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1、1 信号的描述信号的描述1.1 信号的分类信号的分类1.1.1 从随时间变化规律的角度分类从随时间变化规律的角度分类确定性信号确定性信号随机信号随机信号非周期非周期非平稳非平稳复杂周期复杂周期准周期准周期瞬变瞬变各态历经各态历经非各态历经非各态历经1(1) 确定性信号确定性信号 周期信号周期信号周期信号可以用明确的数学关系式或图象表达。可以用明确的数学关系式或图象表达。x(t)=x(t+T)例如例如 x(t)=sin(t+)周期周期 T =2/=1/f2式中式中 振幅振幅 固有圆频率固有圆频率 初相角初相角 简谐信号简谐信号简谐振动简简谐谐信信号号为为单单一一频频率率的的正正弦弦信信号号。例例
2、如如单单自自由由度度无阻尼质量无阻尼质量-弹簧振动系统弹簧振动系统的位移信号的位移信号:3 复杂周期信号复杂周期信号是是由由两两种种以以上上的的频频率率比比为为有有理理数数的的简简谐谐信信号号合合成成的的。叠叠加加后后存存在在公公共共周周期期。例例如如周周期期方方波波、周周期期三角波等。例如一种周期三角波等。例如一种周期方波：方波：4 非周期信号非周期信号准周期信号准周期信号由多个频率成分叠加，频率之比不是由多个频率成分叠加，频率之比不是有理数。有理数。例如例如: :瞬变信号瞬变信号在有限时间段有非零值，或随着时间的在有限时间段有非零值，或随着时间的增加衰减至零。增加衰减至零。瞬变信号5(2)
3、 随机信号随机信号 螺纹车床主轴受环境影响的振动波形螺纹车床主轴受环境影响的振动波形 不不能能用用准准确确的的数数学学关关系系式式描描述述，可可以以用用概概率率统统计方法计方法估计参数。估计参数。所所描描述述的的物物理理现现象象是是一一种种随随机机过过程程。例例如如分分子子热运动，环境的噪声，随机相位正弦波热运动，环境的噪声，随机相位正弦波等。等。61.1.2 从信号取值特征的角度分类从信号取值特征的角度分类 连续信号连续信号离散信号离散信号模拟信号模拟信号（幅值和自变量均连续）（幅值和自变量均连续）一般连续连续信号（自变量连续）一般连续连续信号（自变量连续）一般离散信号（自变量离散）一般离散
4、信号（自变量离散）数字信号数字信号（幅值和自变量均离散）（幅值和自变量均离散）7信号幅值的连续和离散信号自变量的连续和离散81.1.3 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述幅频谱图幅频谱图相频谱图相频谱图时域描述 时域图时域图 傅里叶级数，傅里叶变换傅里叶级数，傅里叶变换频域描述 频谱图 时域描述表示时域描述表示信号幅值随时间变化的规律。信号幅值随时间变化的规律。 频频域域描描述述以以频频率率为为自自变变量量，描描述述信信号号所所含含频频率率成分的幅值和相角。成分的幅值和相角。91.2 周期信号周期信号1.2.1 周期信号强度的描述周期信号强度的描述可以用时间函数的统计量描述周期信
5、号的强度。可以用时间函数的统计量描述周期信号的强度。平均值表示信号的常值分量：平均值表示信号的常值分量： 绝对均值：绝对均值： 均方值表示信号的平均功率：均方值表示信号的平均功率：均方根值又称为信号的有效值：均方根值又称为信号的有效值：101.2.2 周期信号的频谱周期信号的频谱(1) 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式其中，常值分量：其中，常值分量：余弦分量的幅值：余弦分量的幅值： 正弦分量的幅值：正弦分量的幅值： 式中式中 T0周期周期，11 傅里叶级数的谐波形式傅里叶级数的谐波形式各谐波分量的幅值和初相角分别为：各谐波分量的幅值和初相角分别为： 其中常值分量：其中常值分
6、量：12 与谐波形式相应的频谱与谐波形式相应的频谱频谱图的纵坐标分别为频谱图的纵坐标分别为An和和n，横坐标为，横坐标为。其中其中 幅值谱图幅值谱图， An图；图； 相位谱图相位谱图，n图。图。 0基频；基频； n0n次谐频；次谐频； An sin (n0t n)n次谐波。次谐波。各谐波成分的频率都是各谐波成分的频率都是0的整数倍，因此谱线的整数倍，因此谱线是离散的。是离散的。13例例 求求周期周期方波的方波的频谱频谱，并做出，并做出频谱图频谱图。因为因为x(t)是是奇函数奇函数，所以，有：所以，有：解：解：1415周期方波前4个谐波成分的叠加16周期方波的时、频域描述及其关系17(2) 傅里
7、叶级数的复指数展开式傅里叶级数的复指数展开式欧拉公式：欧拉公式：18对于三角函数式对于三角函数式代入欧拉公式，有代入欧拉公式，有令令 ， ， ，于是，有于是，有 19与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱式中式中幅值谱幅值谱相位谱相位谱20 复指数函数形式的复指数函数形式的频谱为双双边谱(- ,+ )，三角，三角函数形式的频谱为单边谱函数形式的频谱为单边谱(0,+ )。 两种两种频谱的的各各谐波幅波幅值之之间, ,有有|cn|=An/2, c0=a0 双双边幅幅值谱为偶函数，双偶函数，双边相位相位谱为奇函数奇函数，即：即：(3) 三角函数展开式与复指数展开式的关系
8、三角函数展开式与复指数展开式的关系21周期方波的频谱22(4) 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 周期信号的频谱是周期信号的频谱是离散离散的的； 每个谱线只出现在每个谱线只出现在基波频率的整数倍基波频率的整数倍上；上； 谐波幅值随谐波次数的增高而谐波幅值随谐波次数的增高而减小减小。因此，可。因此，可以忽略高次谐波分量。以忽略高次谐波分量。231.3 瞬变信号瞬变信号1.3.1 瞬变信号的频谱瞬变信号的频谱 周期信号可以写成周期信号可以写成瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即24定义傅里叶变换定义傅里叶变换傅里叶逆变换则为傅里叶逆变换则为分别记为分
9、别记为X()=Fx(t), x(t)= F1 X() 。x(t)和和相应的频域函数相应的频域函数X()为傅里叶变换对，记为：为傅里叶变换对，记为：x(t) X()对傅里叶积分式对傅里叶积分式25代入代入 ，有，有一般一般X(f)是实变量的复函数，可以写成是实变量的复函数，可以写成 26 周周期期信信号号幅幅值值谱谱|cn|的的量量纲纲即即为为信信号号幅幅值值的的量量纲纲，瞬瞬变变信信号号幅幅值值谱谱|X(f)| 为为信信号号在在单单位位频频宽宽上上的的幅幅值值。所所以以 |X(f)| 是是频频谱谱密密度度函函数数，工工程程测测试试中仍称为频谱。中仍称为频谱。 |cn|是离散的，是离散的，|X(
10、f)|是连续的。是连续的。周期信号与瞬变信号幅值谱的区别周期信号与瞬变信号幅值谱的区别：27例例 矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱 其中其中森克函数森克函数：sincx=sinx/x。随随着着x的的增增加加，森森克克函函数数以以2 为为周周期期作作衰衰减减振振荡荡；它是偶函数，并且在它是偶函数，并且在n (n= 1, 2, )处为处为0 0。28矩形窗函数及其频谱瞬变瞬变信号信号频谱的特点的特点：瞬变瞬变信号信号的的频谱是是连续的，幅值随着频率的增加的，幅值随着频率的增加而而衰减衰减。291.3.2 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质(1) 奇偶虚实性奇偶虚实性显显然然，可可以以根根据据
11、函函数数的的奇奇偶偶性性判判断断实实频频谱谱和和虚虚频谱的奇偶性。频谱的奇偶性。30(2) 时间尺度改变性质时间尺度改变性质即即时时域域时时间间压压缩缩k倍倍，则则频频域域的的扩扩展展和和幅幅值值的的降降低均为低均为k倍。倍。证明：当信号证明：当信号x(t) 的时间尺度变为的时间尺度变为 kt 时，有：时，有：在信号在信号x(t) 幅值不变的条件下，有：幅值不变的条件下，有：31时间尺度改变性质举例时间扩展时间扩展k=1/2 k=1时间压缩时间压缩k=232(3) 时移性质时移性质当当 时时 域域 信信 号号 延延 迟迟 t0时时 ， 其其 频频 谱谱 函函 数数 乘乘 因因 子子 ，因此会改
12、变相频谱，而幅频谱不变。因此会改变相频谱，而幅频谱不变。 ,若若Fx(t)=X(f)，并且并且t0为常数，则有：为常数，则有：证明：证明：33(4) 频移性质频移性质若若频频谱谱沿沿频频率率轴轴右右移移一一个个常常值值f0，对对应应的的时时域域函函数将乘因子数将乘因子 。与时移性质同理，有：与时移性质同理，有：34(5) 卷积性质卷积性质 两个函数两个函数x1(t)和和x2(t)的卷积定义为的卷积定义为 卷积定理：卷积定理：时域的时域的卷积卷积对应于频域的对应于频域的乘积乘积；时域的乘积对应于频域的卷积。时域的乘积对应于频域的卷积。351.3.3 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱(1) 单
13、位脉冲函数单位脉冲函数(-函数函数)-函数的定义函数的定义即即单位脉冲函数矩形脉冲函数36 -函数的性质函数的性质 采样性质采样性质 于是，在脉冲发生点采集到函数于是，在脉冲发生点采集到函数x(t)的值。的值。 卷积性质卷积性质 37-函数函数卷积性质的应用卷积性质的应用:函数函数x(t)与与-函数卷积的结果，就是把函数卷积的结果，就是把x(t) 的图形的图形从坐标原点搬迁到脉冲发生点。从坐标原点搬迁到脉冲发生点。 函数x(t)与-函数的卷积38 -函数的频谱函数的频谱-函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为谱常称为“均匀谱均匀谱” 。-函数的频谱
14、39根根据据傅傅里里叶叶变变换换的的时时移移、频频移移性性质质，还还可可以以得得到以下傅里叶变换对：到以下傅里叶变换对：40(2) 正弦函数和余弦函数的频谱正弦函数和余弦函数的频谱正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数的的频频谱谱可可用用傅傅里里叶叶级级数数描描述述。因因为为正正、余余弦弦函函数数不不满满足足绝绝对对可可积积条条件件，所以不能直接进行傅氏变换。由欧拉公式，有：所以不能直接进行傅氏变换。由欧拉公式，有：于是，有：于是，有：41正弦函数和余弦函数的频谱421.4 随机信号随机信号1.4.1 随机过程的概念和分类随机过程的概念和分类 不能用精确的数学关系式描述时间函数；不能用精确的数学
15、关系式描述时间函数； 不能预测未来任何时刻的准确值；不能预测未来任何时刻的准确值； 可用概率统计方法进行描述和研究。可用概率统计方法进行描述和研究。时间历程时间历程：用时间函数表示的量值。：用时间函数表示的量值。样本函数样本函数：随机信号的单个时间历程，：随机信号的单个时间历程，xi(t)。随随机机过过程程：可可用用统统计计特特性性表表示示的的时时间间函函数数的的集集合合（总体），记作（总体），记作 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)， 特特点点43随机过程的样本函数44集合平均集合平均：对全部样本函数在某时刻之值对全部样本函数在某时刻之值xi(tk)求平均的运算。例如，时刻求平
16、均的运算。例如，时刻t t1 1的平均值为：的平均值为： 随机过程在随机过程在t1和和t1+两不同时刻的相关性可用两不同时刻的相关性可用相相关函数关函数表示为表示为 45平平稳稳随随机机过过程程：统统计计特特征征参参数数不不随随时时间间变变化化的的随随机过程。机过程。各各态态历历经经过过程程：平平稳稳随随机机过过程程的的每每个个样样本本函函数数的的时时间间平平均均统统计计特特征征均均相相同同，且且等等于于总总体体统统计计特特征征 ( (时间平均等于集合平均时间平均等于集合平均) 。各态历经过程各态历经过程第第i个样本的时间平均运算，例如：个样本的时间平均运算，例如：46各态历经过程的工程意义：
17、各态历经过程的工程意义：任任何何样样本本函函数数在在足足够够长长的的时时间间区区间间内内，包包含含了了各样本函数所有可能出现的状态。各样本函数所有可能出现的状态。可可以以用用单单个个样样本本函函数数的的时时间间平平均均描描述述各各态态历历经经过过程程的的特特性性。工工程程中中绝绝大大多多数数随随机机过过程程可可以以看看作或近似为各态历经过程。作或近似为各态历经过程。47描述各态历经随机信号的主要特征参数：描述各态历经随机信号的主要特征参数： 幅值域幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数：均值、方差、均方值、概率密度函数等；等；时间域时间域：自相关函数、互相关函数；：自相关函数、互相关函数；频
18、率域频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等。数、相干函数等。1.4.2 各态历经信号的统计特征各态历经信号的统计特征48(1) 均值、均方值、均方根值和方差均值、均方值、均方根值和方差均值（数学期望）均值（数学期望），常值（稳定）分量：，常值（稳定）分量：均方值均方值，描述能量，平均功率：，描述能量，平均功率：均方根值均方根值，有效值有效值：49方方差差，描描述述信信号号的的动动态态分分量量，即即偏偏离离平平均均值值的的程度（波动程度）：程度（波动程度）：显然，显然，总能量包括静态和动态分量总能量包括静态和动态分量：标准差标准差：50(2) 概率密度函数概率密度函数概概率率密密度度函函数数表表示示信信号号的的瞬瞬时时幅幅值值落落在在某某单单位位区间（范围）内的概率，它是幅值的函数。区间（范围）内的概率，它是幅值的函数。随机信号的概率密度函数51对对时时间间T足足够够长长的的样样本本x(t)，瞬瞬时时幅幅值值落落在在(x, x+ x)区间内的区间内的时间和概率时间和概率分别为：分别为：定义定义概率密度函数概率密度函数 概率分布函数概率分布函数则为：则为： 52
