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1、第四章第四章 因式分解因式分解第一节 因式分解蓝山学校蓝山学校 章憬章憬北师大版八年级下册北师大版八年级下册“我很棒！我很棒！” “我们真的很棒！我们真的很棒！” “我真的很棒！我真的很棒！” 速算抢答，并说出你是怎样计算的速算抢答，并说出你是怎样计算的1 1、100100 +100 +1002 2、10.110.13.3+10.13.3+10.12.1+10.12.1+10.14.64.6=7+13=20 求积，求和求积，求和=10.1（3.3+2.1+4.63.3+2.1+4.6）= =10.11010=101 =101 求和，求积求和，求积在问题解决过程中，为了运算简便，结合不同在问题解
2、决过程中，为了运算简便，结合不同的数式特点的数式特点 我们会选择不同的运算策略我们会选择不同的运算策略99993 3-99-99能被能被100100整除吗？整除吗？99993 3-99-99还能被哪些正整数整除？还能被哪些正整数整除？以上问题解决的关键是把一个以上问题解决的关键是把一个数式数式化成了几个化成了几个整数的积整数的积的形式。的形式。类比探究：类比探究：19193 3-19-19可以被可以被1818整除吗？可以被整除吗？可以被2020整除吗？还可整除吗？还可以被哪些正整数整除？说说你是怎样想的？以被哪些正整数整除？说说你是怎样想的？99993 3-99-99能被能被9999整除吗？整
3、除吗？你你是怎样想的？是怎样想的？a a3 3-a -a = a= aa a2 2a a1 1= a= a（a a2 21 1）= = a(a+1)(a-1)a(a+1)(a-1)19193 3-19 -19 = 19= 1919192 219191 1= 19= 19（19192 21 1）= 19= 19360360= 19= 191818202099993 3-99 -99 = 99= 9999992 299991 1= 99= 99（99992 21 1）= 99= 9998009800= 99= 999898100100 数数类比、猜测类比、猜测你能尝试把多项式你能尝试把多项式a a
4、3 3-a-a化成几个整式的乘积的形式吗？化成几个整式的乘积的形式吗？式式形形蓝山学校第三届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好蓝山学校第三届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传，我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由宣传，我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大三部分组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系的长方形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。式。 b a m ca+b+cm 两次算，两次算，拼图前拼图前后阴影部分面积后阴影部分面积相等相等（等积）。（等积）。如图：边长为如图
5、：边长为a a的正方形，剪去边长为的正方形，剪去边长为b b的小正方的小正方形，观察拼图过程，写出相应的关系式。形，观察拼图过程，写出相应的关系式。a a2 2-b-b2 2=(=(a+b)(a-ba+b)(a-b) )若若a=3,b=1,a=3,b=1,则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为_若若a=9.8,b=0.2,a=9.8,b=0.2,则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为_适当的变形适当的变形会使运算更简便会使运算更简便 把把一一个个多多项项式式化化成成几几个个整整式式的的积积的的形形式式，这这种种变变形形叫叫做做因因式式分分解解（factorization),factorizatio
6、n),例例如如：a a3 3-a=a(a+1)(a-1)-a=a(a+1)(a-1)、am+bm+cmam+bm+cm= =m(a+b+cm(a+b+c),),从从左左到到右右的的变变形形都都是是因因式分解。因式分解也可称为分解因式。式分解。因式分解也可称为分解因式。 一辨一辨: :下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？（1 1）24x24x2 2y=4xy=4x6xy (2)(6xy (2)(a+3)(a-3)=aa+3)(a-3)=a2 2-9 -9 （3 3）a a2 2-b-b2 2+1=(a+b)(a-b)+1+1=(a+b)(a-b
7、)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r)(4)2mR+2mr=2m(R+r)（5 5）x+1=x(1+x+1=x(1+ ) ) ( (6 6)m)m2 2-4=(m+2)(m-2)-4=(m+2)(m-2)可以借助整式乘法来验证因式分解可以借助整式乘法来验证因式分解; ;因式分解的对象必须是多项式；分解因式分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式的结果一定是几个整式的乘积的形式. .你能尝试举出一个因式分解的例子吗？你能尝试举出一个因式分解的例子吗？二算：二算：计算下列式子：计算下列式子：（1 1）3x(x-1)=_ 3x(x-1)=_ （2 2）m(a+b-1)=_m
8、(a+b-1)=_（3)3)（m+4m+4）(m-4)=_(m-4)=_（4 4）（）（y-3y-3）2 2=_ =_ 根据上面的算式尝试对下列各式进行因式分解：根据上面的算式尝试对下列各式进行因式分解：（1 1）3x3x2 2-3x=-3x=_ _ （2 2）ma+mb-m=ma+mb-m=_（3 3）m m2 2-16= -16= _ _ （4 4）y y2 2-6y+9= -6y+9= _因式分解与整式乘法互为逆变形过程因式分解与整式乘法互为逆变形过程因式分解是否正确可以借助整式乘法验证因式分解是否正确可以借助整式乘法验证. .整整式式乘乘法法因因式式分分解解互互逆逆3x3x2 2-3x
9、-3xma+mb-mma+mb-mm m2 2-16-16y y2 2-6y+9-6y+93x(x-1)3x(x-1)m(a+b-1)m(a+b-1)（m+4m+4）(m-4)(m-4)（y-3y-3）2 2三用：三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,a=3.14, b=2.386, c=2.386,求求abab-ac-ac的值。的值。 特殊问题背景下特殊问题背景下,因式分解因式分解可以使运算更简便可以使运算更简便拓展提升：拓展提升：若关于若关于x x二次三项式二次三项式x x2 2+mx+n+mx+n可分解为可分解为(x+1)(x+1)2 2 ，则，则m=_,n=_m=_
10、,n=_因式分解与整式乘法密切联系因式分解与整式乘法密切联系, ,逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助我们解决有关因式分解的问题我们解决有关因式分解的问题本节课，你收获了哪些重要的知识？本节课，你收获了哪些重要的知识？领会到哪些重要的数学思想、方法？领会到哪些重要的数学思想、方法？在问题解决过程中还存有哪些疑惑？在问题解决过程中还存有哪些疑惑？A A级：级：1 1、看谁连得准、看谁连得准 x x2 2-y-y2 2 (x+3)(x+3)2 29-25 x 9-25 x 2 2 y(x -y)y(x -y)x x2 2+6x+9 +6x+9 (3-5 x)(3+5 x
11、)(3-5 x)(3+5 x)xy-yxy-y2 2 (x+y)(x-y)(x+y)(x-y)2 2、下列从左到右的变形是因式分解的是（、下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）A A. .a(x+ya(x+y)=)=ax+ayax+ay B.x B.x2 2-4x+4=x(x-4)+4-4x+4=x(x-4)+4C.10xC.10x2 2-5x=5x(2x-1) D.x-5x=5x(2x-1) D.x2 2-16x+6x=(x+4)(x-4)+6x-16x+6x=(x+4)(x-4)+6xC3 3、观察下面拼图过程，写出相应的关系式、观察下面拼图过程，写出相应的关系式B B级：级： 4 4、已
12、知多项式、已知多项式2x2x2 2+bx+c+bx+c分解因式为分解因式为 2(x-3)(x+1), 2(x-3)(x+1),则则b=_c=_b=_c=_（1 1）巩固性作业：课本习题）巩固性作业：课本习题4.1 14.1 1，2 2，3 3（2 2）提高性作业：课本习题）提高性作业：课本习题4.1 54.1 5（3 3）实践类：）实践类：4.1 44.1 4“你们很棒，你们真的很棒，你们你们很棒，你们真的很棒，你们真的真的很棒！真的真的很棒！”a a3 3-a -a = a= aa a2 2a a1 1= a= a（a a2 21 1）= a(a+1)(a-1)= a(a+1)(a-1)对于这一结论是否正确，你如何验证它呢？对于这一结论是否正确，你如何验证它呢？a(a+1)(a-1)a(a+1)(a-1)=a=a（a a2 21 1）=a=aa a2 2a a1 1=a=a3 3-a -a 等式两边恒等变形，逆用乘法运算法则等式两边恒等变形，逆用乘法运算法则
