《《高等数学》电子课件（同济第六版）：06第九章 第6节 微分法在几何上的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》电子课件（同济第六版）：06第九章 第6节 微分法在几何上的应用（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数引例引例: 已知空间曲线已知空间曲线 的参数方程的参数方程: 的的向量方程向量方程 对对 上的动点上的动点M ,即即 是是此方程确定映射此方程确定映射,称此映射为一元向量称此映射为一元向量 的终点的终点M 的轨迹的轨迹 ,此轨迹称为向量值函数的此轨迹称为向量值函数的终端曲线终端曲线 .值函数值函数. 定义: 给定数集 D R , 称映射为为一元向量一元向量值函数值函数（简称向量值函数）（简称向量值函数）, 记为记为向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关连续和导数密切相关,
2、进行讨论进行讨论.极限：极限：连续：连续：导数：导数：因此下面仅以因此下面仅以 n = 3 的情形为代表的情形为代表向量值函数的导数运算法则:设设是可导向量值函数是可导向量值函数, , 是可导函数是可导函数, , 则则C C 是常向量是常向量, , c c 是任一常数是任一常数, ,向量值函数导数的几何意义:在在 R R3 3中中, , 设设的终端曲线为的终端曲线为 , , 表示终端曲线在表示终端曲线在t t0 0处的处的切向量切向量, ,其指向与其指向与t t 的增长方的增长方向一致向一致. ., , 则则设设例. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:的点处的单位切向量.故所求单
3、位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为= 67设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面8考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为9曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.10解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程111.空间曲线方程为空间曲线方程
4、为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：122.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为1314所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为1516设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量二、曲面的切平面与法线17 在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上.命题命题:事实上, 因两边对 t 求导,18表明这些切线都在以的同一平面上 ， 从而切平面存在 .19曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程20解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程21特殊地：空间曲面方程为特殊地：空
5、间曲面方程为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令22其中其中则法向量的则法向量的方向余弦方向余弦为为23解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为24解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得25因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)26使曲面 与球面例例7. 确定正数在解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 则有又点 M 在球面上,于是有相切. 27空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结2829思考题思考题30思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程31练练 习习 题题3233练习题答案练习题答案
