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1、 工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的梯子与屋檐的接触处到底端的长长AB=5米米,墙高墙高AC=4米米,问梯子底端点问梯子底端点离墙的距离是多少离墙的距离是多少?4设设BC=x,根据勾股定理，得根据勾股定理，得x2+42=52.化简，得化简，得x2-9=0, (x-3) (x+3) =0,解得解得x1=3,x2=-3 (不合题意，舍去）不合题意，舍去）另解：另解：x2=9, x1= =3, X2=- =-3 (不合题意，舍去）不合题意，舍去） 一般地一般地,对于形如对于形如x2=d(d0)的方程的方程,根据平方根的定义根据平方根的
2、定义,可解得可解得 这种解一元二次方程的方法叫做这种解一元二次方程的方法叫做开平方法开平方法开平方法开平方法.对于一元二次方程对于一元二次方程x2=d，如果，如果d0，那么就可以用，那么就可以用开平方法求它的根。开平方法求它的根。当当d0时时,方程有两个方程有两个不相等不相等的根：的根：当当d=0时时,方程有两个方程有两个相等相等的根：的根：例例1 1：用开平方法解方程：用开平方法解方程 9x9x2 2=4=4解：两边同除以解：两边同除以9，得，得利用开平方法，得利用开平方法，得所以，原方程的根是所以，原方程的根是例例2 2：用开平方法解方程：用开平方法解方程 3x3x2 2=-4=-4解：两
3、边同除以解：两边同除以3，得，得因为任何一个实数的平方根不可因为任何一个实数的平方根不可能是负数，所以原方程没有实数根。能是负数，所以原方程没有实数根。一般来说，解形如一般来说，解形如ax2+c=0(其中其中a0)的一元二的一元二次方程，其步骤是：次方程，其步骤是：（1）通过移项、两边同除以）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为，把原方程变形为（2）根据平方根的意义，可知）根据平方根的意义，可知例例3 3：用开平方法解方程：用开平方法解方程 -7x-7x2 2+21=0+21=0解：移项，得解：移项，得两边同除以两边同除以-7，得，得利用开平方法，得利用开平方法，得所以，原方程的根是所以，原
4、方程的根是(1)方程方程x2=0.25的根是的根是；(2)方程方程2x2=18的根是的根是；(3)方程方程(x+1)2=1的根是的根是.x1=0.5, x2=-0.5x1=3, x2=-3x1=0, x2=-2例例4 4：怎样解方程：怎样解方程 (x+1)(x+1)2 2=16 ?=16 ?解：利用开平方法，得解：利用开平方法，得可得可得所以，原方程的根是所以，原方程的根是上面这种解法中，实质上上面这种解法中，实质上是把一个是把一个一元二次方程一元二次方程“降次降次”，转化为，转化为两两个个一元一元一次方程一次方程。用用开平方法开平方法开平方法开平方法解下列方程解下列方程:(1)3x227=0
5、;(2)(x1)2=4(3)(2x3)2=7你能用你能用开平方法开平方法解下列方程吗解下列方程吗? x210x16=0(1)x28x =(x4)2(2)x23x =(x )2(3)x212x =(x )242()2626这种方这种方程怎样程怎样解？解？变变形形为为变形为变形为x210x+25=9x210x+16=0的形式（为非负常数）的形式（为非负常数） 把一元二次方程的把一元二次方程的左边左边左边左边配成一个配成一个完完完完全平方式全平方式全平方式全平方式,右边右边右边右边为一个为一个非负常数非负常数非负常数非负常数,然后用开然后用开平方法求解平方法求解,这种解一元二次方程的方法这种解一元二
6、次方程的方法叫做叫做配方法配方法配方法配方法.用配方法解一元二次方程的用配方法解一元二次方程的步骤步骤: :移项移项: :把常数项移到方程的右边把常数项移到方程的右边; ;配方配方: :方程两边都加上一次项系数方程两边都加上一次项系数 一半的平方一半的平方; ;开方开方: :根据平方根意义根据平方根意义, ,方程两边开平方方程两边开平方; ;求解求解: :解一元一次方程解一元一次方程; ;定解定解: :写出原方程的解写出原方程的解. .例题例题1. 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 x2+6x-7=0解：移项，得解：移项，得两边同时加上两边同时加上“一次项一次项系数一半的平方系数一半的平方
7、”，得，得利用开平方法，得利用开平方法，得所以，原方程的根是所以，原方程的根是例例2. 用配方法解下列方程用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0解：移项并且两边同除以解：移项并且两边同除以2，得，得两边同时加上两边同时加上“一次项一次项系数一半的平方系数一半的平方”，得，得利用开平方法，得利用开平方法，得所以，原方程的根是所以，原方程的根是1.方程方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为的左边配成完全平方后所得方程为（ ）（A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对）以上答案都不对 2.用配方法解下列方程，配方有错的是（用
8、配方法解下列方程，配方有错的是（ ）（A）x2-2x-99=0 化为化为(x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化为化为 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化为化为 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化为化为(x-2/3)2=10/9AC3.若实数若实数x、y满足满足(x+y+2)(x+y-1)=0，则则x+y的值为（的值为（ ）（A）1 （B）2 （C）2或或1 （D）2或或1 4.对于任意的实数对于任意的实数x，代数式，代数式x25x10的值的值是一个（是一个（ ）（A）非负数）非负数 （B）正数）正数 （C）整数）整数 （D）不能确定的数
9、）不能确定的数 DB用用配方法配方法配方法配方法解下列方程解下列方程:(1)x26x=1(2)x2=65x(3) x24x3=0注意注意:解第解第(2)题时要先移项题时要先移项,变形成变形成x2+5x=6的形式的形式;如果方程的二次项系数为负如果方程的二次项系数为负,则先把二次则先把二次项系数化为正项系数化为正.用配方法解一般形式的一元二次方程用配方法解一般形式的一元二次方程 把方程两边都除以把方程两边都除以 解解: :移项，得移项，得配方，得配方，得即即当当时时即即一元二次方程一元二次方程的求根公式的求根公式特别提醒特别提醒(a0, b2-4ac0)例例1.用公式法解方程用公式法解方程（3）
10、2x2-7x=0（2）x2+2x+2=0（1）3x2+5x-1=0（4）4x+1=-4x（1）3x2+5x-1=0解：解：a=3，b=5，c=-1，b-4ac=5-43（-1）=370X=1=2=（2）x2+2x+2=0b-4ac=2-412=-40=2=01=（4）4x+1=-4x解：移项，得解：移项，得4x+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b-4ac=4-441=0X=-=-X1=X2猜一猜：对于一般式猜一猜：对于一般式ax+bx+c=0（a0）的的根与根与b-4ac的符号有会么关系？的符号有会么关系？故对于方程故对于方程ax+bx+c=0（a0）有下列关系：）有下列关系：因为因为ax
11、+bx+c=0（a0）的求根公式是）的求根公式是 (1)当当b-4ac0时，方程有两个不相等的根时，方程有两个不相等的根(2)当当b-4ac=0时，方程有两个相等的时，方程有两个相等的根根x1=x2=(3)当当b-4ac0时，方程没有实数根时，方程没有实数根.巩固练习巩固练习（1）x+3x-4=0（2） x- x=1四、探索发现四、探索发现X1=X2=1、从两根的代数式结构上有什么特点、从两根的代数式结构上有什么特点？2、根据这种结构可以进行什么运算？、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？你发现了什么？1、 m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相
12、有两个相等的实数解等的实数解五、智力挑战五、智力挑战2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程x-mx-5=0。 当当m 满足满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？什么条件时，方程的两根为互为相反数？X1=X2=因式分解因式分解主要方法主要方法: (1)提取公因式法提取公因式法 (2)公式法公式法: a2b2=(a+b) (ab) a22ab+b2=(ab)2请选择：请选择：若若AB=0则（则（）（A）A=0；（B）B=0；（C）A=0且且B=0；（；（D）A=0或或B=0D解方程解方程 4x4x2 2=9=9解：移项，得解：移项，得利用平方差公式分解因式，得利用平方差公式分解因式，得可得
13、可得所以，原方程的根是所以，原方程的根是像上面这种利用因式分解解一元二次方程的像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做方法叫做因式分解法因式分解法。它的基本步骤是：。它的基本步骤是：(1)若方程的右边不是零，则先移项，使若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；方程的右边为零；(2)将方程的左边分解因式；将方程的左边分解因式；(3)根据若根据若AB=0,则则A=0或或B=0,将解一元将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。二次方程转化为解两个一元一次方程。填空填空：（1）方程）方程x2+x=0的根是的根是 ；（2）x225=0的根是的根是 。 X1=0, x2=-1X1=5, x
14、2=-5例例1 解下列一元二次方程：解下列一元二次方程：（1）（）（x5) (3x2)=10; 解解: 化简方程，得化简方程，得 3x217x=0.将方程的左边分解因式，将方程的左边分解因式，得得 x(3x17)=0, x=0 ,或或3x17=0解得解得 x1=0, x2=例例1 解下列一元二次方程：解下列一元二次方程：(2) (3x4)2=(4x3)2.解解:移项，得移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0.将方程的左边分解因式，得将方程的左边分解因式，得(3x-4)+(4x-3)(3x-4)-(4x-3)=0, 即即 (7x-7) (-x-1)=0. 7x-7=0,或或 -x-1=0.
15、 x1=1, x2=-1能用因式分解法解一元二次方程遇到类能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例似例2这样的，移项后能直接因式分解这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解般式再因式分解.用因式分解法解下列方程：用因式分解法解下列方程：(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2(5)例例2 解方程解方程x2=22x2 解解 移项，得 x2 22x+2=0, 即 x2 2 2x+(2)2=0. (x 2)2=0, x1=x2=21.解方程解方程 x
16、223x=-32.若一个数的平方等于这个数本身若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗你能求出这个数吗(要求列出一要求列出一元二次方程求解元二次方程求解)?注意：当方程的一边为注意：当方程的一边为0 0时，另一边容易分时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便法解方程比较方便. .因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的基本步骤的基本步骤（1 1 1 1）将方程变形，使方程的右边为零；）将方程变形，使方程的右边为零；）将方程变形，使方程的右边为零；）将方程变形，使方程的右边为零；（2 2 2 2）将方程的左边因式分解；）将方程的左边因式分解；）将方程的左边因式分解；）将方程的左边因式分解；（3 3 3 3）根据若）根据若）根据若）根据若A A A A B=0B=0B=0B=0，则，则，则，则A=0A=0A=0A=0或或或或B=0B=0B=0B=0，将解一元二，将解一元二，将解一元二，将解一元二 次方程转化为解两个一元一次方程；次方程转化为解两个一元一次方程；次方程转化为解两个一元一次方程；次方程转化为解两个一元一次方程；
