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1、第二章第二章 利息理利息理论1人们在生命期内都会面临生、老、病、死的风险，都需要通过商业保险和社会保险得到经济安全保障。但无论是商业人寿和年多保险，还是社会养老保险或企业年金，都有资金投资和利息问题，因而利息理论成为保险精算学的基础。学习要点利息的基本理论和计算确定年金的相关理论累积函数、利率、贴现率、年金现值与终值年金在债务偿还和债券价格计算中的应用2第一第一节利息基本理利息基本理论利息 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值就越大。 另一方面，受通货膨胀的影响，等额的货币在不同时间上的价值也不同。 转让货币使用权就得到与放弃这个使用机会时期长短
2、相应的报酬，利息利息正是借入资本需要支付的使用代价，或者是出让资本使用权应得的报酬。3资金在周转中实现价值何二从丁一处买一头猪，欠1000元张三从何二处买四条狗，欠1000元李四从张三处买一双皮鞋，欠1000元赵六从王五处买两套书，支付1000元王五从李四处买一套衣服，欠1000元王五立即还李四，李四立即还张三，张三立即还何二，何二立即还丁一，于是，仅用1000元，完成了5个1000元的交易，谁也不欠谁了。4货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！一、累一、累积函数函数 (一一)总额函数总额函数 本金本金：最初投资的滋生利息的款项。累积额累积额：本金经过
3、一段时期后形成的金额称为累积额，它是本金与利息之和，又称本利和。总额函数利息函数5累积函数累积函数是单位本金的经过t时期后的增值额函数，以 表示:( (二二) )累积函数累积函数显然a(t)01ta(t)01ta(t)01t 图2-1 图2-2 图2-3a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。67(三)利息率利息率利息率利息率l1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示
4、第n个基本计息时间单位的实际利率 8二、二、单利和复利利和复利单利利：只在本金上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为: 第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有9复利复利：在本金和利息上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为: 第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有例例2.1 某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利息为5%,试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？（3）借款多长时间需要还款1200元？10（1）在单利下，还款总额为在复利下，还款总额为 （2）计自成息天数
5、为139天。在单利下，还款总额为在复利下，还款总额为解：(3) 设借款t年后需要还款1200元。在单利下，有解得 t=4（年）在复利下，有解得 例例2.2 以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。解：在复利下，有在单利下，有13三、三、现值和和贴现率率我们把1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称为t年的现值现值。贴现因子14现值和贴现率在单利单利下，1元的t年现值为 , 当年利率 相等时，为单利下的现值与累积值15现值和贴现率在复利复利下，1元的t年现值为 , 当年利率相同时，为 ，即 复利下的现值与累积值16
6、贴现额贴现额：如果将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。它相当于资金投资在期初的预付利息。贴现贴现和利息利息的区别：区别于分析的出发点不同，利息是在本金基础上的增加额。贴现是在累积额基础上的减少额。1000元本金经过一年投资成为1100元，增加的100元是利息利息。反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的价值1000元，其中减少的100元是贴现额贴现额。例例 贴现率贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率实际贴现率。 dn表示第n年贴现率: d表示一年的贴现率:171000元本金经过一年投资成为
7、1100元，增加的100元是利息利息。反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的价值1000元，其中减少的100元是贴现额贴现额。如上例如上例 利息率=利息100元与本金1000元之比=10%贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%1819利率和利率和贴现率的关系率的关系可见，di20（用贴现率表示）（用贴现率表示）复利下的现值与累积值（用利率表示）复利下的现值与累积值（用利率表示）利率和贴现率都表示投资金额的时间价值利率和贴现率都表示投资金额的时间价值21在直角坐标系上，1元加上其在一年产生的利息i正是累积函数在一年后的值；1元减去其在一年的预付利息（即贴现值d），
8、正是累积函数在一年前的值。例例2.3 计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的现值及利息率。22解:（2）年利息率为(1) 1995年1月1日的现值为例例2.41998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：（1）在年利率为6%时，以复利计息，这笔资金在1996年8月1日的现值。（2）在复利贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解：24四、名义利率与名义贴现率四、名义利率与名义贴现率利息可以按年结算、也可以按半年、季和月结算。在单利下，计息时间单位不影响利息额：例如，1元本金，半年结算一次，年利率10%，则年末累积额为1年的利息额为0.102
9、5，1年结算的实际利率为10.25%25名义利率:一年结算多次的规定的年利率。如上例中的名义年利率为10%。 以 表示名义利率，m表示结算次数，1年的实际利率为i, 则有 由于复利计算期与基本的时间单位不一致，就产生了利息率的名不副实。m12346120.060000.059130.058840.058700.058550.058410.05827由由得得是是m的递减函数，当的递减函数，当 i=6% 时，一年不同结算次数的名义利率如下表时，一年不同结算次数的名义利率如下表2627名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。 以 表示，m表示结算次数， 名义贴现率和利率、名义利率的关系名义贴现率和
10、利率、名义利率的关系28m12346120.056600.057430.057710.057850.057990.058130.05827是是m的递增函数，当的递增函数，当 i=6% 时，一年不同结算次数的名义年贴现率时，一年不同结算次数的名义年贴现率若若m为无穷，有为无穷，有 这是巧合，还是必然？这是巧合，还是必然？i=6% 时时,问题问题例例2.5 某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行多少钱？30解：3%日月结利率，3年后的累积欠额可以直接按36年月的复利计算，所以例2.6 （1）求每月结算的年利率为12%的实际利率。 （2）求每季 结算的年贴现率为1
11、0%的实际贴现率。 （3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：例2.7 某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的款为多少？解：每3个月结算一次，每次结算利息率为16%/4=4%，21个月结算7次，所以33五、利息力五、利息力利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。 故，对于名义利率 ，当结算次数m趋于无穷大时便可以表示确切时点上的利率水平。定义利息力为，利息力与累积函数的关系利息力与累积函数的关系34例2.8 某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息率是14%，在复利下，试求解以下问题：（1）贷款在200
12、3年7月22日的价值。（2）年利率i。（3）名义利率 。解：（1）35六、利息问题求解举例六、利息问题求解举例例例2.9 某人以每半年结算一次的年利率某人以每半年结算一次的年利率6%借款借款50000元，两年元，两年后他还了后他还了30000元，又过了元，又过了3年他再还年他再还20000元，求元，求7年后的欠款年后的欠款额为多少。额为多少。解：设他在解：设他在7年后的欠款额为年后的欠款额为X，有，有5000002000030000123456736例例2.10 某人在某人在1995年年1月月1日存入银行日存入银行8000元，两年又存入元，两年又存入6000元，元，2001年年1月月1日取出日
13、取出12000元。如果利率为元。如果利率为5%，计算，计算2004年年1月月1日其帐户上的余额。日其帐户上的余额。解：设他在解：设他在9年后的帐户余额为年后的帐户余额为X，有，有8000012000123456760008937例例2.11 某人在某人在1996年年1月月1日存入银行日存入银行4000元，在元，在2000年年1月月1日日又存入又存入6000元，元，2003年年1月月1日存款日存款5000元。如果利率为元。如果利率为7%，计算，计算其存款总额在其存款总额在2002年年1月月1日的时间价值。日的时间价值。解：依题意，收支图如下解：依题意，收支图如下40000123456760005
14、00038例例2.12 某人在某人在1995年年1月月1日存入银行日存入银行2000元，在元，在1998年年1月月1日日又存入又存入3000元，如果之后没有存取款项，元，如果之后没有存取款项，2000年年1月月1日的帐户余日的帐户余额为额为7100元，计算实际利率。元，计算实际利率。解：依题意，收支图如下解：依题意，收支图如下2000012345300071003940第二第二节 年金年金年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。 期首付年金期末付年金金额时间时间金额一、等额确定年金的现值与终值一、等额确定年金的现值与终值41期首付年金期首付年金现值=金额时间42期末付年金期末
15、付年金现值=时间金额解：设每年需要的还款数额为解：设每年需要的还款数额为例例2.13 某人从银行贷款某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是万元用于购买住房，规定的还款期是30年。假设贷款利率为年。假设贷款利率为5%，如果从贷款第二年初开始每年等额还款，如果从贷款第二年初开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。求每年需要的还款数额。0123293043解法一：设每年领款数额为解法一：设每年领款数额为例例2.14 某人从某人从2000元一次性购买了元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。，第一次年金领
16、取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。01231415200044解法二：设每年领款数额为解法二：设每年领款数额为 ，但以，但以-1作为计算现值的时点，作为计算现值的时点， 例例2.14 某人从某人从2000元一次性购买了元一次性购买了15年确定年金，假设年利率为年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。，第一次年金领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。这时年金在这时年金在-1时刻的现值和购买额是相等的，时刻的现值和购买额是相等的， 012314152000-14546期首付期首付n年定期、每年年定期、每年1元的年金在元的年金在n年末的年末的
17、终值012n-1nn+11111(计算现值的时点为1)(计算终值的时点为n+1)金额时期期末付期末付n年定期、每年年定期、每年1元的年金在元的年金在n年末的终值年末的终值012n-1nn+11111(计算现值的时点为0)(计算终值的时点为n)金额时期解：解：例例2.15 某人从某人从30岁时计划每年初存入岁时计划每年初存入300元建立个人帐户，如果元建立个人帐户，如果他在他在60岁退休，存款年利率假设恒定为岁退休，存款年利率假设恒定为3%。（1）求退休时个人帐户的累积额。）求退休时个人帐户的累积额。（2）如果个人帐户累积额在退休后以固定）如果个人帐户累积额在退休后以固定 年金方式在年金方式在2
18、0年内年内每年初领取一次，求每年可以领取的数额。每年初领取一次，求每年可以领取的数额。 123050300300300金额时期3149解：解：例例2.16 某人从某人从30岁时计划每年初存入岁时计划每年初存入300元建立个人帐户，如果元建立个人帐户，如果他在他在60岁退休，存款年利率假设恒定为岁退休，存款年利率假设恒定为3%。如果个人帐户累积额。如果个人帐户累积额在退休后以固定在退休后以固定 年金方式在年金方式在20年内每月初领取一次，求每月可以年内每月初领取一次，求每月可以领取的数额。领取的数额。 123050300300300金额时期3149设月利率为 ,例例2.17 某人贷款某人贷款50
19、000元购买汽车，从贷款后第九个月开始在元购买汽车，从贷款后第九个月开始在5年年中每月还款，利率为中每月还款，利率为6%，求每月的还款额。，求每月的还款额。解：解：12969金额时期10680500008设月利率为j，以第8个月末作为计算现值的时点，有50一年多次收付的年金一年多次收付的年金 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，51对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金现值以表示。52对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n年末的终值为对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n年末的终值为例例2.18 某年金每
20、年付款一次，连续付款某年金每年付款一次，连续付款10年，年利率为年，年利率为5%，年给，年给付额为：第一年末支付付额为：第一年末支付100元，第二年末至第九年末每次支付元，第二年末至第九年末每次支付200元，第元，第10年末支付年末支付100元。计算元。计算t=0时这些付款的现值。时这些付款的现值。解：依题意，有解：依题意，有12310100200 200金额时期9020010054永永续年金年金 定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。每年一元期末付永续年金现值为其它永续年金现值为例 诺贝尔奖金例例2.19 若存入银行若存入银行10
21、万元，建立一项永续奖励基金，从存款一年万元，建立一项永续奖励基金，从存款一年后开始支取年金，设利率为后开始支取年金，设利率为4%,求每年可以提取的最大数额。求每年可以提取的最大数额。解：设每年可以提取的最大数额为解：设每年可以提取的最大数额为 ,则则56三、三、变额年金年金变额年金年金是每次收付额不等的年金。常见的有，每次收付额等差递增或递减每次收付额等比递增56如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。 变额递增年金变额递增年金57两者相减后得所以 上述年金期首付时，年金现值为58当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减
22、少一单位元的n年定期递减的期末付年金为，上述定期递减年金在期首付时，为 变额递变额递减减年金年金变额年金的终值变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积n年标准递增的期首付年金终值n年标准递增的期末付年金终值例例2.20 某年金第一年末收付某年金第一年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前一元，以后每隔一年收付额比前一年增加年增加100元，共收付元，共收付10年，若年利率为年，若年利率为5%，求第，求第10年末的年金年末的年金终值。终值。解：这一变额年金可以分解为每年解：这一变额年金可以分解为每年900元的元的10年定额年金和年定额年金和100元元的的10年等差递增年金。所以年等差递增年
23、金。所以61等比等比递增年金增年金对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：012n-1n1+j金额时期1例例2.21 我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式，个人帐户以个人交费工资合的方式，个人帐户以个人交费工资8%计入。如果某个职工从计入。如果某个职工从20岁参加岁参加 个人帐户保险，当年工资为个人帐户保险，当年工资为6000元，工资年增长率为元，工资年增长率为2%，个人帐户的累积利率为个人帐户的累积利率为4%。求他在。求他在60岁退休时，个人帐户的累积岁退休时，个人帐户的累积
24、额。额。解：个人帐户在解：个人帐户在20岁时的现值为岁时的现值为 在在60岁时的累积额为岁时的累积额为例例2.22 我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人帐户相结合的方式，个人帐户以个人交费工资合的方式，个人帐户以个人交费工资8%计入。如果某个职工从计入。如果某个职工从20岁参加岁参加 个人帐户保险，当年工资为个人帐户保险，当年工资为6000元，工资年增长率为元，工资年增长率为2%，个人帐户的累积利率在刚参加个人帐户的前个人帐户的累积利率在刚参加个人帐户的前10年内为年内为4%，退休前，退休前的的10年内为年内为2%，中国，中国20年为年为
25、3%，求他在，求他在60岁退休时，个人帐户的岁退休时，个人帐户的累积额。累积额。解：在职工解：在职工20岁至岁至29岁间，个人帐户在岁间，个人帐户在20岁的现值为岁的现值为 在职工在职工30岁至岁至49岁间，个人帐户在岁间，个人帐户在20岁的现值为岁的现值为 在职工在职工50岁至岁至59岁间，个人帐户在岁间，个人帐户在20岁的现值为岁的现值为个人帐户在个人帐户在60岁的累积值为岁的累积值为例例2.23 一项永继年金，第一年末付一项永继年金，第一年末付1000元，第元，第2年末付年末付2000元，元，以后各年每年增加以后各年每年增加1000元，直到年付元，直到年付15000元以后，支付水平保持元
26、以后，支付水平保持在在15000元的水平上不变，并一直继续下去。在利率水平元的水平上不变，并一直继续下去。在利率水平7.5%下，下，计算此年金的现值。计算此年金的现值。解：这一年金可分解为一个递增确定年金和一个永续年解：这一年金可分解为一个递增确定年金和一个永续年金，年金现值为金，年金现值为66第三第三节 债务偿还等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。 设贷款本金是B0 ，还款期限为n 年，每年末还款，年实际利率为i每次偿还金额为未偿还本金余额=至计算日止尚未偿还的本金余额第k 期末的未偿还本金余额等额分期偿还等额分期偿还012n-1n金额时期在每期偿还的金额R中
27、，包括当期应偿还的利息和部分本金。当期应偿还的利息 = 期初尚未偿还的本金余额当期实际利率每期偿还的本金 = R 本期偿还的利息未偿还本金余额的计算：将来法和过去法将来法和过去法将来法将来法：未偿还本金余额是将来需要偿还的总金额在计算时点现值，即设每期期初的本金金额分别为 则每期的利息分别为 每期应偿还的本金额分别为 各期期末未偿还的本金余额为 过去法过去法:未偿还本金余额等于借款本金扣减过去已偿还本金的差额012n-1n金额时期第一期末第二期末第k期末每期需支付的利息和本金的计算每期需支付的利息和本金的计算令第k期应支付的利息利息为令第k期应偿还的本金本金为70等等额分期分期偿还表表 时期期
28、 付款金付款金额 支付利息支付利息 偿还本金本金 未未偿还贷款款余余额 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 总计 nR 表2-3例例2.24 设A向B借款20000元，期限为5年，年实际利率为6%，A在每年末以等额分期方式偿还贷款。试讲算（1）每年末应偿还的金额。（2）各年末未偿还本金余额。（3）每年末偿还金额中利息和本金金额。解：01245金额时期3依公式有把相关数据代入表2-3，得时期时期每年末偿每年末偿还金额还金额支付利息支付利息偿还本偿还本金金每末未偿每末未偿还贷款余还贷款余额额0 2000014747.9312
29、003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.754479.180解解：例例2.25 某人用10年分期还款的方式还一笔50000元的贷款，假设他在10年内每半年还款一次，每半年结算的年利率为13%，从贷款6个月后开始第一次还款。求第6年尚未还清的贷款余额。设未来每次还款为P， 共还款20个半年，半年结算的利率为13%/2=6.5%，贷款时刻的贷款额和还款额的现值相等，即解得第6年末尚未还清的贷款余额等于最后8个半年
30、内需要定期偿还的贷款的现值，即73变额分期偿还变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为B0 ，第k 期偿还的金额为Rk （k=1，2，,n）74例 2.26一笔金额为nR元的贷款，年利率为i，期限为n 年，每年偿还R 元本金，其分期偿还表如下： 时期期 付款金付款金额 支付利息支付利息 偿还本金本金 未未偿还贷款款余余额 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 总计 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR75偿债基金偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分
31、期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。76等额偿债基金等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D ，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n 为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j =i ，则借款人每期支付总金额为，77变额偿债基金设原始贷款本金为B0 ，贷款利率为i ，偿债基金利率为j ，借款人在第k 期末支付的总金额为Rk （k=1，2，n），则，第k 期
32、末向偿债基金的储蓄额为(Rk iB0)，偿债基金在第n 期末的累积值等于原始贷款本金B0 ，即，当i= j时，78债券价值按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。债券定价原理：券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。基本符号和概念：基本符号和概念：P债券的理论价格； i投资者要求的收益率或市场利率；F债券的面值；C债券的偿还值；r债券的息票率；rF每期的息票收入；g债券的修正息票率；n息票的偿还次数；K偿还值按收益率i 计算的现值； G债券的基价，79债券价值n基本公式：基本公式：n溢价公式：溢价公式：n基价公式：基价公式：nMakeham公式：公式：80债券的账面价值整数息票支付周期的整数息票支付周期的债券价格和券价格和账面面值第k 期末的账面值为：任意任意时点的点的账面面值
