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1、3.3 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 一、向量组线性相关与线性无关一、向量组线性相关与线性无关二、几个简单结论二、几个简单结论一、向量组线性相关与线性无关一、向量组线性相关与线性无关1. 定义定义3.4 给定向量组给定向量组: 1, 2, , m , 若存若存在不全为零的实数在不全为零的实数 k1, k2, , km , 使得使得k1 1+ k2 2+ + km m =0 ,则称则称向量组向量组 1, 2, , m 线线性相关性相关, ,否则称它线性无关否则称它线性无关问题问题: “否则线性无关否则线性无关”是什么意思是什么意思?若向量组若向量组 1, 2, , m 线性线性无关无关,
2、则只有当则只有当k1= =km=0 时时, 才有才有k1 1+ + km m =0 成立成立.说明说明(1) 含有零向量的向量组必线性相关含有零向量的向量组必线性相关.(2) 向量组只含一个向量向量组只含一个向量 时时:若若 =0, 则则向量组向量组线性相关线性相关;若若 0, 则向量组则向量组线性线性无关无关.(3) 两个向量两个向量 1, 2 线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件是是存在常数存在常数k, 使得使得 1= k 2 . 2. 线性相关的一个线性相关的一个等价定义等价定义定理定理3.8 向量组向量组A: 1, 2, , m (当当 m 2 时时) 线性相关的充要条件是线性
3、相关的充要条件是 A中至少有一个向量可由其中至少有一个向量可由其余余m 1个向量线性表示个向量线性表示.证明证明 充分性充分性 设设 1, 2, , m 中有一个向量中有一个向量(比如比如 m )能由其余能由其余m 1个向量线性表示个向量线性表示.即有即有 m = 1 1+ 2 2+ + m 1 m 1,即即 1 1+ 2 2+ + m 1 m 1+( 1) m =0 ,因因 1, 2, m 1 , ( 1) 这这 m 个数不全为个数不全为0 ,故故向量组向量组 1, 2, , m (当当 m 2 时时) 线性线性相关相关. .必要性必要性 设设 1, 2, , m 线性相关线性相关,则有不全
4、为则有不全为0的数的数 k1, k2, , km 使使 k1 1+ k2 2+ + km m =0 ,因因 k1, k2, km 中至少有一个不为中至少有一个不为0,不妨设不妨设k1 0, 则有则有即即 1 能由其余能由其余m 1个向量线性表示个向量线性表示.证毕证毕.注注 若向量组若向量组A线性相关线性相关, 未必未必A中任何向量都可由其中任何向量都可由其余向量线性表示余向量线性表示.例如例如: :a = (1,1,0)T, b = ( 1, 1,0)T, c = (0,0,1)T, 则向量则向量 a, b, c 线性相关线性相关,但但 c 不可由不可由 a,b 线性表示线性表示.它所构成的
5、矩阵它所构成的矩阵A=( 1, 2, m )的秩的秩小于向量的个数小于向量的个数m；定理定理3.9 向量组向量组 1, 2, , m 线性相关的充要线性相关的充要条件是条件是向量组向量组 1, 2, , m 线性无关线性无关的充要条件是的充要条件是R(A) = m.推论推论 n个个n维维向量向量 1, 2, , n线性相关线性相关的充要条件是的充要条件是 |( 1, 2, , n)|=0；线性无关线性无关的充要条件是的充要条件是|( 1, 2, , n)| 0.解解例例1 1例例2 2 已知已知试讨论向量组试讨论向量组 1, 2, 3 的的线性相关性线性相关性.解解故向量组故向量组 1, 2,
6、 3 线性相关线性相关.例例3 3 已知已知试讨论向量组试讨论向量组 1, 2, 3 的的线性相关性线性相关性.解解故向量组故向量组 1, 2, 3 线性无关线性无关.例例4 4 已知已知向量组向量组 1, 2, 3 线性无关线性无关, 设设 1= 1+ 2, 2= 2+ 3, 3= 3+ 1, 试试证证 1, 2, 3 线性无关线性无关.证证设有数设有数x1, x2, x3 使使 x1 1+ x2 2+ x3 3 = 0 ,即即 x1( 1+ 2 )+ x2( 2+ 3 ) + x3( 3+ 1 ) = 0 ,亦即亦即 (x1+x3 ) 1 + (x1+x2 ) 2 + (x2+x3 ) 3
7、 = 0 ,因因 1, 2, 3 线性无关线性无关, 故有故有:故方程组只有零解故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 ,所以向量组所以向量组 1, 2, 3 线性无关线性无关. .二、几个简单结论二、几个简单结论定理定理3.10 若向量组若向量组 A 是是向量组向量组 B 的一部分的一部分, 则称则称向量组向量组 A是向量组是向量组 B 的的部分组部分组(或或子组子组).定理定理3.10可推广为可推广为: 一个向量组若有线性相关的部分组一个向量组若有线性相关的部分组, 则该向量则该向量组必线性相关组必线性相关 反之：反之：若一个向量组线性无关若一个向量组线性无关, 则它的任何部分
8、组则它的任何部分组都线性无关都线性无关定理定理3.11 m个个n 维向量组成的向量组维向量组成的向量组, 当维数当维数n小小于向量个数于向量个数m时一定线性相关时一定线性相关.证明证明特别地特别地: n+1个个n 维向量一定线性相关维向量一定线性相关.定理定理3.12证明证明例例5 5 设设向量组向量组 1, 2, 3 线性相关线性相关, 向量组向量组 2, 3, 4线性无关线性无关, 证明证明:(1) 1能由能由 2, 3 线性表示线性表示.(2) 4 不能由不能由 1, 2, 3 线性表示线性表示.证明证明 (1) 因因 2, 3, 4线性无关线性无关, 故故 2, 3 线性无关线性无关, 又已知又已知 1, 2, 3 线性相关线性相关,故故 1 能由能由 2, 3 线性表示线性表示.(2) 设设 4 能由能由 1, 2, 3 线性表示线性表示,又又 1 能由能由 2, 3 线性表示线性表示,故故 4 能由能由 2, 3 线性表示线性表示, 与已知与已知 2, 3, 4线性无关矛盾线性无关矛盾,故故 4 不能由不能由 1, 2, 3 线性表示线性表示.
