系统级联，框图表示：系统级联，框图表示：o结论：结论：时域中，子系统时域中，子系统级联级联时，总的冲激响应等于子系时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的统冲激响应的卷积卷积。 69二、卷积的微分积分性质二、卷积的微分积分性质1.性质性质
38、2.证明证明： 两函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另一函数之卷积703.推广推广o微分性质积分性质联合使用微分性质积分性质联合使用两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另一函数之卷积两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另一函数之卷积71三、与冲激函数或阶跃函数的卷积三、与冲激函数或阶跃函数的卷积o推广： 函数 与冲激函数 卷积的结果仍然是函数 的本身72例题例题卷积代数性质卷积代数性质【例例】 图图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应h1(t) 和和h2(t)，如图，如图(b)所示。求复合系统的冲激响应所示。求复合系统的冲激响应h(t)并画出它的波形。并画出它的波形。解解：如图（c）所示 (c)73例题例题卷积微分积分性质卷积微分积分性质【例例】已知已知 ，求，求 。解解： 如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷积最终结果是另一信号对应积分后平移叠加结果 注意：常数信号需特殊考虑74例例 用微积分性质用微积分性质75
