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1、第四章第四章 静态场边值问题的解法静态场边值问题的解法当当场场域域边边界界的的几几何何形形状状比比较较复复杂杂时时，很很难难用用解解析析法法进进行行分分析。应采用数值计算法。析。应采用数值计算法。4.5 有限差分法有限差分法设有一函数设有一函数f(x)，当独立变量，当独立变量x有一微小增量有一微小增量 xh，相，相应应f(x)的增量为：。的增量为：。通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。真实解。有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，1差分原理差分原理不同于增量为无
2、限小的微分，差分被称为有限差分。不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。当当h很小时，很小时， f(x) df(x). f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数称为函数f(x)的差分的差分中心差分中心差分 f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)一阶差商：一阶差商：二阶差商二阶差商 偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。差分方程（代数方程）。 2以以二二维维场场为为例例，将将边边值值问问题题转转化化为为一一组组差差分分方方程程组组（代数方程组）。（代数方程组）。(1)决定离散点的分布方式。决定离散点的分
3、布方式。按按正正方方网网格格划划分分，网网格格边边长长（步步长长）h，网网格格线线的的交交点点称称结结点。点。设设结结点点O上上的的电电位位为为 (xo,yo)= o, 结结点点1，2，3，4上上的的电电位位为为 1， 2， 3， 4。设边值问题是设边值问题是任一点任一点x的电位的电位考虑考虑1，3两点两点x1=xo+h, x3=xo-h 边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把边界条件也可进行离散化处理，对第一类边值，可直接把点函数点函数f(s)的值赋予各边界结点。的值赋予各边界结点。 3差分方程的解法差分方程的解法设将场域划分如图设将场域划分如图.边边 界界 上上 的的 值值 分
4、分 别别 为为f1,f16。在在各各内内点点上上作作出出差差分分，泊泊松松方方程程变变成成下下列列差差分分方方程程组组解出关于解出关于 1， 2. 9的代数联立方程组，即可求出各点的的代数联立方程组，即可求出各点的函数值。函数值。 算法算法简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。（2）按一固定顺序）按一固定顺序(从左到右，从下到上从左到右，从下到上)依次利用依次利用 计算内点计算内点o点的新值。即点的新值。即o点的新值就是围绕该点的点的新值就是围绕该点的4个点的个点的电位的平
5、均值。电位的平均值。如（如（j，k）点在第）点在第n1次迭代时按下式计算：次迭代时按下式计算：当当所所有有的的内内点点都都计计算算完完后后，用用他他们们的的新新值值代代替替旧旧值值，完完成成一一次次迭迭代代。再再进进行行下下一一次次迭迭代代。直直到到每每一一点点计计算算得得到到的的新新值值与旧值之差小于指定的范围。与旧值之差小于指定的范围。这这种种方方法法的的特特点点是是用用前前一一次次迭迭代代的的得得到到的的结结点点电电位位作作为为下下一次迭代时的初值。一次迭代时的初值。超松弛法超松弛法简单迭代法收敛慢。简单迭代法收敛慢。超松弛法的改进：超松弛法的改进： （1） 即计算（即计算（j，k）点时
6、，左边点（）点时，左边点（j-1,k）和下面点（）和下面点（j，k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。 （2）将上式写成增量的形式，）将上式写成增量的形式，引进加速收敛因子引进加速收敛因子 ， 在在12之间。之间。 加速解的收敛。加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。时，迭代过程将发散。 最最佳佳收收敛敛因因子子 0的的取取值值随随问问题题而而异异。对对第第一一类类边边值值问问题题，正正方方形形场场域域，网网格格按按正正方方形形划划分分，每每边边结结点点数数p1，则，则一长直接地金属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，一长直接地金
7、属槽截面如图。其侧壁与底面的电位均为零，而顶盖电位而顶盖电位 4100。求槽内电位分布。求槽内电位分布。 例例解：解：二维场第一类边值问题。二维场第一类边值问题。将将二二维维场场域域划划分分成成正正方方形形网格，步距网格，步距ha/4。场场域域内内任任一一点点电电位位 应应满满足足二二维维拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的差差分计算格式。分计算格式。采用超松弛迭代方法。迭代公式采用超松弛迭代方法。迭代公式按按 可算得可算得 1.17,所有内点从零值初始值开所有内点从零值初始值开始迭代求解。始迭代求解。本题第一类边值，结点与本题第一类边值，结点与边界重合，所有网格点迭代边界重合，所有网格点迭代前的初值如图。前的初值如图。迭代次数迭代次数N分别分别为为1，2，3，4时时各网格内点的数各网格内点的数值解如图。值解如图。 若若规规定定各各网网格格内内点点相相邻邻两两次次迭迭代代值值的的绝绝对对误误差差应应小小于于105，得到各内点的电位数值解如图。此时，得到各内点的电位数值解如图。此时N13。从从结结果果看看电电位位分分布布关关于于y轴轴有有对对称称性性。实实际际计计算算可可只只一一半半区区域域，而而将将网网格格划划分分得得更更细。以得到更理想到数值解。细。以得到更理想到数值解。
