《数字信号处理与控制课件：第三章_Z变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字信号处理与控制课件：第三章_Z变换（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.0 引言引言连续时间信号与系统：连续时间信号与系统：时域时域频域（傅立叶变换）；复频域（频域（傅立叶变换）；复频域（s域，拉氏变换）域，拉氏变换）离散时间信号与系统：离散时间信号与系统：时域时域频域（傅立叶变换）；复频域（频域（傅立叶变换）；复频域（z域，域，z变换）变换）引入引入z变换的主要原因：变换的主要原因：傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号）傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号）z变换概念的方便性（分析研究信号、系统）变换概念的方便性（分析研究信号、系统）傅立叶变换与傅立叶变换与z变换的关系：变换的关系：推广形式（数学、物理意义上）推广形式（数学、物理意义上）分析上的全面性（稳态、动态、
2、瞬态、静态）分析上的全面性（稳态、动态、瞬态、静态） 3.1 z变换变换定义：一个序列定义：一个序列xn的的z变换为变换为（双边，单边）（双边，单边）其中其中z是一个复变量（连续），是一个复变量（连续），X(z)是一个连续的复函数。是一个连续的复函数。用符号表示为：用符号表示为：比较序列的傅立叶变换：比较序列的傅立叶变换：ejz，傅立叶变换，傅立叶变换X (ej)z变换变换X(z)将复变量将复变量z表示成极坐标形式：表示成极坐标形式：z = rejz变换可以写成：变换可以写成：可见，可见，xn的的z变换：指数序列变换：指数序列r-n乘以乘以xn后的傅立叶变换。后的傅立叶变换。当当z=1，即，即
3、 r = 1时，时，z变换就是傅立叶变换。变换就是傅立叶变换。z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；变换的特例；z平面：平面： 称为称为单位圆单位圆傅立叶变换是傅立叶变换是z平面单位圆上的平面单位圆上的z变换变换傅立叶变换的傅立叶变换的周期性解释周期性解释z变换的收敛域：变换的收敛域：（region of convergence, ROC）对给定的序列对给定的序列xn，所有满足下列不等式的所有满足下列不等式的z值值 傅立叶不收敛傅立叶不收敛 z变换收敛变换收敛若若z = z1在在ROC内，内，z= z1的值也一定在的值也一定在ROC内，内，表示
4、收敛域的表示收敛域的形状形状：z平面以原点为中心的平面以原点为中心的圆环圆环组成组成内、外边界是一个内、外边界是一个圆圆（原点、无穷远）（原点、无穷远）收敛域一般形式：收敛域一般形式：z变换收敛域与傅立叶变换收敛的关系：变换收敛域与傅立叶变换收敛的关系：ROC是否包括单位圆是否包括单位圆傅立叶变换收敛傅立叶变换收敛序列绝对可和序列绝对可和序列稳定（系统稳定）序列稳定（系统稳定）。收敛域与稳定性关系：收敛域与稳定性关系：z变换一个重要的表示形式：有理函数形式变换一个重要的表示形式：有理函数形式零点与极点零点与极点有理函数的极点位置与收敛域的关系有理函数的极点位置与收敛域的关系系统的稳定性关系系统
5、的稳定性关系序列的序列的z变换收敛域讨论：变换收敛域讨论：（1）右边指数序列）右边指数序列 xn = anun收敛条件：收敛条件：收敛域：收敛域：z变换：变换：一个零点：一个零点：z = 0；一个极点：；一个极点：z = a对于对于a = 1，阶跃序列，其，阶跃序列，其z变换及其收敛域为：变换及其收敛域为：（傅立叶变换不收敛）（傅立叶变换不收敛）右边序列的收敛域：一个圆的外部右边序列的收敛域：一个圆的外部az-1 a（2）左边指数序列）左边指数序列 xn = -anu-n-1收敛域：收敛域：z变换：变换：一个零点：一个零点：z = 0；一个极点：；一个极点：z = a左边序列的收敛域：一个圆的
6、内部左边序列的收敛域：一个圆的内部 （仅收敛域不同！）（仅收敛域不同！） z变换、零极点、收敛域比较变换、零极点、收敛域比较z变换变换- 表达式表达式+收敛域收敛域a-1z 1 或者z a（3）两个序列之和）两个序列之和收敛域：单个收敛域的重叠部分收敛域：单个收敛域的重叠部分收敛域：收敛域：（4）双边指数序列）双边指数序列z变换：变换：收敛域：收敛域：双边序列的收敛域（如果存在）：一个圆环双边序列的收敛域（如果存在）：一个圆环1/3 z 1/2（5）有限长序列）有限长序列z变换：变换：收敛域的条件：收敛域的条件：有限长序列的收敛域：整个有限长序列的收敛域：整个z平面（平面（z = 0和和z =
7、 由具体序列定由具体序列定）3.2 z变换收敛域的性质变换收敛域的性质性质性质1：ROC在在z平面是中心在原点的一个圆环或圆盘，即：平面是中心在原点的一个圆环或圆盘，即：0rR z rL 性质性质2：当且仅当当且仅当xn在在z变换的变换的ROC包括单位圆时，包括单位圆时， xn的傅立叶的傅立叶变换才绝对收敛。变换才绝对收敛。性质性质3：ROC内不能包含任何极点。内不能包含任何极点。性质性质4：若若xn是一个有限长序列，即一个序列在有限区间是一个有限长序列，即一个序列在有限区间- N1 n N2 +内，其余均为零，那么其内，其余均为零，那么其ROC就是整个就是整个z平面，可能平面，可能z = 0
8、或或z = 除外。除外。N10， N2 0，（n为负）为负） 0 z N10， N2 0，（n有正有负）有正有负） 0 z N1 0， N2 0，（n为正）为正） 0 z 性质性质5：若若xn是一个右边序列，即一个序列在是一个右边序列，即一个序列在n N1 +是零，是零，那么其那么其ROC是从是从X(z)中最外面（即最大幅度）的有限值极点向外中最外面（即最大幅度）的有限值极点向外延伸至（可能包括）延伸至（可能包括） z = 。性质性质6：若：若xn是一个左边序列，即一个序列在是一个左边序列，即一个序列在n N2 -是零，是零，那么其那么其ROC是从是从X(z)中最里面（即最小幅度）的非零值极点
9、向内中最里面（即最小幅度）的非零值极点向内延伸至（可能包括）延伸至（可能包括） z = 0。性质性质7：若若xn是是一个双边序列（一个无限长序列），那么其一个双边序列（一个无限长序列），那么其ROC一定由一定由z平面的一个圆环所组成，其内外边界均由某一极点所界平面的一个圆环所组成，其内外边界均由某一极点所界定，其内不能包含任何极点定，其内不能包含任何极点。性质性质8：ROC必须是一个连通的区域。必须是一个连通的区域。几个收敛域的例子：几个收敛域的例子：线性时不变系统的稳定性、因果性线性时不变系统的稳定性、因果性ROC稳定：稳定：hn绝对可和绝对可和傅立叶变换存在傅立叶变换存在ROC包括单位圆包
10、括单位圆稳定的充要条件：稳定的充要条件：z变换的收敛域变换的收敛域：当当z = 1 = 1 或或r =1 =1 时时 两者相等。两者相等。推论：如果推论：如果h n 在在z平面单位圆上收敛，则系统稳定。平面单位圆上收敛，则系统稳定。判据：收敛域包括单位圆。判据：收敛域包括单位圆。例子：系统的零极点图为例子：系统的零极点图为若系统稳定，若系统稳定，ROC必须为：必须为：1/2 z 2hn为双边序列，非因果系统；为双边序列，非因果系统；若系统为因果，若系统为因果， hn为右边序列为右边序列ROC为为 z 2，系统是不稳定。，系统是不稳定。因此，对于这样一个零极点的系统来说，不可能既是因果又是稳因此
11、，对于这样一个零极点的系统来说，不可能既是因果又是稳定的。定的。3.2 z反变换反变换本课程的本课程的z变换变换 - 离散时间线性系统分析（非纯数学理论）离散时间线性系统分析（非纯数学理论）正规方法（纯数学）正规方法（纯数学）- 基于柯西积分定理基于柯西积分定理简便方法（工程实用）简便方法（工程实用）- 观察法，观察法，部分分式法部分分式法，幂级数法，幂级数法3.3.1 观察法观察法利用基本利用基本z变换对（表变换对（表3.1），通过对比直接得到），通过对比直接得到z反变换反变换例：例：求：求：通过比较可直接得到其反变换：通过比较可直接得到其反变换：特点：简单求解特点：简单求解3.3.2 部分
12、分式展开法部分分式展开法 对于任意有理函数形式的对于任意有理函数形式的X(z) - 主要方法主要方法通常的通常的X(z)表示形式：表示形式：（z-1多项式之比多项式之比）或：或：M个零点（分子个零点（分子z的的M次多项式）次多项式）N个极点（分母个极点（分母z的的N次多项式）次多项式）z =0 的多重极点或零点的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数相同的有限值零点和极点数（包括（包括z = 0，不包括，不包括z = ）为方便部分分式展开，可将为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：表示为：ck - M个个非零非零零点；零点；dk - N个个非零非零极点；极点；若若M N，且极点都是一阶的，
13、则可以进行部分分式展开：，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：式中系数式中系数Ak求法：求法：例子：例子：极点：极点： ， （一阶）（一阶） 零点：零点：z =0 （二阶）（二阶）右边序列右边序列部分分式展开：部分分式展开：系数：系数：查表求得：查表求得：其它几种情况：其它几种情况：（1）M NBr 系数通过长除法获得。对应的系数通过长除法获得。对应的z反变换为：反变换为：Brn-r（2）M N，且有多重极点，且有多重极点若若X(z)有一个有一个s阶极点：阶极点：z = di (其余极点均为一阶其余极点均为一阶)则则X(z)可以展开为：可以展开为：Cm系数：系数：几点说明几点说明：（1）
14、 项对应于项对应于 取决于收敛域取决于收敛域（2）X(z)的有理式表示为：的有理式表示为：z-1(1-az-1) 而不是：而不是：z(z-a)主要考虑与主要考虑与z变换对（表变换对（表3.1）一致）一致 - 方便性方便性例例3.9可展开为：可展开为：其零极点图和收敛域：其零极点图和收敛域：长除法求系数长除法求系数B0A系数：系数：则则X(z)可展开为：可展开为：根据收敛域，查表：根据收敛域，查表：最终可得反变换：最终可得反变换：3.3.3 幂级数展开法幂级数展开法 （不作要求）（不作要求）3.4 z变换性质变换性质3.4.1 线性线性注意：收敛域注意：收敛域 - 交集交集3.4.2 时移时移例
15、：例：可写为：可写为：利用时移性质，利用时移性质，3.4.3 指数序列相乘（频移）指数序列相乘（频移）收敛域尺度变化收敛域尺度变化 z平面压缩或扩展平面压缩或扩展零极点位置改变零极点位置改变若若 在在z平面旋转一个角度平面旋转一个角度0或称为频率移位，时域表现为调制或称为频率移位，时域表现为调制例例3.15求求z变换：变换：表示为：表示为：根据根据un的的z变换并利用指数相乘性质，变换并利用指数相乘性质，最终可得：最终可得：3.4.4 微分性质微分性质3.4.5 复数序列的共轭复数序列的共轭3.4.6 时间倒置时间倒置3.4.7 序列卷积序列卷积推导：推导：交换求和次序，交换求和次序，变量代换：变量代换：m = n-k则有：则有：例例3.19 求卷积求卷积求求 x1n = anun与与x2n = un的线性卷积的线性卷积若|a|13.4.8 初值定理初值定理若若xn是是因果序列因果序列，有，有3.4.9 性质列表性质列表
