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1、第4章 立体及表面交线4.1 4.1 平面立体平面立体4.2 4.2 曲面立体曲面立体4.3 4.3 平面与立体相交平面与立体相交4.4 4.4 两曲面立体相交两曲面立体相交基本体 按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基本体分为本体分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两类。两类。4.1 4.1 平面立体平面立体4.1.1 4.1.1 棱柱棱柱4.1.2 4.1.2 棱锥棱锥 表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立体有
2、棱柱、棱锥和棱台等。棱柱、棱锥和棱台等。 立体的投影及三视图主视图主视图俯视图俯视图左视图左视图XYWYHZO三视图的位置关系和投影规律长长高高宽宽宽宽上上上上下下下下左左左左右右右右前前前前后后后后主、俯视图主、俯视图 长对正长对正主、左视图主、左视图 高平齐高平齐俯、左视图俯、左视图 宽相等宽相等4.1.1 4.1.1 棱棱 柱柱 由由两个底面和若干棱面两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫组成。棱面与棱面的交线叫棱线，棱线，棱线相互平行棱线相互平行。1. 1. 棱柱的投影棱柱的投影aa（a）(b(b ）b b b bYaYa 2. 2. 棱柱表面上取点棱柱表面上取点8 84.1.2.
3、 4.1.2. 棱棱 锥锥 由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一点点锥顶锥顶。1. 1. 棱锥的投影棱锥的投影YsYsBasa c b cCASb(c)as s b2. 2. 棱锥表面上取点棱锥表面上取点Y3Y3Y2Y2Y1Y1ss a ac b b (c )cs ba 1 11 r r2 223(3 )3 4.2 4.2 曲面立体曲面立体 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有体，常见的曲面立体有圆柱圆柱、圆锥圆锥、圆球圆球和和圆环圆环等。等。 曲面可看作由一条母线按一定的规
4、律运动所形成，曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。4.2.1 圆 柱 圆圆柱柱由由圆圆柱柱面面、顶顶面面、底底面面所所围围成成。圆圆柱柱面面可可看看作作直直线绕与它相平行的轴线旋转而成。线绕与它相平行的轴线旋转而成。 1. 1. 圆柱的投影圆柱的投影2. 2. 圆柱表面上取点圆柱表面上取点YdYdYbYb( )( )A(D)CBc 4.2.2 4.2.2 圆圆 锥锥 圆圆锥锥由由圆圆锥锥面面、底底面面所所围围成成。圆圆锥锥面面可
5、可看看作作直直线线绕绕与与它相交的轴线旋转而成。它相交的轴线旋转而成。1. 1. 圆锥的投影圆锥的投影2. 2. 圆锥表面上取点圆锥表面上取点Y1Y2Y1Y1(2 )22 1 11 辅助素线法辅助素线法辅助圆法辅助圆法4.2.3 4.2.3 圆圆 球球 圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。线旋转而成。 1. 1. 圆球的投影圆球的投影2. 2. 圆球表面上取点圆球表面上取点4.2.4 4.2.4 圆环圆环 圆环是由圆环面围成的。圆环面可看作圆绕不通过圆环是由圆环面围成的。圆环面可看作圆绕不通过圆心但在同一平面上的轴线旋转而成。圆心
6、但在同一平面上的轴线旋转而成。 (1) (1) 圆环的投影圆环的投影(2) (2) 圆环表面上取点圆环表面上取点4.3 4.3 平面与立体相交平面与立体相交4.3.2 4.3.2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交4.3.3 4.3.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交4.3.1 4.3.1 截交线的性质截交线的性质4.3.1 截交线的性质 平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，截交线上的点是截
7、平面与立体表面上的共有点，它既在截它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线平面曲线或者是由曲线和直线组成的或者是由曲线和直线组成的平面图形平面图形或或多边形。多边形。截平面截平面截交线截交线4.3.2 4.3.2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交 由于平面立体是由平面围成的由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。
8、求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。简化为求直线与平面交点的问题。例例1 求四棱柱斜切后的截交线求四棱柱斜切后的截交线 。例例2 求带切口三棱锥的投影。求带切口三棱锥的投影。sssbccbaabca1yyyy14442332132解题步骤解题步骤1 1 分分析析 截截交交线线的的正正面面投投影影已已知知，水水平平投投影影和和侧侧面面投影未知；投影未知；2 2 求求出出截截交交线线上上的的折折点点、 、 ；3 3 顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交交线线，并且判别可见性；并且判别可见性；4
9、4 整理轮廓线。整理轮廓线。4.3.3 4.3.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 曲曲面面立立体体截截交交线线通通常常是是封封闭闭的的平平面面曲曲线线，或或是是由由曲曲线线和直线所围成的和直线所围成的平面图形平面图形或或多边形多边形。 1. 1. 平面与圆柱相交平面与圆柱相交圆圆垂直轴线垂直轴线两平行直线两平行直线平行轴线平行轴线椭圆椭圆倾斜轴线倾斜轴线例例3 求斜切圆柱的截交线。求斜切圆柱的截交线。解题步骤解题步骤1 1 分分析析 截截交交线线的的水水平平投投影为圆，侧面投影为椭圆；影为圆，侧面投影为椭圆；2 2 求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点A A、B B、C C、D D
10、；3 3 求求出出若若干干个个一一般般点点、 、 ；4 4并并且且判判别别可可见见性性，光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截交线；截交线；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。特殊点：特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。是指绘制曲线时有影响的各种点。极限位置点极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。最右点。转向轮廓点转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲它们是区分曲 线可见与不可见部分的分界点。线可见与不可见部分的分界点。特征点特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四
11、个曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。端点。结合点结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点截交线由几部分不同线段组成时结合处的点aaabbbcdcdBADC12341 (2 )3 (4 )1234c (d )圆柱截交线椭圆的趋势圆柱截交线椭圆的趋势椭圆的长、短轴随截椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角平面与圆柱轴线夹角的改变而改变。的改变而改变。45什么情况下投影为什么情况下投影为圆呢圆呢? ?截平面与轴线成截平面与轴线成4545夹角时夹角时例例4 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。求截切圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤解题步骤1 1 分分析析 截截交交线线的的水水平平投投影影
12、为为圆圆的的一一部部分分，侧侧面面投投影影为为矩形；矩形；2 2 求求出出截截交交线线上上的的点点、；3 3 顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交线并判别可见性；交线并判别可见性；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。例例5 求带槽圆柱筒的侧面投影。求带槽圆柱筒的侧面投影。e (f )d (c )h (g )a (b )f(g)a(d)b(c)e(h)c (g)b (f)a (e)d (h)2. 2. 平面与圆锥相交平面与圆锥相交 =90=90 909000 过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线例例6 求正平面与圆锥的截交线。求正平面与圆锥的截交线。解题步骤解
13、题步骤1 1 分分析析 截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影已已知知，正正面面投投影影为双曲线并反映实形；为双曲线并反映实形；2 2 求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、；3 3 求出一般点求出一般点 ；4 4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交交线线，并并且且判判别别可可见见性；性；5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。11 1 2 (3 )4 (5 )4 5 2 3 2453例例7 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。111”2(3)2”3”235(6)5”6”65444”3. 3. 平面与圆球相交平面与圆球相交平面与圆
14、球相交平面与圆球相交,截交线为截交线为 圆圆例例8 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。分析并想象出圆球穿孔后的投影。分析并想象出圆球穿孔后的投影。4. 4. 平面与组合回转体相交平面与组合回转体相交 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成的以首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成的以及它们的连接关系及它们的连接关系，然后然后分别求出这些基本回转体的分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。截交线，并依次将其连接。5.4 5.4 两曲面立体相交两曲面立体相交4.4.1 4.4.1 相贯线的性质相贯线的性质4.4.2 4.4.2 相贯线的作图方法相贯线的作图
15、方法4.4.3 4.4.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况4.4.4 4.4.4 组合相贯线组合相贯线4.4.1 4.4.1 相贯线的性质相贯线的性质 立立体体与与立立体体相相交交在在两两个个立立体体表表面面产产生生的的交交线线称称为为相相贯线。贯线。 相相贯贯线线是是两两曲曲面面立立体体表表面面的的共共有有线线，相相贯贯线线上上的的点点是两曲面立体表面的是两曲面立体表面的共有点共有点。 不不同同的的立立体体以以及及不不同同的的相相贯贯位位置置、相相贯贯线线的的形形状状不不同同。两两回回转转体体相相贯贯，相相贯贯线线一一般般是是封封闭闭的的空空间间曲曲线线, , 特特殊情况下为平面曲线或直线
16、。殊情况下为平面曲线或直线。相贯线性质图例相贯线性质图例4.4.2 4.4.2 相贯线的作图方法相贯线的作图方法1.1.表面取点法表面取点法 当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出影可按着曲面立体表面取点的方法求出, ,这种求作相贯这种求作相贯线的方法称为线的方法称为表面取点法表面取点法。例例1 已知两圆柱的三面投影已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。求作其相贯线的投影。yyyy1aba (b )cddbac分
17、分 析析求特殊点求特殊点求一般点求一般点判别可见性判别可见性完成相贯线完成相贯线2341 (3 )c (d )3 (4 )1 (2 )2 (4 )求相贯线的一般步骤（1）分分析析 首首先先分分析析两两曲曲面面立立体体的的几几何何形形状状、相相对对大大小小和和相相对对位位置置，然然后后分分析析相相贯贯线线是是空空间间曲曲线线，还还是是处处于于特特殊殊情情况况分分析析两两曲曲面面立立体体对对投投影影面面的的相相对对位位置置，两两曲曲面面立立体体的的投投影影是是否否有有积积聚聚性性。分分析析相相贯贯线线哪哪个个投投影影已已知知的的，哪哪个个投投影影是是要要求作的。求作的。（2）求求特特殊殊点点 相相
18、贯贯线线上上的的特特殊殊点点包包括括极极限限位位置置点点、轮轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。廓转向点、曲线特征点和结合点四种。（3）求一般点）求一般点 根据需要求出若干个一般点。根据需要求出若干个一般点。 （4）判判别别可可见见性性 当当相相贯贯线线上上的的点点同同时时处处于于两两立立体体表表面面的可见部分时这些点才可见，否则不可见。的可见部分时这些点才可见，否则不可见。 （5）完完成成相相贯贯线线 顺顺次次光光滑滑连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线。补补全全可可见见与与不不可可见见部部分分的的轮轮廓廓线线或或转转向向轮轮廓廓线线，并并擦擦除除被被切切割割掉的轮廓线或转向轮廓线。掉的轮
19、廓线或转向轮廓线。圆柱表面交线的三种情况圆柱表面交线的三种情况 两外表面相交两外表面相交外表面与内表面相交外表面与内表面相交两内表面相交两内表面相交两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（一）变化趋势（一）两正交圆柱两正交圆柱相贯线相贯线的的变化趋势（二）变化趋势（二）例例2 2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 a“(b“)abc“cabcddde“(f “)efefghyyg“(h“)gh2. 2. 辅助平面法辅助平面法 假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线
20、，两截交线贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点共有点，即相贯线，即相贯线上的点。这个假想的平面是上的点。这个假想的平面是辅助平面辅助平面。作出一系列的辅助。作出一系列的辅助平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。得相贯线的投影。 (1)(1)所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的投影应是简单易画的投影应是简单易画的直线直线或或圆圆。常选用特殊位置平面作。常选用特殊位置平面作为辅助面。为辅
21、助面。 (2)(2)辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则得不到共有点。得不到共有点。选择辅助平面的原则：选择辅助平面的原则：yyPW2PV24yy4 PV1PW13PV3PW351112 22453 35 例例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。例例4 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。PV2yy55343543112122yy4 PH1PV3PV44.4.3 4.4.3 相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况 相贯线一般是封闭的空间曲线相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为特殊情况下为
22、平面曲线或直线。平面曲线或直线。（1 1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆（2 2）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆椭圆 （3 3）两圆锥共锥顶相贯线为）两圆锥共锥顶相贯线为相交两直线相交两直线 （4 4）两圆柱轴线平行相贯）两圆柱轴线平行相贯线为线为平行两直线平行两直线4.4.4 4.4.4 组合组合相贯线相贯线 三三个个或或三三个个以以上上的的立立体体相相交交在在一一起起，称称为为组组合合相相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成
23、。贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成。 处处理理组组合合相相贯贯线线，关关键键在在于于分分析析，找找出出有有几几个个两两两两曲曲面面立立体体相相交交在在一一起起，从从而而确确定定其其有有几几段段相相贯贯线线结结合在一起。合在一起。例例6 求作物体相贯线的投影。求作物体相贯线的投影。本 章 小 结 1.1.掌掌握握立立体体的的投投影影特特性性和和作作图图方方法法及及立立体体表面上取点、取线的方法。表面上取点、取线的方法。 2.2.掌掌握握特特殊殊位位置置平平面面与与圆圆柱柱、圆圆锥锥、圆圆球球相相交交，求求表表面面交交线线的的方方法法； 掌掌握握截截交交线线的的性性质及求截交线的方法；质及求截
24、交线的方法； 3.3.掌掌握握两两回回转转体体表表面面相相交交时时相相贯贯线线的的性性质质及及用用表表面面取取点点法法、辅辅助助平平面面法法求求两两回回转转体体相相贯贯线线的的原原理理、作作图图方方法法；掌掌握握相相贯贯可可见见性性的的判判别别方法方法; ;了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。于特殊情况（平面曲线或直线）。 分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面分
25、析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。 根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是要投影是已知的，哪个投影是要求作的。求作的。分分 析析求特殊点求特殊点 确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点特殊点 包括：包括： 相贯线极限位置点相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、最左、最右、最前、最后、 最高、最低各点；最高、最低各点； 曲面立体转向轮廓线上的点曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、左两曲面立体上下、左右、前后转向轮廓线上的各个点。右、前后转向轮廓线上的各个点。
