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1、1.6 1.6 全概率公式与全概率公式与 在前面学习中，我们知道概率的加法公式和在前面学习中，我们知道概率的加法公式和乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许乘法公式可以解决许多概率计算问题，但对于许多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节多较复杂事件的概率计算我们还无能为力，本节我们学习另外两个概率公式我们学习另外两个概率公式全概率公式和贝全概率公式和贝叶斯公式它们与之前的两个公式一起构成概率叶斯公式它们与之前的两个公式一起构成概率计算问题的四大公式计算问题的四大公式 贝叶斯公式贝叶斯公式 1全概率公式与贝叶斯公式一、全概率公式一、全概率公式BA1A2A3A4A6A7A5A8定理定理1.
2、7 1.7 若若 构成一个完备事件构成一个完备事件则对于任何事件则对于任何事件组，且组，且 B B，有，有 2全概率公式与贝叶斯公式证证 分配律分配律 有限可加性有限可加性 乘法公式乘法公式 3全概率公式与贝叶斯公式 原因事件原因事件 结果事件果事件全概率公式全概率公式解决由因索解决由因索果果问题问题 每个原因都可能导致每个原因都可能导致B B发生，故发生，故B B发生的概率发生的概率是各原因引起是各原因引起B B发生的概率的总和，发生的概率的总和，“全概率公式全概率公式”之之“全全”取为此意取为此意. .4全概率公式与贝叶斯公式学生成学生成绩好绩好 B B 原原因因5全概率公式与贝叶斯公式例
3、例1.221.22 一一批批产产品品共共8 8件件，其其中中正正品品6 6件件，次次品品2 2件件现现不不放放回回地地从从中中取取产产品品两两次次，每每次次一一件件，求第二次取得正品的概率求第二次取得正品的概率 结于求结于求 是是发发生生的的两两个个不不同同的的“原原因因”与与构成一个完备事件组，即构成一个完备事件组，即 与与解解 记记 问题归问题归由全概率公式，所求概率由全概率公式，所求概率 6全概率公式与贝叶斯公式我们把我们把例例1.221.22稍稍作一些改动，可获得一稍稍作一些改动，可获得一个有趣的结果个有趣的结果例例1.231.23 一一批批产产品品共共8 8件件，其其中中正正品品6
4、6件件，次次品品2 2件件现现不不放放回回地地从从中中取取产产品品三三次次，每每次次一件，求第三次取得正品的概率一件，求第三次取得正品的概率 解解 记记 7全概率公式与贝叶斯公式由全概率公式，所求概率由全概率公式，所求概率 问题归结于求问题归结于求 与与构成一个完备事件组，即构成一个完备事件组，即 是是发发生生的的四四个个不不同同的的“原原因因”与与8全概率公式与贝叶斯公式9全概率公式与贝叶斯公式从件数一定的正品和次品组成一批产品从件数一定的正品和次品组成一批产品中，中，作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！作不放回抽样，各次抽到正品的概率相等！若把抽到正品视为中奖，则上面的结论简单若把抽到正
5、品视为中奖，则上面的结论简单叙述为：叙述为：中奖的概率与摸奖的顺序无关！中奖的概率与摸奖的顺序无关！ 小结小结例例1.221.22和和例例1.231.23的结果：的结果：10全概率公式与贝叶斯公式例例1.241.24 某工厂有四个车间生产同一种计某工厂有四个车间生产同一种计算机配件，四个车间的产量分别占总产量的算机配件，四个车间的产量分别占总产量的15%15%、20%20%、 30%30%和和35%35%，已知这四个车间的次，已知这四个车间的次品率依次为品率依次为0.040.04、0.030.03、0.020.02及及0.010.01现在从现在从该厂生产的产品中任取一件，问恰好抽到次品该厂生产
6、的产品中任取一件，问恰好抽到次品的概率是多少？的概率是多少？ 2 2，3 3，4 4，B=B=抽到次品抽到次品 =2.15%=2.15%解解 令令 由全概率公式由全概率公式11全概率公式与贝叶斯公式二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式 证证 由条件概率的定义、乘法公式及全概率由条件概率的定义、乘法公式及全概率定理定理1.1.若若 构成一个完备事构成一个完备事则对于任何事则对于任何事组，且组，且 件，有件，有 12全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式是在贝叶斯公式是在“结果结果”已经发生条已经发生条件下，寻找各件下，寻找各“原因原因”发生的条件概率发生的条件概率可以说，可以说，贝叶斯公式贝叶斯公式解决的是
7、解决的是追根溯源问题追根溯源问题公式，公式，13全概率公式与贝叶斯公式 例如，某生例如，某生“学习成绩好学习成绩好”这个结果发生这个结果发生了，我了，我们可以探讨是由于们可以探讨是由于“学习环境良好学习环境良好”促促成的概率有多大成的概率有多大贝叶斯公式贝叶斯公式可以帮助人们确定结果（事可以帮助人们确定结果（事件件 B B）发生的主要原因）发生的主要原因14全概率公式与贝叶斯公式根据以往经验确定的一种主观概率，而根据以往经验确定的一种主观概率，而后者后者也可以说，也可以说，贝叶斯公贝叶斯公式是利用先式是利用先验概率去求后验概率验概率去求后验概率概率概率，“结果结果” B B发生的条件下各发生的
8、条件下各“原因原因”的概率的概率为为后验概率后验概率，前者往往是，前者往往是通常称各通常称各“原因原因”的概率的概率为为先验先验是在结果是在结果B B发生之后对原因发生之后对原因的重新认识的重新认识15全概率公式与贝叶斯公式例例1.251.25 ( (续续例例1.24) 1.24) 若若该该厂厂规规定定，一一旦旦发发现现了了次次品品就就要要追追究究有有关关车车间间的的经经济济责责任任现现在在从从该该厂厂生生产产的的产产品品中中任任取取一一件件，结结果果为为次次品品，但但该该件件产产品品是是哪哪个个车车间间生生产产的的标标志志已已经经脱脱落落，问问厂厂方方如如何何处处理理这这件件次次品品比比较较
9、合合理理? ? 具具体体地地讲讲，各个车间应承担多大的经济责任各个车间应承担多大的经济责任? ? 解解 从概率的角度考虑可以按从概率的角度考虑可以按的大的大个车间的经济责任个车间的经济责任小来追究第小来追究第在前面的计算已经求得在前面的计算已经求得 16全概率公式与贝叶斯公式于是，由贝叶斯公式可得于是，由贝叶斯公式可得同理可得，同理可得，17全概率公式与贝叶斯公式由此可知，各个车间依次应承担由此可知，各个车间依次应承担27.91%27.91%、27.91%27.91%、27.91%27.91%和和16.28%16.28%的经济责任的经济责任. . 这样处理是使人信服的，比如说虽然第四个这样处理
10、是使人信服的，比如说虽然第四个车间的产量占总产量的车间的产量占总产量的35%35%，但是它的次品率是，但是它的次品率是最低的，它生产的次品只占总次品的最低的，它生产的次品只占总次品的16.28%.16.28%.在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶在很多时候需要同时使用全概率公式和贝叶斯公式来解决一个较复杂的问题斯公式来解决一个较复杂的问题. .18全概率公式与贝叶斯公式例例1.261.26 设有来自三个地区的各设有来自三个地区的各1010名、名、1515名名和和2525名考生的报名表，其中女生的报名表分别为名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3 3份、份、7 7份和份和5 5份随机地取一个
11、地区的报名表，份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份从中先后抽出两份 (1) (1) 求先抽到的一份是女生表的概率；求先抽到的一份是女生表的概率； （2 2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率一份是女生表的概率19全概率公式与贝叶斯公式由题设可得由题设可得(1) (1) 问题归结于求问题归结于求解解 设设20全概率公式与贝叶斯公式的所有的不同的原因的所有的不同的原因构成一个完备事件组，是构成一个完备事件组，是 发生发生根据全概率公式，有根据全概率公式，有 21全概率公式与贝叶斯公式(2)(2)问题归结为求问题归结为求由条件概率的由条件概率的定义可得定义可得下面我们先求下面我们先求由条件概率的本来由条件概率的本来含义得到含义得到22全概率公式与贝叶斯公式根据全概率公式根据全概率公式 23全概率公式与贝叶斯公式再求再求 由条件概率的本来含义得到由条件概率的本来含义得到 24全概率公式与贝叶斯公式将以上求得的各个值代入将以上求得的各个值代入(1.7)(1.7)式，得所求概率为式，得所求概率为 又根据全概率公式又根据全概率公式 25全概率公式与贝叶斯公式
