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1、第一章第一章 随机事件随机事件1. 1. 事件事件A, P(A), A, P(A), 概率的性质概率的性质2. 2. 古典概型中求古典概型中求 P(A)= P(A)= k kA A/n/n3. 3. 条件概率条件概率4. 4. 乘全贝三大公式，乘全贝三大公式，见下页见下页2021/6/161全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 乘法公式乘法公式 2021/6/1625. 5. 事件的独立事件的独立 P(AB)= P(A) P(B),定理（独立的性质）：定理（独立的性质）：若事件若事件A, B独立则独立则 也相互独立。也相互独立。技巧：技巧：n个独立事件并的概率公式个独立事件并的概率公式设
2、设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 P(A1An)2021/6/163第二章第二章 随机变量随机变量( (一维一维) )1. 1. 离散型随机变量离散型随机变量X Xpk，F(x)= PXx,F(x)= PXx,常见离散型随机变量常见离散型随机变量: :X B(1,p).X B(n,p).X P()P50,T212021/6/1642. 2. 连续型随机变量连续型随机变量X Xf(x)，F(x)= PXxF(x)= PXx常见连续型随机变量常见连续型随机变量: :X Ua,bX服从参数为的指数分布P49,T192021/6/165 3. 已知已知 X 的分布的分布，求，求Y=g (X) 的
3、分布的分布(-x)=1-(x).P50,T20,21,22,23(0)=1/22021/6/166第三章第三章 随机向量随机向量( (二维二维) )1. 1. 离散型随机向量离散型随机向量(X,Y)(X,Y) pij， 由联合分布律求边缘分布律 2021/6/1672. 2. 连续型随机向量连续型随机向量(X,Y)(X,Y)f(x,y)， 由联合密度函数求边缘概率密度函数 P78,T4,T5P79,T8,T102021/6/1683. 随机变量的独立性随机变量的独立性若若 (X,Y)是离散型随机变量是离散型随机变量，则上述独立性定义，则上述独立性定义等价于等价于：对：对(X,Y)所有可能取值所
4、有可能取值(xi , yj), 有有成立。成立。若若 (X,Y) 是连续型随机向量是连续型随机向量 ，上述独立性定义，上述独立性定义等价于：等价于： 对于对于所有的所有的x, y 成立成立。2021/6/1694. 随机向量函数的分布随机向量函数的分布 Z=X+Y的概率密度为的概率密度为: n个个独立独立的正态分布的线性组合仍为正态分布的正态分布的线性组合仍为正态分布,即有即有特别地：当特别地：当X,Y独立独立时，时，Z=X+Y的概率密度为的概率密度为: (1) 和的分布和的分布P80,T19,T20P80,T212021/6/1610 特别地，当特别地，当X1,Xn独立同分布独立同分布时，有
5、时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是:M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: Fmax (z)=F(z) n ， Fmin (z)=1-1-F(z) n .第六章P128,T10（2）极值分布极值分布 2021/6/1611第四章第四章 数字特征数字特征1. 数学期望数学期望 , 随机变量函数的期望，期望的性质随机变量函数的期望，期望的性质2021/6/16122021/6/1613数学期望的性质数学期望的性质: 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X与与Y独立独立，则，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数是常数，则，则E
6、(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);（诸（诸Xi 独立时）独立时）技巧：技巧：计数器分解求期望！计数器分解求期望！P105,T212021/6/16142. 方差及其性质方差及其性质 Var(X)=E X-E(X)2 E(X 2)-E(X)2 1. 设设C是常数是常数, 则则Var(C)=0, Var(X+C)= Var(X). 2. 若若C是常数是常数, 则则Var(CX)=C 2 Var (X); 3. 若若X1与与X2 独立独立，则，则 Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2);可推广为：若可推广为：若X1, X2, , Xn相互相互
7、独立独立, 则则2021/6/16153. 协方差协方差 ，相关函数，相关函数Cov(X, Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y) Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)+ 2Cov(X,Y)Var(XY)= Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)2021/6/1616第五章第五章 极限定理极限定理定理定理 5.1.15.1.1 切比雪夫(Chebyshev)不等式 设随机变量X具有期望E(X)= ,方差 Var(X)= 2,则:或写成P114, T22021/6/1617定理定理5.2.1（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理） 设
8、设X1, X2, 是是独立同分布独立同分布的随机变量序的随机变量序列列, 且且 E(Xi) =, Var(Xi)=2， i = 1, 2, ，则，则任给任给 x (- -, ), 均有均有2021/6/1618 设设 X X1 1,X,X2 2 , , ,X,Xn n是来自均值为是来自均值为 ,方差为方差为 2 2的总体的的总体的样本样本，则当，则当n充分大时充分大时, 定理定理6.2.1 第六章第六章 样本与统计量样本与统计量2021/6/1619 2 分布分布,t 分布分布, F 分布分布.【注意注意】三大分布的三大分布的构构造，造，图形，性形，性质定理定理 6.3.1 (P126)(又称
9、又称基本定理基本定理) 设设X1,X2,Xn是取自是取自正态总体正态总体的样本的样本,分别为分别为样本均值样本均值和和样本方差样本方差,则有则有2021/6/1620第七章第七章 参数估计参数估计参数估计包括：参数估计包括：点估计点估计和和区间估计区间估计。1. 矩估计矩估计2. 极大似然估计极大似然估计点估计点估计介绍两种方法：介绍两种方法：2021/6/16211. 矩估计矩估计根据所求的根据所求的未知参数的个数未知参数的个数选择上面的式子选择上面的式子2021/6/16222. 极大似然估计极大似然估计 (3) 在最大值点的在最大值点的 表达式中，用表达式中，用样本样本X1,X2,Xn替
10、换替换样本值样本值x1,x2,xn就得到参数的就得到参数的极极大似然估计。大似然估计。求极大似然估计的一般步骤是：求极大似然估计的一般步骤是：(1) 由总体分布导出样本的联合分布律由总体分布导出样本的联合分布律 (或或 联合概率密度函数联合概率密度函数), 即为似然函数即为似然函数L() ；(2) 求似然函数求似然函数L() 的最大值点即的最大值点即的极大似的极大似然估计值然估计值; (常常转化为求常常转化为求对数似然函数对数似然函数ln L()的最大值点的最大值点,求导等于零求导等于零,二阶导数二阶导数在此在此点点小于零，这才说明为最大值点小于零，这才说明为最大值点 ）；）； 2021/6/
11、1623估计量的优良性准则估计量的优良性准则则称则称 为为 的的无偏估计无偏估计。一、无偏性一、无偏性二、二、方差准则方差准则 如果两个估计都是如果两个估计都是无偏估计无偏估计，这时哪个估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计比较优。这种判定估计量的的方差小，哪个估计比较优。这种判定估计量的准则称为准则称为“方差准则方差准则” 。2021/6/1624求参数求参数 的置信系数为的置信系数为 的置信区间的置信区间. (I). 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， 正态总体的区间估计均值均值 的置信系数为的置信系数为1-1-的置信区间的置信区间 求方差求方差 的置信系数为的置信系数为 的置信区
12、间的置信区间2021/6/1625 第八章第八章 假设检验假设检验一、单个正态总体一、单个正态总体N(N( , , 2 2) )均值均值 的检验的检验1. 1. 双边检验双边检验 H H0 0:=:=0 0；H H1 1:0 0 方差方差 2 2已知已知的情况的情况 方差方差 2 2未未知知的情况的情况( (书上有！书上有！) )2021/6/1626 方差方差 2 2已知已知的情况的情况 方差方差 2 2未未知知的情况的情况2. 2. 右边检验右边检验 H H0 0:=:=0 0，H H1 1: 0 0 H H0 0:0 0，H H1 1: 0 0 右边检验右边检验 ( (书上有！书上有！)
13、 )( (书上有！书上有！) )2021/6/1627 方差方差 2 2已知已知的情况的情况 方差方差 2 2未未知知的情况的情况3.3. 左边检验左边检验 H H0 0:=:=0 0，H H1 1:0 .0 .H H0 0:0 0，H H1 1: 0 02 2 3. 3. H H0 0: : 2 2 = = 0 02 2, , H H1 1: : 2 2 0 02 2 3. 3. H H0 0: : 2 2 0 02 2, , H H1 1: : 2 2 0 02 2( (书上有！书上有！) )2021/6/1630一：填空一：填空题（30分，每空两分）分，每空两分）填空：填空： 事件的运算
14、事件的运算,独立独立,条件概率的条件概率的计算算,期望与期望与 方差的方差的计算算, Chebyshev不等式不等式,中心极限定理中心极限定理,三大三大分布的构造分布的构造 及性及性质，第，第6章的基本定理章的基本定理, 置信区置信区间.二：二：计算算题 （5题，共，共70分）分）(1) (第第1章章)乘全乘全贝三大公式；三大公式；(2) （第（第2章、第章、第4章）章）求概率密度，分布函数，求概率密度，分布函数， 随机随机变量函数的分布，求概率、期望、方差；量函数的分布，求概率、期望、方差；(3) （第（第3章、第章、第4章）章）已知联合概率密度函数，求已知联合概率密度函数，求 常数常数 C, 求求概率、期望、方差，概率、期望、方差，求边缘概率求边缘概率 密度及判断独立性密度及判断独立性,求随机变量和的概率密度求随机变量和的概率密度;(4) （第（第7章）章）矩估矩估计、极大似然估、极大似然估计；(5) （第（第8章）章）假假设检验2021/6/1631 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
