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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第三节 定积分的换元法和分部积分法一 定积分的换元法定理1 设函数f(x)在a,b上连续,且x=(t)满足条件:(1) (t)在,上连续可微;(2)当t在,上变化时, x= (t)的值在a,b上单调变化,且()=a,()=b则 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)式叫做定积分的换元公式,(1)式从左到右为定积分的代元法;从右到左是定积分的凑元法.在使用(1)式时要注意;第一第一,定积分换元时要更换相应的积分定积分换元时要更换相应的积分限限;第二求出原函数后应该直接代入新积分限第二求出
2、原函数后应该直接代入新积分限.得到得到不必代回原变量的积分限去不必代回原变量的积分限去计算计算.第三第三,在具体计算中要注意函数的严格单调在具体计算中要注意函数的严格单调 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例1 计算分析:这是圆面积的1/4,令xRxy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2 计算解 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系利用换元法计算定积分时,要注意:(1).在换元时,积分的上下限必须同时变化.(2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有意义. 如果用x=1/t,
3、则注意积分区域是否有x=0的情况, 如果用x=t2,则被积函数开方时要注意在积分区域里 的符号.(3).在换元时,代换变量的变化范围超过原变量变化的范围时很容易出错误.例如要计算下列定积分的值. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系为了去根号,设1+x=t2, dx=2tdt, x=t2-1当x=0时,t可以为+1,也可为-1.同样当x=3时,t可为+2,也可为-2.x 0 3t 1 2面对有正负号时,应该考虑被积函数的情况当t=-1时,要注意代入被积函数如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了t0321-1-2x 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科
4、科技技学学院院数数理理系系根据定积分的性质3可加性(p221)其结果是一样的. 现在我们根据3种情况进行积分, (1)t从1到2. (2)t从-1到-2 (3)t从-1到2 可见第一种情况最简单.此外当积分区域应该考虑如t从-1到+2,此时已经超过积分区域了 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 若f(x)在a,b上连续,可通过换元法令t=a-x得到从而可计算积分 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系解: 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科
5、技技学学院院数数理理系系(3)若f(x)是以L为周期的周期函数,则例4 设f(x)是相应区间上的连续函数,证明(1)若f(x)是奇函数,则(2)若f(x)是偶函数,则 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(3)令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a(4)因为f(t+l)=f(t)所以xyxyxy 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例5 计算分析 (1),(2)中积分区间关于原点对称,被积函数是奇函数,不用计算,就得到I1=0, I2=0(3)被积函数是偶函数,所以 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由正弦函数的周期性可知 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二 定 积 分 的 分 部 积 分 法定理2 设函数u(x),v(x)在区间a,b上都连续可微,则证明:移项就得到结果. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例5 计算 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例6 计算 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例7 计算
