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1、圆周角和圆心角圆周角和圆心角的关系的关系(2)(2)九年级数学九年级数学( (下下) )第三章第三章 圆圆3.33.3学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！ 一、复习一、复习 1.什么是圆周角？什么是圆周角？顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角. .2.填空：填空：一条弧所对的一条弧所对的_ 等于它所对的度等于它所对的度 _的一半的一半.圆周角的度数等于它所对的弧圆周角的度数等于它所对的弧_.一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周
2、角的一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的_.圆周角圆周角圆心角圆心角度数的一半度数的一半2 2倍倍3、角与弧有着密切的关系，因此在证明角的关、角与弧有着密切的关系，因此在证明角的关系时，可考虑证明角所对的弧的关系。系时，可考虑证明角所对的弧的关系。4、圆周角定理的证明应用了数学中的分类思想、圆周角定理的证明应用了数学中的分类思想复习：复习：推论推论2 2：同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角相等；所对的圆周角相等；同圆或等圆中同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。，相等的圆周角所对的弧也相等。 圆周角定理：圆周角定理： 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角
3、的一半的一半. .复习：复习：推论推论3 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。度的圆周角所对的弦是直径。推论推论4 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。推论推论1 1：圆内接四边形对角互补。圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。对角互补的四边形内接于圆。基础练习：基础练习：一、填空：一、填空：一、填空：一、填空：基础练习：基础练习：一、填空：一、填空：基础练习：基础练习：一、填空：一、填空：基础练习：基础练习：一、填空：一、填空
4、：基础练习：基础练习：6.6.填空题填空题: :(1)(1)如图所示如图所示, ,BAC=BAC= ,DAC=,DAC= . .DABCDBCBDCO OACB(2)(2)如图所示如图所示,O,O的直径的直径AB=10cm,AB=10cm,C C为为OO上一点上一点,BAC=30,BAC=30,则则BC=BC= cmcm 5基础练习：基础练习：7.7.如图，以如图，以OO的半径的半径OAOA为直径作为直径作OO1 1, ,OO的弦的弦ADAD交交OO1 1于于C,C,则则(1)OC(1)OC与与ADAD的位置关系是的位置关系是 ; ; (2)OC(2)OC与与BDBD的位置关系是的位置关系是
5、; ;(3)(3)若若OC=2cm,OC=2cm,则则BD=BD= cmcm。OCOC垂直平分垂直平分ADAD平行平行4C CD DO O1 1A AB BO O基础练习：基础练习：O OB BA AC CD D问问：如如图图，A、B、C、D四四点点共共圆圆，找找出出四四边边形形ABCD的的对对角角线线把把4个个角角分分成成的的8个个角角中中，哪哪些些是是相等的角？图中有几对相似三角形？相等的角？图中有几对相似三角形？基础练习：基础练习：一、填空：一、填空：基础练习：基础练习：二、解答下列各题：二、解答下列各题：基础练习：基础练习：2.2.如图如图,ABC,ABC的顶点均在的顶点均在OO上上,
6、 , AB=4, C=30,AB=4, C=30,求求OO的直径的直径. . O OACBE E二、解答下列各题：二、解答下列各题：基础练习：基础练习：3.3.如图如图,ABC,ABC的顶点均在的顶点均在OO上上, , OO的半径是的半径是5 5，AB=6, AB=6, 求求cosCcosC的值的值. . O OACBE E二、解答下列各题：二、解答下列各题：基础练习：基础练习：OADBC二、解答下列各题：二、解答下列各题：基础练习：基础练习： 已知顶角已知顶角A=50A=500 0的等腰的等腰ABCABC内内接于接于OO，D D是是OO上一点，上一点， 则则ADBADB的度数是（的度数是（
7、） A.50 A.500 0 B.65 B.650 0 C.50C.500 0或或65650 0 D.65 D.650 0或或1151150 0思考题：思考题：ABCDEFGO三、应用举例：三、应用举例：ABPQM O三、应用举例：三、应用举例：O OD DA AB BC CNME E 3. 3.如图如图OO中中,D,D、E E分别是分别是ABAB和和ACAC的中点的中点, , DEDE分别交分别交ABAB和和ACAC于点于点M M、N; N; 求证求证:AMN:AMN是等腰三角形是等腰三角形. .三、应用举例：三、应用举例：1.如图，如图， 的弦的弦AC、BD相交于相交于 内内一点一点. 求
8、证：求证：E四、思考下列各题四、思考下列各题,并记住结论：并记住结论：( 的度数的度数+ 的度数的度数)ABCD2.如图，如图， 的弦的弦AC、BD相交于相交于 外外一点一点. 求证：求证：四、思考下列各题四、思考下列各题,并记住结论：并记住结论：( 的度数的度数 的度数的度数)ABCD 练习：练习： 3、AB、AC为为 O的两条弦，延长的两条弦，延长CA到到D，使，使AD=AB，如果，如果ADB=350，求，求BOC的度数。的度数。 练习：练习： 4、如图，在、如图，在 O中，中，BC=2DE， DOE=64， 求求 A的度数的度数。ABCDEO例例1、（99年北京中考题）年北京中考题）在在
9、 O中，中，CD过圆心过圆心O，且，且CDAB于于D，过点，过点C任作一任作一弦弦CF交交 O于于F，交，交AB于于E，求证：求证：CB=CECFOABCDEF练习练习1：如图，如图，AEOAEO的直径的直径, ABC, ABC的顶点都的顶点都在在OO上上,AD,AD是是ABCABC的高的高; ; 求证：求证：AB AC = AE ADAOBCDE分析：分析：要证要证AB AC = AE ADADC ABE或或ACE ADB如图，如图，AEOAEO的直径的直径, ABC, ABC的顶的顶点都在点都在OO上上,AD,AD是是ABCABC的高的高; ; 求证：求证：AB AC = AE AD变式：
10、变式： ABC内接于内接于 O ， 若若1=2. 求证：求证：ABAC=AEAD.变式：变式：ABC内接于内接于 O ， 若弦若弦AE平分平分BAC. 求证：求证：ABAC=AEAD. OBCAED12问：若点问：若点D在在圆外圆外，上述结论仍成立吗？上述结论仍成立吗？例例 2 2：已已 知知 ， 如如 图图 ， 圆圆 内内 接接 ABCABC中中 ， AB=ACAB=AC，弦，弦AEAE交交BCBC于于D D求证：求证：ABDAEBABDAEB19971997年广东省中考题年广东省中考题ECOABD练练习习2：如如图图，AB为为O的的直直径径，DC为为弦弦，ABDC，F为为弧弧BC上上的的一
11、一点点，AF交交DC于于E.求证：求证：AD2=AEAF. 练练习习3：如如图图, ABC内内接接于于O, 高高AD、BE相相交交于于H, AD延延长长线线交交O于点于点F. 求证求证:BF=BH. 练习练习4:4:如图，如图，RtABC中，中，C=90，AC=5，BC=12，以，以C为圆心，为圆心，AC为半径的圆交为半径的圆交AB于于点点D.求求AD的长的长. 四、小结四、小结 本课时学习了圆周角定理及三个推论：本课时学习了圆周角定理及三个推论： 推论推论3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.推论推论4.如果
12、三角形一边上的中线等于这边的一如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形半，那么这个三角形是直角三角形.推论推论2. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论推论1. 圆内接四边形对角互补；圆内接四边形对角互补； 对角互补的四边形内接于圆对角互补的四边形内接于圆. . 3.如图，以如图，以B为圆心、为圆心、BA为半径的为半径的 O交交ABC的外接圆于点的外接圆于点D，AD交交BC于点于点E.求证：求证：AB2=BEBC说明说明:此题放在两圆的位置关系此题放在两圆的位置关系E
